В математической области теории представлений , представление алгебры Ли или представление алгебры Ли является способом записи алгебры Ли в виде набора матриц (или эндоморфизмов одного векторного пространства ) таким образом , что скобка Ли задаются коммутатор . На языке физики ищется векторное пространство вместе с набором операторов на удовлетворяющие некоторому фиксированному набору коммутационных соотношений, таких как отношения, которым удовлетворяют операторы углового момента .
Это понятие тесно связано с представлением группы Ли . Грубо говоря, представления алгебр Ли - это дифференцированная форма представлений групп Ли, а представления универсальной накрытия группы Ли - это интегрированная форма представлений ее алгебры Ли.
При изучении представлений алгебры Ли особое кольцо , называемое универсальной обертывающей алгеброй , ассоциированное с алгеброй Ли, играет важную роль. Универсальность этого кольца говорит о том, что категория представлений алгебры Ли совпадает с категорией модулей над ее обертывающей алгеброй.
Формальное определение
Позволять - алгебра Ли и пусть быть векторным пространством. Мы позволяем обозначим пространство эндоморфизмов , то есть пространство всех линейных отображений себе. Мы делаем в алгебру Ли со скобкой, заданной коммутатором: для всех ρ, σ в. Тогда представление о на является гомоморфизмом алгебр Ли
- .
В явном виде это означает, что должна быть линейной картой и удовлетворять
для всех X, Y в. Векторное пространство V вместе с представлением ρ называется-модуль . (Многие авторы злоупотребляют терминологией и называют V самим представлением).
Представление называется верным, если он инъективен.
Эквивалентно можно определить -модуль как векторное пространство V вместе с билинейным отображением такой, что
для всех X, Y ви v в V . Это связано с предыдущим определением, когда X ⋅ v = ρ ( X ) ( v ).
Примеры
Присоединенные представления
Самый простой пример представления алгебры Ли - присоединенное представление алгебры Ли на себя:
В самом деле, в силу тождества Якоби , является гомоморфизмом алгебр Ли.
Представления инфинитезимальных групп Ли
Представление алгебры Ли также возникает в природе. Если: G → H - гомоморфизм (вещественных или комплексных) групп Ли , и а также являются алгебрами Ли групп G и H соответственно, то дифференциал на касательных пространствах в тождествах является гомоморфизмом алгебр Ли. В частности, для конечного-мерного векторного пространства V , А представления групп Ли
определяет гомоморфизм алгебр Ли
из к алгебры Ли линейной группы GL ( V ), т.е. эндоморфизмов алгебры V .
Например, пусть . Тогда дифференциал в тождестве является элементом . Обозначая это получается представление группы G на векторном пространстве. Это присоединенное представление о G . Применяя предыдущее, получаем представление алгебры Ли. Можно показать, что, присоединенное представление .
Частичное обращение к этому утверждению говорит о том, что каждое представление конечномерной (вещественной или комплексной) алгебры Ли поднимается до единственного представления ассоциированной односвязной группы Ли, так что представления односвязных групп Ли находятся во взаимно однозначном соотношении. одно соответствие с представлениями их алгебр Ли. [1]
В квантовой физике
В квантовой теории рассматриваются «наблюдаемые», которые являются самосопряженными операторами в гильбертовом пространстве . Тогда коммутационные соотношения между этими операторами являются важным инструментом. В угловых операторах импульса , например, удовлетворяют коммутационные соотношения
- .
Таким образом, оболочка этих трех операторов образует алгебру Ли, которая изоморфна алгебре Ли so (3) группы вращений SO (3) . [2] Тогда, если - любое подпространство квантового гильбертова пространства, инвариантное относительно операторов углового момента, будет представлять собой представление алгебры Ли so (3). Понимание теории представлений so (3) очень помогает, например, при анализе гамильтонианов с вращательной симметрией, таких как атом водорода . Многие другие интересные алгебры Ли (и их представления) возникают в других разделах квантовой физики. Действительно, история теории представлений характеризуется богатым взаимодействием между математикой и физикой.
Основные понятия
Инвариантные подпространства и неприводимость
Учитывая представление алгебры Ли , мы говорим, что подпространство из является инвариантным , если для всех а также . Ненулевое представление называется неприводимым, если единственные инвариантные подпространства сам и нулевое пространство . Термин простой модуль также используется для неприводимого представления.
Гомоморфизмы
Позволять - алгебра Ли . Пусть V , W --модули. Тогда линейное отображениеявляется гомоморфизмом из-модули, если это -эквивариантный; т.е. для любой . Если f биективен,называются эквивалентными . Такие карты также называют переплетающимися картами или морфизмами .
Точно так же многие другие конструкции из теории модулей в абстрактной алгебре переносятся на эту установку: подмодуль, фактор, подфактор, прямая сумма, ряд Жордана-Гёльдера и т.
Лемма Шура
Простым, но полезным инструментом в изучении неприводимых представлений является лемма Шура. Он состоит из двух частей: [3]
- Если V , W неприводимы-модули и является гомоморфизмом, то является либо нулем, либо изоморфизмом.
- Если V неприводимая-модуль над алгебраически замкнутым полем и является гомоморфизмом, то является скалярным кратным тождества.
Полная сводимость
Пусть V - представление алгебры Ли. Тогда V называется вполне приводимым (или полупростым), если оно изоморфно прямой сумме неприводимых представлений (ср. Полупростой модуль ). Если V конечномерно, то V полностью приводимо тогда и только тогда, когда каждое инвариантное подпространство V имеет инвариантное дополнение. (То есть, если W - инвариантное подпространство, то существует другое инвариантное подпространство P такое, что V является прямой суммой W и P. )
Если - конечномерная полупростая алгебра Ли над полем нулевой характеристики и V конечномерна, то V полупроста; это теорема Вейля о полной сводимости . [4] Таким образом, для полупростых алгебр Ли классификация неприводимых (т.е. простых) представлений немедленно приводит к классификации всех представлений. Для других алгебр Ли, не обладающих этим специальным свойством, классификация неприводимых представлений может не сильно помочь в классификации общих представлений.
Алгебра Ли называется редуктивной, если присоединенное представление полупросто. Конечно, всякая (конечномерная) полупростая алгебра Лиредуктивно, так как каждое представлениеполностью сводится, как мы только что отметили. С другой стороны, определение редуктивной алгебры Ли означает, что она распадается как прямая сумма идеалов (т. Е. Инвариантных подпространств для присоединенного представления), не имеющих нетривиальных подидеалов. Некоторые из этих идеалов будут одномерными, а остальные - простыми алгебрами Ли. Таким образом, редуктивная алгебра Ли - это прямая сумма коммутативной алгебры и полупростой алгебры.
Инварианты
Элемент v из V называется-инвариантно, если для всех . Множество всех инвариантных элементов обозначается через.
Основные конструкции
Тензорные произведения представлений
Если у нас есть два представления алгебры Ли , с V 1 и V 2 в качестве базовых векторных пространств, тогда тензорное произведение представлений будет иметь V 1 ⊗ V 2 в качестве базового векторного пространства с действием однозначно определяется предположением, что
для всех а также .
На языке гомоморфизмов это означает, что мы определяем по формуле
- . [5]
В физической литературе тензорное произведение с единичным оператором часто опускается в обозначениях, а формула записывается как
- ,
где понимается, что действует на первый множитель в тензорном произведении и действует на второй множитель в тензорном произведении. В контексте представлений алгебры Ли su (2) тензорное произведение представлений называется «сложение углового момента». В контексте, может быть, например, орбитальный угловой момент, в то время как - спиновый угловой момент.
Двойные представления
Позволять алгебра Ли и быть представлением . Позволять - двойственное пространство, т. е. пространство линейных функционалов на . Тогда мы можем определить представление по формуле
где для любого оператора , оператор транспонирования определяется как «композиция с "оператор:
Знак минус в определении необходимо для того, чтобы на самом деле представляет собой представление , в свете идентичности
Если мы работаем в основе, то транспонирование в приведенном выше определении можно интерпретировать как обычное транспонирование матрицы.
Представление на линейных картах
Позволять быть -модули, алгебра Ли. потом становится -модуль, установив . В частности,; то есть-модульные гомоморфизмы из к просто элементы которые инвариантны относительно только что определенного действия на . Если мы возьмем в качестве базового поля, мы восстанавливаем действие на приведено в предыдущем подразделе.
Теория представлений полупростых алгебр Ли
Обертывающие алгебры
Каждой алгебре Ли над полем k можно связать некоторое кольцо, называемое универсальной обертывающей алгеброй и обозначен . Универсальное свойство универсальной обертывающей алгебры гарантирует, что каждое представление рождает представление о . Наоборот, теорема PBW говорит нам, что сидит внутри , так что каждое представление может быть ограничено . Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между представлениями и те из .
Универсальная обертывающая алгебра играет важную роль в описанной выше теории представлений полупростых алгебр Ли. В частности, конечномерные неприводимые представления строятся как факторы модулей Верма , а модули Верма строятся как факторы универсальной обертывающей алгебры. [6]
Построение составляет. [7] Пусть T - тензорная алгебра векторного пространства. Таким образом, по определению и умножение на нем дается . Позволятьбыть в факторе - кольце из Т от идеала , порожденными элементами вида
- .
Есть естественная линейная карта из в полученный ограничением фактор-карты до степени одной штуки. Теорема PBW означает, что каноническое отображение действительно инъективно. Таким образом, каждая алгебра Ли можно вложить в ассоциативную алгебру таким образом, чтобы скоба на дан кем-то в .
Если является абелевой , то симметрическая алгебра векторного пространства .
С является модулем над собой через присоединенное представление, обертывающая алгебра становится -модуль расширением присоединенного представления. Но можно также использовать левое и правое регулярные представления, чтобы сделать обертывающую алгебру-модуль; а именно, с обозначениемотображение определяет представление на . Правое регулярное представление определяется аналогично.
Индуцированное представительство
Позволять - конечномерная алгебра Ли над полем нулевой характеристики и подалгебра. действует на справа и, следовательно, для любого -модуль W можно сформировать левый-модуль . Это-модуль обозначается и назвал -модуль , индуцированный Вт . Он удовлетворяет (и фактически характеризуется) универсальным свойством: для любого-модуль E
- .
Более того, является точным функтором из категории -модули в категорию -модули. Они используют тот факт, что свободный правый модуль над . В частности, еслипросто (соответственно, абсолютно просто), то W просто (соответственно, абсолютно просто). Здесь-модуль V абсолютно прост, если просто для любого расширения поля .
Индукция транзитивна: для любой подалгебры Ли и любая подалгебра Ли . Индукция коммутирует с ограничением: пусть быть подалгеброй и идеал что содержится в . Набор а также . потом.
Бесконечномерные представления и «категория O»
Позволять - конечномерная полупростая алгебра Ли над полем нулевой характеристики. (в разрешимом или нильпотентном случае изучаются примитивные идеалы обертывающей алгебры; окончательное описание см. Диксмье.)
Категория (возможно, бесконечномерных) модулей над оказывается слишком большим, особенно для того, чтобы методы гомологической алгебры могли быть полезными: было осознано, что меньшая категория подкатегории O является лучшим местом для теории представлений в полупростом случае с нулевой характеристикой. Например, категория O оказалась подходящего размера для формулирования знаменитой взаимности BGG. [8]
(g, K) -модуль
Одно из наиболее важных приложений представлений алгебры Ли - это теория представлений вещественной редуктивной группы Ли. Приложение основано на идее, что еслиявляется представлением в гильбертовом пространстве, скажем, связной вещественной полупростой линейной группы Ли G , то оно имеет два естественных действия: комплексификациюи связная максимальная компактная подгруппа K . В-модульная структура позволяет применять алгебраические, особенно гомологические методы, и -модульная структура позволяет проводить гармонический анализ аналогично тому, как это делается на связных компактных полупростых группах Ли.
Представление на алгебре
Если у нас есть супералгебра Ли L , то представление L на алгебре является (не обязательно ассоциативной ) градуированной алгеброй Z 2 A, которая является представлением L как градуированного векторного пространства Z 2, и, кроме того, элементы L действуют а дифференцирования / антидифференцированиями на A .
Более конкретно, если Н является чистый элемент из L и х и у являются чистые элементы из A ,
- H [ xy ] = ( H [ x ]) y + (−1) xH x ( H [ y ])
Кроме того , если является унитарным , то
- H [1] = 0
Теперь, в случае представления алгебры Ли , мы просто отбрасываем все градуировки и (−1) на некоторые степенные множители.
(Супер) алгебра Ли - это алгебра, и она имеет присоединенное представление самой себя. Это представление на алгебре: свойство (анти) дифференцирования - это супер- тождество Якоби .
Если векторное пространство одновременно является ассоциативной алгеброй и алгеброй Ли, а присоединенное представление алгебры Ли на самом себе является представлением на алгебре (т. Е. Действует дифференцированием в структуре ассоциативной алгебры), то это алгебра Пуассона . Аналогичное наблюдение для супералгебр Ли дает понятие супералгебры Пуассона .
Смотрите также
- Представление группы Ли
- Вес (теория представлений)
- Теорема Вейля о полной сводимости
- Корневая система
- Формула характера Вейля
- Теория представлений связной компактной группы Ли
- Лемма Уайтхеда (алгебры Ли)
- Гипотезы Каждана – Люстига
- Лемма Квиллена - аналог леммы Шура
Заметки
- ^ Холл 2015 Теорема 5.6
- ^ Зал 2013 Раздел 17.3
- ^ Холл 2015 Теорема 4.29
- ^ Диксмье 1977 , теорема 1.6.3
- ^ Зал 2015 Раздел 4.3
- ^ Зал 2015 Раздел 9.5
- ^ Якобсон 1962
- ^ Почему BGG категория O?
Рекомендации
- Бернштейн И.Н., Гельфанд И.М., Гельфанд С.И., «Структура представлений, порождаемых векторами старшего веса», Функционал. Анальный. Прил. 5 (1971)
- Диксмье, Дж. (1977), Обертывающие алгебры , Амстердам, Нью-Йорк, Оксфорд: Северная Голландия, ISBN 0-444-11077-1.
- А. Бейлинсон и Дж. Бернштейн, "Локализация g-модулей", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, vol. 292, вып. 1. С. 15–18, 1981.
- Bäuerle, GGA; де Керф, EA (1990). А. ван Грезен; Э.М. де Ягер (ред.). Конечномерные и бесконечномерные алгебры Ли и их применение в физике . Исследования по математической физике. 1 . Северная Голландия. ISBN 0-444-88776-8.
- Bäuerle, GGA; де Керф, EA; тен Кроуд, APE (1997). А. ван Грезен; Э.М. де Ягер (ред.). Конечномерные и бесконечномерные алгебры Ли и их применение в физике . Исследования по математической физике. 7 . Северная Голландия. ISBN 978-0-444-82836-1- через ScienceDirect .
- Фултон, В .; Харрис, Дж. (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для выпускников по математике. 129 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97495-8. Руководство по ремонту 1153249 .
- Д. Гайцгори, Теория геометрических представлений, Math 267y, осень 2005 г.
- Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, 267 , Springer, ISBN 978-1461471158
- Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
- Россманн, Вульф (2002), Группы Ли - Введение через линейные группы , Тексты для выпускников Оксфорда по математике, Oxford Science Publications, ISBN 0-19-859683-9
- Риоши Хотта, Киёси Такеучи, Тошиюки Танисаки, D-модули, извращенные пучки и теория представлений ; перевод Киёси Такеуч
- Хамфрис, Джеймс (1972), Введение в алгебры Ли и теорию представлений , Тексты для выпускников по математике, 9 , Springer, ISBN 9781461263982
- Н. Якобсон, Алгебры Ли , Courier Dover Publications, 1979.
- Гаррет Биркгоф ; Филип М. Уитмен (1949). «Представление йорданов и алгебр Ли» (PDF) . Пер. Амер. Математика. Soc. 65 : 116–136. DOI : 10,1090 / s0002-9947-1949-0029366-6 .
- Кириллов, А. (2008). Введение в группы Ли и алгебры Ли . Кембриджские исследования в области высшей математики. 113 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521889698.
- Кнапп, Энтони В. (2001), Теория представлений полупростых групп. Обзор на примерах. , Princeton Landmarks in Mathematics, Princeton University Press, ISBN. 0-691-09089-0(элементарное лечение SL (2, C ))
- Кнапп, Энтони В. (2002), Группы Ли за пределами и Введение (второе изд.), Birkhauser
дальнейшее чтение
- Бен-Цви, Давид; Надлер, Дэвид (2012). «Локализация Бейлинсона-Бернштейна над центром Хариш-Чандра». arXiv : 1209.0188v1 [ math.RT ].