В астродинамики или небесной механике , эллиптическая орбита или эллиптическая орбита является Кеплер орбитой с эксцентриситетом менее 1; это включает частный случай круговой орбиты с эксцентриситетом, равным 0. В более строгом смысле, это орбита Кеплера с эксцентриситетом больше 0 и меньше 1 (таким образом, исключая круговую орбиту). В более широком смысле это орбита Кеплера с отрицательной энергией . Это включает радиальную эллиптическую орбиту с эксцентриситетом, равным 1.
В гравитационной задаче двух тел с отрицательной энергией оба тела движутся по одинаковым эллиптическим орбитам с одинаковым периодом обращения вокруг своего общего барицентра . Также относительное положение одного тела по отношению к другому следует по эллиптической орбите.
Примеры эллиптических орбит включают в себя: Хохман орбиту передачи , Молния орбиту и тундры орбиту .
Скорость
При стандартных предположениях орбитальная скорость () тела, движущегося по эллиптической орбите, можно вычислить из уравнения vis-viva как:
где:
- - стандартный гравитационный параметр ,
- - расстояние между вращающимися телами.
- - длина большой полуоси .
Уравнение скорости для гиперболической траектории имеет либо +, или то же самое с условием, что в этом случае a отрицательно.
Орбитальный период
При стандартных предположениях орбитальный период () тела, движущегося по эллиптической орбите, можно вычислить как:
где:
- - стандартный гравитационный параметр ,
- - длина большой полуоси .
Выводы:
- Орбитальный период равен периоду круговой орбиты с радиусом орбиты, равным большой полуоси (),
- Для данной большой полуоси орбитальный период не зависит от эксцентриситета (см. Также: третий закон Кеплера ).
Энергия
При стандартных предположениях удельная орбитальная энергия () эллиптической орбиты отрицательна, и уравнение сохранения орбитальной энергии ( уравнение Висвивы ) для этой орбиты может иметь вид:
где:
- это орбитальная скорость орбитального тела,
- расстояние орбитального тела от центрального тела ,
- длина большой полуоси ,
- - стандартный гравитационный параметр .
Выводы:
- Для данной большой полуоси удельная орбитальная энергия не зависит от эксцентриситета.
Используя теорему вириала, находим:
- среднее по времени удельной потенциальной энергии равно −2ε
- среднее по времени из г -1 является -1
- среднее по времени удельной кинетической энергии равно ε
Энергия по большой полуоси
Может быть полезно знать энергию в терминах большой полуоси (и задействованных масс). Полная энергия орбиты определяется выражением
- ,
где а - большая полуось.
Вывод
Поскольку гравитация является центральной силой, угловой момент постоянен:
На самом близком и самом дальнем подходе угловой момент перпендикулярен расстоянию от вращающейся массы, поэтому:
- .
Полная энергия орбиты определяется выражением
- .
Мы можем заменить v и получить
- .
Это верно для r, являющегося ближайшим / самым дальним расстоянием, поэтому мы получаем два одновременных уравнения, которые мы решаем для E:
С а также , где эпсилон - эксцентриситет орбиты, окончательно мы получили заявленный результат.
Угол траектории полета
Угол траектории полета - это угол между вектором скорости движущегося по орбите тела (= вектором, касательным к мгновенной орбите) и местной горизонталью. При стандартных предположениях о сохранении углового момента угол траектории полета удовлетворяет уравнению:
где:
- - удельный относительный угловой момент орбиты,
- это орбитальная скорость орбитального тела,
- - радиальное расстояние орбитального тела от центрального тела ,
- угол траектории полета
- угол между вектором орбитальной скорости и большой полуосью. это местная истинная аномалия. , следовательно,
где это эксцентриситет.
Угловой момент связан с векторным векторным произведением положения и скорости, которое пропорционально синусу угла между этими двумя векторами. Здесь определяется как угол, который отличается от этого на 90 градусов, поэтому вместо синуса появляется косинус.
Уравнение движения
Из исходного положения и скорости
Уравнение орбиты определяет путь к орбите тела вокруг центрального тела относительно , без указания положения как функции времени. Если эксцентриситет меньше 1, то уравнение движения описывает эллиптическую орбиту. Поскольку уравнение Кеплера не имеет общего решения в замкнутой форме для эксцентрической аномалии (E) в терминах средней аномалии (M), уравнения движения как функции времени также не имеют решения в замкнутой форме (хотя численные решения существуют для обоих).
Однако не зависящие от времени путевые уравнения в замкнутой форме эллиптической орбиты относительно центрального тела могут быть определены только из начального положения () и скорости ().
В этом случае удобно использовать следующие предположения, которые несколько отличаются от стандартных предположений, приведенных выше:
- Положение центрального тела находится в начале координат и является основным фокусом () эллипса (в качестве альтернативы можно использовать центр масс, если вращающееся тело имеет значительную массу)
- Масса центрального тела (m1) известна
- Исходное положение орбитального тела () и скорости () известны
- Эллипс лежит в плоскости XY.
Четвертое предположение может быть сделано без ограничения общности, потому что любые три точки (или вектора) должны лежать в одной общей плоскости. При этих предположениях второй фокус (иногда называемый «пустым» фокусом) также должен находиться в плоскости XY: .
Использование векторов
Общее уравнение эллипса при этих предположениях с использованием векторов:
где:
- - длина большой полуоси .
- - второй («пустой») фокус.
- любое значение (x, y), удовлетворяющее уравнению.
Длину большой полуоси (а) можно рассчитать как:
где - стандартный гравитационный параметр .
Пустой фокус () можно найти, предварительно определив вектор эксцентриситета :
Где - удельный угловой момент движущегося на орбите тела:
потом
Использование координат XY
Это можно сделать в декартовых координатах, используя следующую процедуру:
Общее уравнение эллипса при сделанных выше предположениях:
Дано:
- координаты начальной позиции
- координаты начальной скорости
а также
- гравитационный параметр
Потом:
- удельный угловой момент
- начальное расстояние от F1 (в начале координат)
- длина большой полуоси
- то вектор эксцентриситета координаты
Наконец, пустые координаты фокуса
Теперь полученные значения fx, fy и a можно применить к общему уравнению эллипса, приведенному выше.
Параметры орбиты
Состояние движущегося по орбите тела в любой момент времени определяется положением и скоростью движущегося по орбите тела относительно центрального тела, которые могут быть представлены трехмерными декартовыми координатами (положение движущегося по орбите тела обозначено x, y и z) и аналогичные декартовы компоненты скорости вращающегося тела. Этот набор из шести переменных вместе со временем называется векторами орбитального состояния . Учитывая массы двух тел, они определяют полную орбиту. Двумя наиболее общими случаями с этими 6 степенями свободы являются эллиптическая и гиперболическая орбита. Особые случаи с меньшим количеством степеней свободы - круговая и параболическая орбита.
Поскольку для полного представления эллиптической орбиты с этим набором параметров абсолютно необходимы по крайней мере шесть переменных, то для представления орбиты с любым набором параметров требуется шесть переменных. Другой набор из шести обычно используемых параметров - это элементы орбиты .
Солнечная система
В Солнечной системе , планеты , астероиды , большинство комет и несколько кусков космического мусора имеют примерно эллиптические орбиты вокруг Солнца Строго говоря, оба тела вращаются вокруг одного и того же фокуса эллипса, более близкого к более массивному телу, но когда одно тело значительно массивнее, например, Солнце по отношению к Земле, фокус может содержаться в более крупном теле. массируя тело, и поэтому считается, что меньшее тело вращается вокруг него. В приведенной ниже таблице в перигелии и афелии из планет , карликовых планет и комета Галлея демонстрирует изменение эксцентриситета их эллиптических орбит. На одинаковом расстоянии от солнца более широкие полосы обозначают больший эксцентриситет. Обратите внимание на почти нулевой эксцентриситет Земли и Венеры по сравнению с огромным эксцентриситетом кометы Галлея и Эриды.
Радиальная эллиптическая траектория
Радиальная траектория может быть сегментом двойной линии , которая представляет собой вырожденный эллипс с малой полуосью = 0 и эксцентриситетом = 1. Хотя эксцентриситет равен 1, это не параболическая орбита. Применяются большинство свойств и формул эллиптических орбит. Однако закрыть орбиту нельзя. Это открытая орбита, соответствующая части вырожденного эллипса с момента, когда тела касаются друг друга и удаляются друг от друга, пока они снова не коснутся друг друга. В случае точечных масс возможна одна полная орбита, начинающаяся и заканчивающаяся сингулярностью. Скорости в начале и в конце бесконечны в противоположных направлениях, а потенциальная энергия равна минус бесконечности.
Радиальная эллиптическая траектория - это решение задачи двух тел с нулевой скоростью в некоторый момент времени, как в случае падения объекта (без учета сопротивления воздуха).
История
В вавилоняне были первыми , чтобы понять , что движение Солнца по эклиптике не было однородным, хотя они не знали о том, почему это было; сегодня известно, что это происходит из-за того, что Земля движется по эллиптической орбите вокруг Солнца, при этом Земля движется быстрее, когда она приближается к Солнцу в перигелии, и медленнее, когда она находится дальше в афелии . [1]
В 17 веке Иоганн Кеплер обнаружил, что орбиты, по которым планеты движутся вокруг Солнца, представляют собой эллипсы с Солнцем в одном фокусе, и описал это в своем первом законе движения планет . Позже Исаак Ньютон объяснил это следствием своего закона всемирного тяготения .
Смотрите также
- Апсис
- Характерная энергия
- Эллипс
- Список орбит
- Орбитальный эксцентриситет
- Уравнение орбиты
- Параболическая траектория
Рекомендации
- ↑ Дэвид Леверингтон (2003), Вавилон к «Путешественнику» и дальше: история планетарной астрономии , Cambridge University Press , стр. 6–7, ISBN 0-521-80840-5
Источники
- Д'Элизео, Маурицио М. (2007). «Орбитальное уравнение первого порядка». Американский журнал физики . 75 (4): 352–355. Bibcode : 2007AmJPh..75..352D . DOI : 10.1119 / 1.2432126 .
- D'Eliseo, Maurizio M .; Миронов, Сергей В. (2009). «Гравитационный эллипс». Журнал математической физики . 50 (2): 022901. arXiv : 0802.2435 . Bibcode : 2009JMP .... 50a2901M . DOI : 10.1063 / 1.3078419 .
- Кертис, Ховард Д. (2019). Орбитальная механика для студентов инженерных специальностей (4-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн . ISBN 978-0-08-102133-0.
Внешние ссылки
- Java-апплет, анимирующий орбиту спутника на эллиптической орбите Кеплера вокруг Земли с любыми значениями большой полуоси и эксцентриситета.
- Апогей - Сравнение фотографий Луны в перигее
- Афелий - Перигелий Солнечное фотографическое сравнение
- http://www.castor2.ca