Уравнение Вейля

Квантовая теория поля
Диаграмма Фейнмана
История
Задний план Эффект Казимира Космическая струна Теория поля Электромагнетизм Слабая сила Сильная сила Четвертичное взаимодействие Квантовая механика Специальная теория относительности Общая теория относительности Калибровочная теория
Симметрии Симметрия в квантовой механике C-симметрия P-симметрия Т-симметрия Симметрия переноса пространства Симметрия перевода времени Симметрия вращения Симметрия Лоренца Симметрия Пуанкаре Калибровочная симметрия Явное нарушение симметрии Спонтанное нарушение симметрии Теория Янга – Миллса Нётер заряд Топологический заряд
Инструменты Аномалия Переход Эффективная теория поля Ценность ожидания Призрачные поля Призраки Фаддеева – Попова Диаграмма Фейнмана Решеточная калибровочная теория Формула восстановления LSZ Функция разделения Пропагатор Квантование Регуляризация Перенормировка Состояние вакуума Теорема Вика Аксиомы Вайтмана Параметризация Фейнмана
Уравнения Уравнение Дирака Уравнение Клейна – Гордона Уравнения Прока Уравнение Уиллера – ДеВитта Уравнения Баргмана – Вигнера Уравнение Джооса – Вайнберга Уравнение Вейля
Стандартная модель Квантовое вакуумное состояние Квантовая динамика Квантовая термодинамика Квантовая электродинамика Электрослабое взаимодействие Квантовая хромодинамика Механизм Хиггса Виртуальная частица
Неполные теории Причинная динамическая триангуляция Причинные фермионные системы Причинные множества Конформная теория поля Теория Черна – Саймонса Море Дирака Ложный вакуум Калибровочная теория Теория калибровочной гравитации Калибровочная теория гравитации Теория возмущений 6D (2,0) суперконформная теория поля Двумерная конформная теория поля Квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени Теория теплового квантового поля Топологическая квантовая теория поля Локальная квантовая теория поля Теория поля Лиувилля Некоммутативная квантовая теория поля Квантовая геометрия Теория рассеяния Полуклассическая гравитация Отжим пена Струнная теория Теория суперструн М-Теория Суперсимметрия Супергравитация Разноцветный Теория всего Каноническая квантовая гравитация Квантовая космология Квантовая пена Квантовая флуктуация Квантовая гравитация Локальная квантовая теория поля Петлевая квантовая гравитация Петлевая квантовая космология Релятивистская квантовая теория поля Теория скрытых переменных Теория объективного коллапса Теория Янга – Миллса
Ученые Адлер Андерсон Быть Боголюбов Коулман Каллан ДеВитт Дирак Дайсон Ферми Фейнман Фирц Фок Fröhlich Гелл-Манн Голдстоун Валовой Гейзенберг 'т Хофт Джеки Иордания Ландо Ли Lehmann Мандельштам Майорана Намбу Паризи Поляков Салам Швингер Skyrme Штюкельберг Симанзик Томонага Вельтман Вайнберг Weisskopf Weyl Вильчек Уилсон Виттен Ян Юкава Циммерманн Зинн-Джастин
v т е

В физике , особенно в квантовой теории поля , уравнение Вейля является релятивистским волновым уравнением для описания безмассовых частиц со спином 1/2, называемых фермионами Вейля . Уравнение названо в честь Германа Вейля . Фермионы Вейля являются одним из трех возможных типов элементарных фермионов, два других - фермионы Дирака и Майорана .

Ни один из элементарных частиц в Стандартной модели не вейлевские фермионы. До подтверждения нейтринных осцилляций считалось, что нейтрино может быть фермионом Вейля (теперь он считается либо дираковским, либо майорановским фермионом). В физике конденсированного состояния некоторые материалы, которые могут отображать квазичастицы, которые ведут себя как фермионы Вейля, приводят к понятию полуметаллов Вейля .

История [ править ]

Уравнение Дирака , опубликованное в 1928 году Полем Дираком , впервые описало частицы со спином 1/2 в рамках релятивистской квантовой механики . ^[1] Немецкий математик и математический физик Герман Вейль опубликовал свое уравнение в 1929 году как упрощенную версию уравнения Дирака. ^[1]^[2] Вольфганг Паули в 1933 году выступил против уравнения Вейля, поскольку оно нарушает четность . ^[3] Однако за три года до этого Паули предсказал существование нового элементарного фермиона , нейтрино , чтобы объяснить бета-распад., который в конечном итоге будет описываться тем же уравнением.

В 1937 году Коньерс Херринг предложил идею квазичастиц фермионов Вейля в конденсированных средах. ^[4]

Окончательно нейтрино были подтверждены в 1956 году как частицы с исчезающей массой. ^[3] В том же году эксперимент Ву показал, что четность нарушается из-за слабого взаимодействия . За этим последовало экспериментальное открытие фиксированной спиральности нейтрино в 1958 г. ^[3] Кроме того, поскольку эксперименты не показали признаков массы нейтрино, интерес к уравнению Вейля вновь проявился. Таким образом, Стандартная модель была построена в предположении, что нейтрино были фермионами Вейля. ^[3]

В то время как итальянский физик Бруно Понтекорво в 1957 году предположил возможность существования масс нейтрино и осцилляций нейтрино , ^[3] только в 1998 году Супер-Камиоканде в конечном итоге подтвердил свое существование. ^[3] Это открытие подтвердило, что уравнение Вейля не может полностью описать распространение нейтрино. ^[1]

В 2015 году первый полуметалл Вейля был экспериментально продемонстрирован в кристаллическом арсениде тантала ( ) при сотрудничестве групп М.З. Хасана ( Принстонский университет ) и Х. Дина ( Китайская академия наук ). ^[4] Независимо, в том же году группа М. Солячича ( Массачусетский технологический институт ) также наблюдала возбуждение, подобное Вейлю, в фотонных кристаллах . ^[4] ${\ displaystyle {\ ce {TaAs}}}$

Уравнение [ править ]

Уравнение Вейля можно записать как ^[5]^[6]^[7]

{\ Displaystyle \ sigma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ psi = 0}

Расширяя вышеупомянутое и вставляя для скорости света : ${\ displaystyle c}$

{\ displaystyle I_ {2} {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} + \ sigma _ {x} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial x}} + \ sigma _ {y} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial y}} + \ sigma _ {z} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial z}} = 0 }

где

\sigma ^{\mu }=(\sigma ^{0},\sigma ^{1},\sigma ^{2},\sigma ^{3})=(I_{2},\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})

- вектор , компоненты которого представляют собой единичную матрицу 2 × 2 для μ = 0 и матрицы Паули для μ = 1,2,3, а ψ - волновая функция - один из спиноров Вейля . Двойственная форма уравнения обычно записывается как: $I_{2}$

{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0

где . Эти две разные формы уравнения Вейля; их решения также различны. Можно показать, что решения имеют левую и правую спиральность и, следовательно, хиральность . Эти два элемента удобно обозначить явно; маркировка есть и ${\bar {\sigma }}^{\mu }=(I_{2},-\sigma _{x},-\sigma _{y},-\sigma _{z})$ $\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}=0$ ${\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}=0~.$

Решения плоских волн [ править ]

На плоских волн решения уравнения Вейля называются левой и правой рукой спинорами вейлевских, каждый с двумя компонентами. Оба имеют форму

\psi (\mathbf {r} ,t)={\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\\\end{pmatrix}}=\chi e^{-i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}=\chi e^{-i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)/\hbar }

,

где

\chi ={\begin{pmatrix}\chi _{1}\\\chi _{2}\\\end{pmatrix}}

двухкомпонентный спинор, зависящий от импульса, который удовлетворяет

\sigma ^{\mu }p_{\mu }\chi =(I_{2}E-{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}})\chi =0

или же

{\bar {\sigma }}^{\mu }p_{\mu }\chi =(I_{2}E+{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}})\chi =0

.

Прямым манипулированием получаем, что

({\bar {\sigma }}^{\nu }p_{\nu })(\sigma ^{\mu }p_{\mu })\chi =(\sigma ^{\nu }p_{\nu })({\bar {\sigma }}^{\mu }p_{\mu })\chi =p_{\mu }p^{\mu }\chi =(E^{2}-{\vec {p}}\cdot {\vec {p}})\chi =0

,

и приходит к выводу, что уравнения соответствуют безмассовой частице . В результате величина импульса p напрямую связана с волновым вектором k соотношениями Де Бройля как:

|\mathbf {p} |=\hbar |\mathbf {k} |=\hbar \omega /c\,\rightarrow \,|\mathbf {k} |=\omega /c

Уравнение можно записать в терминах левых и правых спиноров как:

{\begin{aligned}&\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}=0\\&{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}=0\end{aligned}}

Спиральность [ править ]

Левая и правая компоненты соответствуют спиральности λ частиц, проекции оператора углового момента J на момент импульса p :

\mathbf {p} \cdot \mathbf {J} \left|\mathbf {p} ,\lambda \right\rangle =\lambda |\mathbf {p} |\left|\mathbf {p} ,\lambda \right\rangle

Вот . $\lambda =\pm 1/2$

Лоренц-инвариантность [ править ]

Оба уравнения Лоренца инвариантна при преобразованиях Лоренца , где Более точно, уравнения преобразования , как $x\mapsto x^{\prime }=\Lambda x$ $\Lambda \in \mathrm {SO} (1,3).$

\sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {R}}(x^{\prime })=(S^{-1})^{\dagger }\sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {R}}(x)

где - эрмитово транспонирование при условии, что правое поле преобразуется как $S^{\dagger }$

\psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }(x^{\prime })=S\psi _{\rm {R}}(x)

Матрица связана с преобразованием Лоренца с помощью двойного покрытия из группы Лоренца с помощью специальной линейной группы , заданной $S\in SL(2,\mathbb {C} )$ $\mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )$

\sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=(S^{-1})^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}

Таким образом, если непреобразованный дифференциал обращается в нуль в одной лоренцевой системе отсчета, то он обращается в нуль и в другой. по аналогии

{\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {L}}(x)\mapsto {\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {L}}(x^{\prime })=S{\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {L}}(x)

при условии, что левое поле преобразуется как

\psi _{\rm {L}}(x)\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }(x^{\prime })=(S^{\dagger })^{-1}\psi _{\rm {L}}(x)~.

Доказательство

Ни одно из этих свойств преобразования никоим образом не является «очевидным» и поэтому заслуживает тщательного вывода. Начнем с формы

\psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }(x^{\prime })=R\psi _{\rm {R}}(x)

для некоторых неизвестных предстоит определить. Преобразование Лоренца в координатах: $R\in \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )$

x^{\prime \mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }

или, что то же самое,

x^{\nu }={(\Lambda ^{-1})^{\nu }}_{\mu }x^{\prime \mu }

Это ведет к

{\begin{aligned}\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }^{\prime }\psi _{\rm {R}}(x^{\prime })&=\sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {R}}(x^{\prime })\\&=\sigma ^{\mu }{\frac {\partial x^{\nu }}{\partial x^{\prime \mu }}}{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}R\psi _{\rm {R}}(x)\\&=\sigma ^{\mu }{(\Lambda ^{-1})^{\nu }}_{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}R\psi _{\rm {R}}(x)\\&=\sigma ^{\mu }{(\Lambda ^{-1})^{\nu }}_{\mu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\end{aligned}}

Чтобы использовать карту Вейля

\sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=(S^{-1})^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}

необходимо поднять и опустить несколько индексов. Это легче сказать, чем сделать, так как это вызывает идентичность

\eta \Lambda ^{T}\eta =\Lambda ^{-1}

где - метрика Минковского плоского пространства . Вышеупомянутая идентичность часто используется для определения элементов, которые One принимает транспонирование: $\eta ={\mbox{diag}}(+1,-1,-1,-1)$ $\Lambda \in \mathrm {SO} (1,3).$

{(\Lambda ^{-1})^{\nu }}_{\mu }={(\Lambda ^{-1T})_{\mu }}^{\nu }

написать

{\begin{aligned}\sigma ^{\mu }{(\Lambda ^{-1})^{\nu }}_{\mu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)&=\sigma ^{\mu }{(\Lambda ^{-1T})_{\mu }}^{\nu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\\&=\sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }\partial ^{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\\&=(S^{-1})^{\dagger }\sigma _{\mu }\partial ^{\mu }S^{-1}R\psi _{\rm {R}}(x)\end{aligned}}

Таким образом, восстанавливается исходная форма, если то есть. Выполняя те же манипуляции с левым уравнением, можно сделать вывод, что $S^{-1}R=1,$ $R=S.$

\psi _{\rm {L}}(x)\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }(x^{\prime })=L\psi _{\rm {L}}(x)

с ^[а] $L=(S^{\dagger })^{-1}.$

Отношение к Майоране [ править ]

Уравнение Вейля традиционно интерпретируется как описание безмассовой частицы. Однако с небольшими изменениями можно получить двухкомпонентную версию уравнения Майорана . ^[8] Это возникает потому , что специальная линейная группа является изоморфна к симплектической группе Симплектических группы определена как совокупность всех комплексных матриц 2х2 , которые удовлетворяют $\mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )$ $\mathrm {Sp} (2,\mathbb {C} ).$

\omega ^{-1}S^{T}\omega =S^{-1}

где

\omega =i\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}

Определяющее отношение можно переписать как где - комплексное сопряжение . Правое поле, как отмечалось ранее, преобразуется как $\omega S^{*}=(S^{\dagger })^{-1}\omega$ $S^{*}$

\psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }(x^{\prime })=S\psi _{\rm {R}}(x)

и поэтому комплексно сопряженное поле преобразуется как

\psi _{\rm {R}}^{*}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime *}(x^{\prime })=S^{*}\psi _{\rm {R}}^{*}(x)

Применяя определяющее отношение, можно сделать вывод, что

m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)\mapsto m\omega \psi _{\rm {R}}^{\prime *}(x^{\prime })=(S^{\dagger })^{-1}m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)

что точно такое же свойство ковариации Лоренца, которое отмечалось ранее. Таким образом, линейная комбинация с использованием произвольного комплексного фазового множителя $\eta =e^{i\phi }$

i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}(x)+\eta m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)

преобразуется ковариантно; установка нуля дает комплексное двухкомпонентное уравнение Майорана . Уравнение Майорана обычно записывается как четырехкомпонентное действительное уравнение, а не как двухкомпонентное комплексное уравнение; все вышесказанное может быть преобразовано в четырехкомпонентную форму (подробности см. в этой статье). Аналогичным образом левокиральное уравнение Майорана (включая произвольный фазовый множитель ) имеет вид $\zeta$

i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}(x)+\zeta m\omega \psi _{\rm {L}}^{*}(x)=0

Как отмечалось ранее, левая и правая киральные версии связаны преобразованием четности. Косая комплексно-сопряженная формула может быть распознана как зарядово-сопряженная форма. Таким образом, уравнение Майорана может быть прочитано как уравнение, которое связывает спинор с его зарядово-сопряженной формой. Две отдельные фазы массового члена связаны с двумя различными собственными значениями оператора зарядового сопряжения; см. зарядовое сопряжение и уравнение Майорана для деталей. $\omega \psi ^{*}=i\sigma ^{2}\psi$ $\psi ~.$

Определите пару операторов, операторы Майорана,

D_{\rm {L}}=i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }+\zeta m\omega K\qquad D_{\rm {R}}=i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K

где краткое напоминание о том, что нужно принимать комплексное сопряжение. При преобразованиях Лоренца они преобразуются как $K$

D_{\rm {L}}\mapsto D_{\rm {L}}^{\prime }=SD_{\rm {L}}S^{\dagger }\qquad D_{\rm {R}}\mapsto D_{\rm {R}}^{\prime }=(S^{\dagger })^{-1}D_{\rm {R}}S^{-1}

тогда как спиноры Вейля преобразуются как

\psi _{\rm {L}}\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }=(S^{\dagger })^{-1}\psi _{\rm {L}}\qquad \psi _{\rm {R}}\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }=S\psi _{\rm {R}}

так же, как указано выше. Таким образом, их согласованные комбинации лоренцевы ковариантны, и можно взять

D_{\rm {L}}\psi _{\rm {L}}=0\qquad D_{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}=0

как пару комплексных 2-спинорных уравнений Майорана.

Оба произведения и являются ковариантными по Лоренцу. Продукт явно $D_{\rm {L}}D_{\rm {R}}$ $D_{\rm {R}}D_{\rm {L}}$

D_{\rm {R}}D_{\rm {L}}=\left(i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K\right)\left(i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }+\zeta m\omega K\right)=-(\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}+\eta \zeta ^{*}m^{2})=-(\square +\eta \zeta ^{*}m^{2})

Чтобы проверить это, необходимо иметь в виду, что RHS сводится к оператору Клейна – Гордона при условии , что эти два оператора Майораны, таким образом, являются «квадратными корнями» из оператора Клейна – Гордона. $\omega ^{2}=-1$ $Ki=-iK~.$ $\eta \zeta ^{*}=1$ $\eta =\zeta ~.$

Лагранжианы плотности [ править ]

Уравнения получаются из лагранжевых плотностей

{\mathcal {L}}=i\psi _{\rm {R}}^{\dagger }\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}},

{\mathcal {L}}=i\psi _{\rm {L}}^{\dagger }{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}.

Рассматривая спинор и его сопряженный элемент (обозначенный ) как независимые переменные, получается соответствующее уравнение Вейля. $\dagger$

Спиноры Вейля [ править ]

Термин спинор Вейля также часто используется в более общем контексте как определенный элемент алгебры Клиффорда . Это тесно связано с решениями, приведенными выше, и дает естественную геометрическую интерпретацию спинорам как геометрическим объектам, живущим на многообразии . Этот общий подход имеет несколько сильных сторон: он проясняет их интерпретацию как фермионы в физике и точно показывает, как определить спин в общей теории относительности или, действительно, для любого риманова многообразия или псевдориманова многообразия . Неофициально это схематично показано следующим образом.

Уравнение Вейля инвариантно относительно действия группы Лоренца . Это означает, что при применении ускорений и поворотов форма самого уравнения не меняется. Однако форма самого спинора действительно меняется. Полностью игнорируя пространство- время, алгебра спиноров описывается (комплексифицированной) алгеброй Клиффорда . Спиноры трансформируются под действием спиновой группы . Это полностью аналогично тому, как можно говорить о векторе и о том, как он трансформируется в группе вращения , за исключением того, что теперь он адаптирован к случаю спиноров. $\psi$

Для произвольного псевдориманова многообразия размерности можно рассматривать его касательное расслоение . В любой момент , то касательное пространство является мерным векторным пространством . Учитывая это векторное пространство, на нем можно построить алгебру Клиффорда . Если являются базисом векторного пространства на , можно построить пару спиноров Вейля как ^[9] $M$ $(p,q)$ $TM$ $x\in M$ $T_{x}M$ $(p,q)$ $\mathrm {Cl} (p,q)$ $\{e_{i}\}$ $T_{x}M$

w_{j}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(e_{2j}+ie_{2j+1}\right)

а также

w_{j}^{*}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(e_{2j}-ie_{2j+1}\right)

При правильном рассматривается в свете алгебры Клиффорда, это естественно анти-коммутирующих , то есть, один есть , что это может быть счастливо истолковано как математическое реализации принципа запрета Паули , тем самым позволяя этим абстрактно определенные формальные структуры следует интерпретировать как фермионов . Для размерного пространства-времени Минковского существует только два таких спинора, которые условно обозначены как «левый» и «правый», как описано выше. Более формальное и общее представление спиноров Вейля можно найти в статье о спиновой группе . $w_{j}w_{m}=-w_{m}w_{j}.$ $(p,q)=(1,3)$

Абстрактную общерелятивистскую форму уравнения Вейля можно понять следующим образом: задано псевдориманово многообразие , над ним строится расслоение со спиновой группой в качестве слоя. Спин группа представляет собой двойное покрытие из специальной ортогональной группы , и таким образом можно определить спиновую группу послойно с рамкой расслоения над . Когда это будет сделано, полученная структура называется спиновой структурой . $M$ $\mathrm {Spin} (p,q)$ $\mathrm {SO} (p,q)$ $M$

Выбор единственной точки на волокне соответствует выбору локальной системы координат для пространства-времени; две разные точки на волокне связаны (лоренцевым) усилением / вращением, то есть локальным изменением координат. Естественными обитателями спиновой структуры являются спиноры Вейля, поскольку спиновая структура полностью описывает, как спиноры ведут себя при (лоренцевых) бустах / вращениях.

Для данного спинового многообразия аналогом метрической связи является спиновая связь ; это фактически «то же самое», что и обычное соединение, только с последовательными привязками к нему спиновых индексов. Ковариантная производная может быть определена в терминах связности в совершенно обычном способе. Он естественно действует на связку Клиффорда ; расслоение Клиффорда - это пространство, в котором живут спиноры. Общее исследование таких структур и их взаимосвязей называется спиновой геометрией .

Особые случаи [ править ]

Есть три важных частных случая, которые можно построить из спиноров Вейля. Один из них - спинор Дирака , который можно принять за пару спиноров Вейля, один левый и один правый. Они связаны вместе таким образом, что представляют собой электрически заряженное фермионное поле. Электрический заряд возникает из-за трансформации поля Дирака под действием комплексифицированной спиновой группы. Эта группа имеет структуру $\mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(p,q).$

\mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(p,q)\cong \mathrm {Spin} (p,q)\times _{\mathbb {Z} _{2}}S^{1}

где - круг, и его можно отождествить с U (1) электромагнетизма . Продукт - это просто причудливая запись, обозначающая продукт с обозначенными противоположными точками (двойное покрытие). $S^{1}\cong \mathrm {U} (1)$ $\times _{\mathbb {Z} _{2}}$ $\mathrm {Spin} (p,q)\times S^{1}$ $(s,u)=(-s,-u)$

Спинорная майорановский снова пара вейлевских спинорами, но на этот раз устроен так , что левые спинорная является заряд конъюгата правой рукой спинором. В результате получается поле с двумя степенями свободы меньше, чем спинор Дирака. Он не может взаимодействовать с электромагнитным полем, так как трансформируется как скаляр под действием группы. То есть он трансформируется как спинор, но трансверсально, так что он инвариантен под действием спиновой группы. $\mathrm {spin} ^{\mathbb {C} }$ $\mathrm {U} (1)$

Третий частный случай - спинор ELKO , построенный так же, как спинор Майорана, за исключением дополнительного знака минус между зарядово-сопряженной парой. Это снова делает его электрически нейтральным, но вводит ряд других довольно удивительных свойств.

Заметки [ править ]

^ Представленные здесь результаты идентичны результатам Aste, op. соч. , уравнения 52 и 57, хотя вывод, выполненный здесь, совершенно другой. Используемое здесь двойное покрытие также идентично уравнениям Асте 48 и текущей версии (декабрь 2020 г.) статьи о группе Лоренца .

Ссылки [ править ]

^ a b c Pal, Палаш Б. (2011). «Фермионы Дирака, Майораны и Вейля» . Американский журнал физики . 79 (5): 485–498. arXiv : 1006.1718 . DOI : 10.1119 / 1.3549729 . ISSN 0002-9505 .
^ Вейль, Герман (1929-04-15). «Гравитация и электрон» . Труды Национальной академии наук . 15 (4): 323–334. DOI : 10.1073 / pnas.15.4.323 . ISSN 0027-8424 . PMC 522457 . PMID 16587474 .
^ a b c d e f Биленки С.М. (01.01.2005). «История колебаний нейтрино» . Physica Scripta . T121 : 17–22. arXiv : hep-ph / 0410090 . DOI : 10.1088 / 0031-8949 / 2005 / T121 / 001 . ISSN 0031-8949 .
^ a b c Вишванат, Ашвин (2015-09-08). «Где вещи Вейля» . APS Physics . 8 .
^ Квантовая механика, Е. Абер, Pearson Ed., Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0
^ Кембриджский справочник по физическим формулам, Г. Воан, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2 .
^ Введение в квантовую теорию поля , М. Е. Пескин, Д. В. Шредер, Аддисон-Уэсли, 1995, ISBN 0-201-50397-2
^ Андреас Асте, (2010) "Прямая дорога к Майоранским полям", Симметрия 2010 (2) 1776-1809; DOI: 10.3390 / sym2041776 ISSN 2073-8994.
^ Юрген Йост, (2002) "Риманова геометрия и геометрический анализ (3-е издание)" Springer Universitext.

Дальнейшее чтение [ править ]

Демистификация квантовой теории поля , Д. МакМахон, McGraw-Hill (США), 2008, ISBN 978-0-07-154382-8
Физика элементарных частиц (2-е издание), BR Martin, G. Shaw, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-0-470-03294-7
- 3-е издание, 2013 г.
Демистификация суперсимметрии , П. Лабель, МакГроу-Хилл (США), 2010, ISBN 978-0-07-163641-4
Дорога к реальности , Роджер Пенроуз, Винтажные книги, 2007, ISBN 0-679-77631-1
Джонстон, Хэмиш (23 июля 2015 г.). «Фермионы Вейля наконец-то обнаружены» . Мир физики . Проверено 22 ноября 2018 .
Сьюдад, Давид (20 августа 2015 г.). «Безмассовый, но реальный». Материалы природы . 14 (9): 863. DOI : 10.1038 / nmat4411 . ISSN 1476-1122 . PMID 26288972 .
Вишванат, Ашвин (8 сентября 2015 г.). «Где вещи Вейля» . APS Physics . Проверено 22 ноября 2018 .
Цзя, Шуанг; Сюй, Су-Ян; Хасан, М. Захид (25 октября 2016 г.). «Полуметаллы Вейля, дуги Ферми и киральная аномалия» . Материалы природы . 15 : 1140.

Внешние ссылки [ править ]

http://aesop.phys.utk.edu/qft/2004-5/2-2.pdf
http://www.nbi.dk/~kleppe/random/ll/l2.html
http://www.tfkp.physik.uni-erlangen.de/download/research/DW-derivation.pdf
http://www.weylmann.com/weyldirac.pdf

[8] Представленные здесь результаты идентичны результатам Aste, op. соч. , уравнения 52 и 57, хотя вывод, выполненный здесь, совершенно другой. Используемое здесь двойное покрытие также идентично уравнениям Асте 48 и текущей версии (декабрь 2020 г.) статьи о группе Лоренца .

[:1-1] Pal, Палаш Б. (2011). «Фермионы Дирака, Майораны и Вейля» . Американский журнал физики . 79 (5): 485–498. arXiv : 1006.1718 . DOI : 10.1119 / 1.3549729 . ISSN 0002-9505 .

[2] Вейль, Герман (1929-04-15). «Гравитация и электрон» . Труды Национальной академии наук . 15 (4): 323–334. DOI : 10.1073 / pnas.15.4.323 . ISSN 0027-8424 . PMC 522457 . PMID 16587474 .

[:0-3] Биленки С.М. (01.01.2005). «История колебаний нейтрино» . Physica Scripta . T121 : 17–22. arXiv : hep-ph / 0410090 . DOI : 10.1088 / 0031-8949 / 2005 / T121 / 001 . ISSN 0031-8949 .

[:2-4] Вишванат, Ашвин (2015-09-08). «Где вещи Вейля» . APS Physics . 8 .

[5] Квантовая механика, Е. Абер, Pearson Ed., Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0

[6] Кембриджский справочник по физическим формулам, Г. Воан, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2 .

[7] Введение в квантовую теорию поля , М. Е. Пескин, Д. В. Шредер, Аддисон-Уэсли, 1995, ISBN 0-201-50397-2

[aste-9] Андреас Асте, (2010) "Прямая дорога к Майоранским полям", Симметрия 2010 (2) 1776-1809; DOI: 10.3390 / sym2041776 ISSN 2073-8994.

[10] Юрген Йост, (2002) "Риманова геометрия и геометрический анализ (3-е издание)" Springer Universitext.