Квантовая геометрия

Часть серии по
Квантовая механика
${\ Displaystyle я \ HBAR {\ гидроразрыва {\ partial} {\ partial t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Уравнение Шредингера
Вступление Глоссарий История Учебники
Фон Классическая механика Старая квантовая теория Обозначение Бра – Кет Гамильтониан Вмешательство
Основы Родившееся правило Комптоновская длина волны Согласованность Декогеренция Комплементарность Уровень энергии Запутанность Гамильтониан Принцип неопределенности Основное состояние Вмешательство Измерение Слабое измерение Нелокальность Наблюдаемый Оператор Квантовая Квантовая флуктуация Квантовое число Квантовый шум Квантовая область Квантовое состояние Квантовая система Квантовая телепортация Кубит Вращение Суперпозиция Квантовое вакуумное состояние Симметрия (Спонтанное) нарушение симметрии Состояние вакуума Распространение волн Волновая функция Коллапс волновой функции Дуальность волна-частица Волна материи Прямоугольный потенциальный барьер Пространство фока
Последствия Эффект Зеемана Эффект Старка Эффект Ааронова – Бома Квантование Ландау Квантовый эффект Холла Квантовый эффект Зенона Квантовое туннелирование Фотоэлектрический эффект Эффект Казимира
Эксперименты Неравенство Белла Дэвиссон-Гермер Двойная щель Элицур – Вайдман Франк-Герц Неравенство Леггетта – Гарга Мах – Цендер Поппер Квантовый ластик  ( отложенный выбор ) Кот Шредингера Штерн-Герлах Отсроченный выбор Уиллера
Составы Обзор Динамические картинки ( Гейзенберг ; Взаимодействие ; Шредингер ) Матрица Фазовое пространство Суммирование по историям (интеграл по путям)
Уравнения Дирак Хеллманн-Фейнман Кляйн – Гордон Липпманн-Швингер Паули Ридберг Шредингер
Интерпретации Обзор Байесовский Последовательные истории Копенгаген Космологический де Бройль-Бом Ансамбль Скрытая переменная Многомиры Объективный коллапс Квантовая логика Реляционный Стохастик Транзакционный
Дополнительные темы Квантовый отжиг Квантовый хаос Квантовые вычисления Квантовая геометрия Матрица плотности Квантовая теория поля Дробная квантовая механика Квантовая гравитация Квантовая информатика Квантовое машинное обучение Теория возмущений (квантовая механика) Релятивистская квантовая механика Теория рассеяния Теория сверхтекучего вакуума Самопроизвольное параметрическое преобразование с понижением частоты Квантовая статистическая механика
Ученые Ааронов Колокол Блэкетт Блох Бом Бор Родившийся Bose де Бройль Кэндлин Комптон Дирак Дэвиссон Дебай Эренфест Эйнштейн Эверетт Фок Ферми Фейнман Глаубер Gutzwiller Гейзенберг Гильберта Иордания Крамерс Паули ягненок Ландо Лауэ Мозли Милликен Оннес Планк Раби Раман Ридберг Шредингер Зоммерфельд фон Нейман Weyl Вена Вигнер Zeeman Цайлингер Гоудсмит Уленбек Ян
Категории ► Квантовая механика
v т е

В теоретической физике , квантовая геометрия является множество математических понятий , обобщающих понятия геометрии , понимание которого необходимо описать физические явления на расстоянии масштабах , сравнимых с длиной Планка . На таких расстояниях квантовая механика оказывает глубокое влияние на физические явления.

Квантовая гравитация [ править ]

Каждая теория квантовой гравитации использует термин «квантовая геометрия» немного по-своему. Теория струн , ведущий кандидат в квантовую теорию гравитации, использует термин квантовая геометрия для описания экзотических явлений, таких как T-дуальность и другие геометрические двойственности , зеркальная симметрия , переходы, изменяющие топологию ^{[ требуется пояснение ]} , минимально возможный масштаб расстояний и другие эффекты, бросающие вызов интуиции. С технической точки зрения, квантовая геометрия относится к форме многообразия пространства-времени, которую испытывают D-браны, которая включает квантовые поправки кметрический тензор , такой как инстантоны мирового листа . Например, квантовый объем цикла вычисляется из массы браны, намотанной на этот цикл. В качестве другого примера, расстояние между двумя квантово-механическими частицами можно выразить с помощью метрики Лукашика – Кармовского . ^[1]

В альтернативном подходе к квантовой гравитации, называемом петлевой квантовой гравитацией (LQG), фраза «квантовая геометрия» обычно относится к формализму внутри LQG, где наблюдаемые, которые захватывают информацию о геометрии, теперь являются четко определенными операторами в гильбертовом пространстве . В частности, некоторые физические наблюдаемые , например площадь, имеют дискретный спектр . Также было показано, что петлевая квантовая геометрия некоммутативна . ^[2]

Возможно (но считается маловероятным), что это строго квантованное понимание геометрии будет согласовываться с квантовой картиной геометрии, вытекающей из теории струн.

Другой, весьма успешный подход, который пытается восстановить геометрию пространства-времени из «первых принципов», - это дискретная лоренцевская квантовая гравитация .

Квантовые состояния как дифференциальные формы [ править ]

Дифференциальные формы используются для выражения квантовых состояний с использованием произведения клина : ^[3]

${\ Displaystyle | \ psi \ rangle = \ int \ psi (\ mathbf {x}, t) \, | \ mathbf {x}, t \ rangle \, \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {x} }$

где вектор положения является

${\ displaystyle \ mathbf {x} = (x ^ {1}, x ^ {2}, x ^ {3})}$

дифференциальный элемент объема является

${\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {x} = \ mathrm {d} x ^ {1} \! \ wedge \ mathrm {d} x ^ {2} \! \ wedge \ mathrm {d } x ^ {3}}$

а x ¹ , x ² , x ³ - произвольный набор координат, верхние индексы указывают на контравариантность , нижние индексы указывают на ковариацию , поэтому явно квантовое состояние в дифференциальной форме:

${\displaystyle |\psi \rangle =\int \psi (x^{1},x^{2},x^{3},t)\,|x^{1},x^{2},x^{3},t\rangle \,\mathrm {d} x^{1}\!\wedge \mathrm {d} x^{2}\!\wedge \mathrm {d} x^{3}}$

Интеграл перекрытия определяется как:

${\displaystyle \langle \chi |\psi \rangle =\int \chi ^{*}\psi ~\mathrm {d} ^{3}\mathbf {x} }$

в дифференциальной форме это

${\displaystyle \langle \chi |\psi \rangle =\int \chi ^{*}\psi ~\mathrm {d} x^{1}\!\wedge \mathrm {d} x^{2}\!\wedge \mathrm {d} x^{3}}$

Вероятность найти частицу в некоторой области пространства R дается интегралом по этой области:

${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =\int _{R}\psi ^{*}\psi ~\mathrm {d} x^{1}\!\wedge \mathrm {d} x^{2}\!\wedge \mathrm {d} x^{3}}$

при условии, что волновая функция нормирована . Когда R занимает все трехмерное позиционное пространство, интеграл должен быть равен 1, если частица существует.

Дифференциальные формы - это подход к описанию геометрии кривых и поверхностей координатно-независимым способом. В квантовой механике идеализированные ситуации возникают в прямоугольных декартовых координатах , таких как потенциальная яма , частица в ящике , квантовый гармонический осциллятор и более реалистичные приближения в сферических полярных координатах, такие как электроны в атомах и молекулах . Для общности полезен формализм, который можно использовать в любой системе координат.

См. Также [ править ]

• Некоммутативная геометрия

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Суперсимметрия , Demystified, P. Labelle, McGraw-Hill (США), 2010, ISBN 978-0-07-163641-4 
• Квантовая механика , Э. Аберс, изд. Пирсона, Эддисон Уэсли, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 9780131461000 
• Демистификация квантовой механики , Д. МакМахон, Мак Гроу Хилл (США), 2006, ISBN 0-07-145546 9 
• Квантовая теория поля , Д. МакМэхон, Мак Гроу Хилл (США), 2008, ISBN 978-0-07-154382-8 

Внешние ссылки [ править ]

• Пространство и время: от античности до Эйнштейна и не только
• Квантовая геометрия и ее приложения
• Гиперкомплексные числа в геометрии и физике