Квантовая неопределенность

Часть серии по
Квантовая механика
${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Уравнение Шредингера
Введение Глоссарий История Учебники
Фон Классическая механика Старая квантовая теория Обозначение Бра – Кет Гамильтониан Вмешательство
Основы Родившееся правило Комптоновская длина волны Согласованность Декогеренция Комплементарность Уровень энергии Запутанность Гамильтониан Принцип неопределенности Основное состояние Амплитуда вероятности Распределение вероятностей Вмешательство Измерение Слабое измерение Нелокальность Наблюдаемый Оператор Квантовый Квантовая флуктуация Квантовое число Квантовый шум Квантовое состояние Квантовая система Квантовая телепортация Кубит Вращение Суперпозиция Квантовое вакуумное состояние Симметрия (Спонтанное) нарушение симметрии Состояние вакуума Распространение волн Волновая функция Коллапс волновой функции Дуальность волна-частица Волна материи Прямоугольный потенциальный барьер Фокское пространство
Эффекты Эффект Зеемана Эффект Старка Эффект Ааронова – Бома. Квантование Ландау Квантовый эффект Холла Квантовый эффект Зенона Квантовое туннелирование Фотоэлектрический эффект Эффект Казимира
Эксперименты Неравенство Белла Дэвиссон-Гермер Двойная щель Элицур – Вайдман Франк-Герц Неравенство Леггетта – Гарга Мах – Цендер Поппер Квантовый ластик  ( отложенный выбор ) Кот Шредингера Штерн-Герлах Отсроченный выбор Уиллера
Составы Обзор Динамические картинки ( Гейзенберг ; Взаимодействие ; Шредингер ) Матрица Фазовое пространство Суммирование по историям (интеграл по путям)
Уравнения Дирак Хеллманн-Фейнман Кляйн – Гордон Липпманн-Швингер Паули Ридберг Шредингер Функциональная интеграция
Интерпретации Обзор Байесовский Последовательные истории Копенгаген де Бройль-Бом Ансамбль Скрытая переменная Многомиры Объективный коллапс Квантовая логика Реляционный Транзакционный
Дополнительные темы Гипотеза термализации собственного состояния Квантовый отжиг Квантовый хаос Квантовые вычисления Квантовая геометрия Матрица плотности Квантовая теория поля Дробная квантовая механика Квантовая гравитация Квантовая информатика Квантовое машинное обучение Теория возмущений (квантовая механика) Релятивистская квантовая механика Теория рассеяния Теория сверхтекучего вакуума Самопроизвольное параметрическое преобразование с понижением частоты Квантовая статистическая механика
Ученые Ааронов Колокол Blackett Блох Бом Бор Рожденный Bose де Бройль Кэндлин Комптон Дирак Дэвиссон Дебай Эренфест Эйнштейн Эверетт Фок Ферми Фейнман Глаубер Gutzwiller Гейзенберг Гильберта Иордания Крамерс Паули ягненок Ландо Лауэ Мозли Милликен Оннес Планк Раби Раман Ридберг Шредингер Зоммерфельд фон Нейман Weyl Вена Вигнер Zeeman Цайлингер Гоудсмит Уленбек Ян
Категории ► Квантовая механика
v т е

Квантовая неопределенность - это очевидная необходимая неполнота описания физической системы , которая стала одной из характеристик стандартного описания квантовой физики . До квантовой физики считалось, что

(а) физическая система имела детерминированное состояние, которое однозначно определяло все значения ее измеримых свойств, и наоборот

(б) значения его измеримых свойств однозначно определили состояние.

Квантовые неопределенности могут быть количественно характеризуются распределением вероятностей на множестве результатов измерений А.Н. наблюдаемый . Распределение однозначно определяется состоянием системы, и, более того, квантовая механика дает рецепт для вычисления этого распределения вероятностей.

Неопределенность в измерениях не была новшеством квантовой механики, поскольку экспериментаторами на раннем этапе было установлено, что ошибки в измерениях могут приводить к неопределенным результатам. Однако ко второй половине восемнадцатого века ошибки измерения были хорошо изучены, и было известно, что они могут быть уменьшены с помощью более совершенного оборудования или учтены с помощью моделей статистических ошибок. Однако в квантовой механике неопределенность носит гораздо более фундаментальный характер и не имеет ничего общего с ошибками или возмущениями.

Измерение [ править ]

Адекватное объяснение квантовой неопределенности требует теории измерения. С момента зарождения квантовой механики было предложено множество теорий, и квантовые измерения продолжают оставаться активной областью исследований как в теоретической, так и в экспериментальной физике. ^[1] Возможно, первая систематическая попытка математической теории была разработана Джоном фон Нейманом . Виды измерений, которые он исследовал, теперь называются проективными измерениями. Эта теория, в свою очередь, была основана на теории проекционно-значных мер для самосопряженных операторов, которая была недавно развита (фон Нейманом и независимо Маршаллом Стоуном ), иФормулировка квантовой механики в гильбертовом пространстве (приписываемая фон Нейманом Полю Дираку ).

В этой формулировке состояние физической системы соответствует вектору длины 1 в гильбертовом пространстве H над комплексными числами . Наблюдаемая представлена самосопряженного (т.е. эрмитова ) оператора A на H . Если Н конечен мерный , по спектральной теореме , имеет ортогональный базис из собственных векторов . Если система находится в состоянии ф, то сразу же после измерения система будет занимать положение , которое является собственным вектором е из Аи наблюдаемое значение λ будет соответствующим собственным значением уравнения A e = λ e . Отсюда следует, что измерение в целом будет недетерминированным. Более того, квантовая механика дает рецепт для вычисления распределения вероятностей Pr возможных исходов при начальном состоянии системы ψ. Вероятность

${\displaystyle \operatorname {Pr} (\lambda )=\langle \operatorname {E} (\lambda )\psi \mid \psi \rangle }$

где E (λ) - проекция на пространство собственных векторов оператора A с собственным значением λ.

Пример [ править ]

В этом примере мы рассматриваем одну частицу со спином 1/2 (например, электрон), в которой мы рассматриваем только спиновую степень свободы. Соответствующее гильбертово пространство - это двумерное комплексное гильбертово пространство C ² , каждое квантовое состояние которого соответствует единичному вектору в C ² (уникальному с точностью до фазы). В этом случае пространство состояний можно геометрически представить как поверхность сферы, как показано на рисунке справа.

В спиновые матрицы Паули

${\displaystyle \sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$

являются самосопряженными и соответствуют спин-измерениям по трем координатным осям.

Все матрицы Паули имеют собственные значения +1, −1.

• При σ ₁ эти собственные значения соответствуют собственным векторам

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(1,1),{\frac {1}{\sqrt {2}}}(1,-1)}$

• При σ ₃ они соответствуют собственным векторам

${\displaystyle (1,0),(0,1)\quad }$

Таким образом, в состоянии

${\displaystyle \psi ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(1,1),}$

σ ₁ имеет определенное значение +1, в то время как измерение σ ₃ может дать +1, −1 каждое с вероятностью 1/2. Фактически, нет состояния, в котором измерения как σ _{1, так} и σ ₃ имели определенные значения.

Есть различные вопросы, которые можно задать по поводу вышеупомянутого утверждения о неопределенности.

1. Можно ли истолковать кажущуюся неопределенность как детерминированную, но зависящую от величин, не смоделированных в текущей теории, которая, следовательно, будет неполной? Точнее, существуют ли скрытые переменные, которые могли бы полностью классическим образом объяснить статистическую неопределенность?
2. Можно ли понимать неопределенность как нарушение измеряемой системы?

Фон Нейман сформулировал вопрос 1) и представил аргумент, почему ответ должен быть отрицательным, если человек принимает предложенный им формализм. Однако, по словам Белла, формальное доказательство фон Неймана не оправдывает его неформальный вывод. ^[2] Окончательный, но частичный отрицательный ответ на 1) был установлен экспериментально: поскольку неравенства Белла нарушаются, любая такая скрытая переменная (и) не может быть локальной (см. Тестовые эксперименты Белла ).

Ответ на 2) зависит от того, как понимается возмущение, особенно потому, что измерение влечет за собой возмущение (однако обратите внимание, что это эффект наблюдателя , который отличается от принципа неопределенности). Тем не менее, в самом естественном толковании ответ тоже отрицательный. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим две последовательности измерений: (A) измеряет только σ ₁ и (B) измеряет только σ ₃ спиновой системы в состоянии ψ. Все результаты измерений (A) равны +1, в то время как статистическое распределение измерений (B) по-прежнему делится между +1, -1 с равной вероятностью.

Другие примеры неопределенности [ править ]

Квантовая неопределенность также может быть проиллюстрирована в терминах частицы с точно измеренным импульсом, для которой должен быть фундаментальный предел того, насколько точно может быть указано ее местоположение. Этот принцип квантовой неопределенности может быть выражен в терминах других переменных, например, частица с точно измеренной энергией имеет фундаментальный предел того, насколько точно можно указать, как долго она будет иметь эту энергию. Единицы измерения квантовой неопределенности порядка постоянной Планка (экспериментально установлено, что она равна 6,6 x 10 ^-34 Дж · с).

Неопределенность и неполнота [ править ]

Квантовая неопределенность - это утверждение, что состояние системы не определяет уникальный набор значений для всех ее измеримых свойств. Действительно, согласно теореме Кохена – Шпекера , в квантовомеханическом формализме невозможно, чтобы для данного квантового состояния каждое из этих измеримых свойств ( наблюдаемых ) имело определенное (точное) значение. Значения наблюдаемого будут получены недетерминированно в соответствии с распределением вероятностей, которое однозначно определяется состоянием системы. Обратите внимание, что состояние разрушается при измерении, поэтому, когда мы обращаемся к набору значений, каждое измеренное значение в этом наборе должно быть получено с использованием только что подготовленного состояния.

Эту неопределенность можно рассматривать как своего рода существенную неполноту в нашем описании физической системы. Обратите внимание, однако, что указанная выше неопределенность применяется только к значениям измерений, а не к квантовому состоянию. Например, в примере со спином 1/2, описанном выше, система может быть приготовлена ​​в состоянии ψ, используя измерение σ ₁ в качестве фильтра, который задерживает только те частицы, при которых σ ₁ дает +1. Согласно (так называемым) постулатам фон Неймана, сразу после измерения система заведомо находится в состоянии ψ.

Однако Эйнштейн считал, что квантовое состояние не может быть полным описанием физической системы, и, как принято считать, никогда не приходил к согласию с квантовой механикой. Фактически, Эйнштейн, Борис Подольский и Натан Розен показали, что если квантовая механика верна, то классический взгляд на то, как работает реальный мир (по крайней мере, после специальной теории относительности), больше не выдерживает критики. Эта точка зрения включала следующие две идеи:

1. Измеримое свойство физической системы, значение которого можно с уверенностью предсказать, на самом деле является элементом (локальной) реальности (это была терминология, используемая EPR ).
2. Эффекты локальных воздействий имеют конечную скорость распространения.

Этот провал классической точки зрения был одним из выводов мысленного эксперимента ЭПР, в котором два удаленных наблюдателя , которых теперь обычно называют Алисой и Бобом , проводят независимые измерения спина пары электронов, подготовленных к источнику в специальном помещении. состояние называется спиновым синглетным состоянием. ЭПР с использованием формального аппарата квантовой теории пришел к выводу, что после того, как Алиса измерила спин в направлении x , измерение Боба в направлении x было определено с уверенностью, тогда как непосредственно перед измерением Алисы результат Боба был определен только статистически. Отсюда следует, что любое значение спина в x направление не является элементом реальности или что эффект измерения Алисы имеет бесконечную скорость распространения.

Неопределенность для смешанных состояний [ править ]

Мы описали неопределенность для квантовой системы, которая находится в чистом состоянии . Смешанные состояния - это более общий вид состояний, полученных статистической смесью чистых состояний. Для смешанных состояний «квантовый рецепт» для определения распределения вероятностей измерения определяется следующим образом:

Пусть A - наблюдаемая квантово-механической системы. Задаются плотно заданным самосопряженным оператором на H . Спектральная мера из А является проекцией многозначной меры определяется условием

${\displaystyle \operatorname {E} _{A}(U)=\int _{U}\lambda \,d\operatorname {E} (\lambda ),}$

для каждого борелевского подмножества U из R . Учитывая смешанное состояние S , мы вводим распределение по А под S следующим образом :

${\displaystyle \operatorname {D} _{A}(U)=\operatorname {Tr} (\operatorname {E} _{A}(U)S).}$

Это вероятностная мера , определенная на борелевских подмножествах R , который является распределением вероятностей , полученным путем измерения A в S .

Логическая независимость и квантовая случайность [ править ]

Под квантовой неопределенностью часто понимается информация (или ее отсутствие), о существовании которой мы предполагаем и которая имеет место в отдельных квантовых системах до измерения. Квантовая случайность - это статистическое проявление этой неопределенности, о чем свидетельствуют результаты многократно повторяемых экспериментов. Однако связь между квантовой неопределенностью и случайностью тонка, и ее можно рассматривать по-разному. ^[3]

В классической физике случайные эксперименты, такие как подбрасывание монеты и кости, являются детерминированными в том смысле, что точное знание начальных условий сделало бы результаты совершенно предсказуемыми. «Случайность» происходит из-за незнания физической информации при первоначальном подбрасывании или броске. В диаметральной контрасте, в случае квантовой физики , теоремы Кохен и Шпеккера, ^[4] неравенства Джона Белла, ^[5] и экспериментальные доказательства Alain Aspect , ^{[6] [7]} все показывают , что квантовая хаотичность не происходят из любой такой физической информации .

В 2008 году Томаш Патерек и др. предоставил объяснение в математической информации . Они доказали, что квантовая случайность - это исключительно результат измерительных экспериментов, входные параметры которых вводят логическую независимость в квантовые системы. ^{[8] [9]}

Логическая независимость - хорошо известное явление в математической логике . Это относится к нулевой логической связи, которая существует между математическими предложениями (на одном языке), которые не подтверждают и не опровергают друг друга. ^[10]

В работе Патерека и др. Исследователи демонстрируют связь, связывающую квантовую случайность и логическую независимость в формальной системе булевых предложений. В экспериментах по измерению поляризации фотонов Патерек и др. продемонстрировать статистику, коррелирующую предсказуемые результаты с логически зависимыми математическими предложениями, а случайные результаты - с предложениями, которые логически независимы. ^{[11] [12]}

В 2020 году Стив Фолкнер сообщил о работе, связанной с выводами Томаша Патерека и др .; показывает, что означает логическая независимость в булевых предложениях Патерека в области собственно матричной механики. Он показал, как неопределенность неопределенности возникает в эволюционирующих операторах плотности, представляющих смешанные состояния, где процессы измерения сталкиваются с необратимой «утерянной историей» и появлением неоднозначности. ^[13]

См. Также [ править ]

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• А. Аспект, тест неравенства Белла: идеальнее, чем когда-либо , Nature 398 189 (1999). [2]
• Дж. Бергманн, Логика кванты , Американский журнал физики, 1947. Перепечатано в «Чтениях по философии науки», под ред. Х. Фейгл и М. Бродбек, Appleton-Century-Crofts, 1953. Обсуждает измерение, точность и детерминизм.
• Дж. С. Белл, О парадоксе Эйнштейна – Полдольского – Розена , Physics 1 195 (1964).
• А. Эйнштейн, Б. Подольский, Н. Розен, Можно ли считать квантово-механическое описание физической реальности полным? Phys. Ред. 47 777 (1935 г.). [3]
• Дж. Макки, Математические основы квантовой механики , У. А. Бенджамин, 1963 (перепечатка в мягкой обложке, изданная Dover 2004).
• Дж. Фон Нейман, Математические основы квантовой механики , Princeton University Press, 1955. Перепечатано в мягкой обложке. Первоначально опубликовано на немецком языке в 1932 году.
• Р. Омнес, Понимание квантовой механики , Издательство Принстонского университета, 1999.

Внешние ссылки [ править ]

• Распространенные заблуждения относительно квантовой механики См., В частности, часть III «Заблуждения относительно измерения».