В математической физике , то конформной симметрии в пространстве - времени выражается в расширении группы Пуанкаре . Расширение включает специальные конформные преобразования и растяжения . В трех пространственных плюс одном временном измерении конформная симметрия имеет 15 степеней свободы : десять для группы Пуанкаре, четыре для специальных конформных преобразований и одну для растяжения.
Гарри Бейтман и Эбенезер Каннингем первыми изучили конформную симметрию уравнений Максвелла . Они назвали общее выражение конформной симметрии преобразованием сферической волны . Общая теория относительности в двух измерениях пространства-времени также обладает конформной симметрией. [1]
Генераторы
Конформная группа имеет следующее представление : [2]
где являются Лоренц - генераторы ,генерирует переводы , генерирует преобразования масштабирования (также известные как расширения или расширения) и генерирует специальные конформные преобразования .
Коммутационные отношения
В коммутационные соотношения следующим образом : [2]
другие коммутаторы исчезают. Здесь- метрический тензор Минковского .
Кроме того, является скаляром и является ковариантным вектором относительно преобразований Лоренца .
Специальные конформные преобразования даны в [3]
где - параметр, описывающий преобразование. Это специальное конформное преобразование также можно записать как, где
что показывает, что он состоит из инверсии, за которой следует перевод, за которым следует вторая инверсия.
В двумерном пространстве-времени преобразования конформной группы являются конформными преобразованиями . Их бесконечно много .
В более чем двух измерениях евклидовы конформные преобразования отображают круги в окружности, а гиперсферы в гиперсферы с прямой линией, считающейся вырожденной окружностью, а гиперплоскость - вырожденной гиперокружностью.
В более чем двух лоренцевых измерениях конформные преобразования отображают нулевые лучи в нулевые лучи, а световые конусы - в световые конусы, причем нулевая гиперплоскость является вырожденным световым конусом .
Приложения
Конформная теория поля
В релятивистских квантовых теориях поля возможность симметрий строго ограничена теоремой Коулмана – Мандулы при физически разумных предположениях. Максимально возможная глобальная группа симметрии из не- суперсимметричного взаимодействующего теории поля является прямым произведением конформной группы с внутренней группой . [4] Такие теории известны как конформные теории поля .
Фазовые переходы второго рода
Одно из конкретных приложений - это критические явления в системах с локальным взаимодействием . Флуктуации [ необходимо пояснение ] в таких системах конформно инвариантны в критической точке. Это позволяет классифицировать классы универсальности фазовых переходов в терминах конформных теорий поля.
Конформная инвариантность также присутствует в двумерной турбулентности при высоких числах Рейнольдса .
Физика высоких энергий
Многие теории, изучаемые в физике высоких энергий, допускают конформную симметрию [ почему? ] . Знаменитый [ почему? ] примером является N = 4 суперсимметричная теория Янга-Миллса . Кроме того , мировой лист в теории струн описывается двумерной конформной теории поля , соединенного с двумерной гравитации.
Смотрите также
- Конформная карта
- Конформная группа
- Теорема Коулмана – Мандулы
- Ренормализационная группа
- Масштабная инвариантность
- Суперконформная алгебра
- Конформное уравнение Киллинга
Рекомендации
- ^ "Гравитация - Что делает конформный вариант ОТО?" . Обмен физическими стеками . Проверено 1 мая 2020 .
- ^ а б Ди Франческо; Матье, Сенешаль (1997). Конформная теория поля . Тексты для выпускников по современной физике. Springer. п. 98. ISBN 978-0-387-94785-3.
- ^ Ди Франческо; Матье, Сенешаль (1997). Конформная теория поля . Тексты для выпускников по современной физике. Springer. п. 97. ISBN 978-0-387-94785-3.
- ^ Хуан Малдасена; Александр Жибоедов (2013). «Ограничивающие конформные теории поля с более высокой спиновой симметрией» . Журнал физики A: математический и теоретический . 46 (21): 214011. arXiv : 1112.1016 . Bibcode : 2013JPhA ... 46u4011M . DOI : 10.1088 / 1751-8113 / 46/21/214011 .