Метод градиентной дискретизации

Точное решение о р задачи -Лапласа на области [0,1] с (черная линия) и приближенной (синяя линия) , вычисленной с первой степени разрывного метода Галеркина подключен к GDM (равномерная сетка с 6 элементами).
${\ displaystyle {\ overline {u}} (x) = {\ frac {3} {4}} {\ big (} {0,5} ^ {4/3} - | x-0,5 | ^ {4/3} {\большой )}}$
${\ displaystyle - (| {\ overline {u}} '| ^ {2} {\ overline {u}}') '(x) = 1}$${\ displaystyle {\ overline {u}} (0) = {\ overline {u}} (1) = 0}$

Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения Навье – Стокса, используемые для моделирования воздушного потока вокруг препятствия
Объем Естественные науки Инженерное дело Астрономия Физика Химия Биология Геология Прикладная математика Механика сплошной среды Теория хаоса Динамические системы Социальные науки Экономика Динамика населения
Классификация
Типы Обычный Частичное Дифференциально-алгебраический Интегро-дифференциал Дробное Линейный Нелинейный По типу переменной Зависимые и независимые переменные Автономный Сложный Связано / развязано Точный Однородный  / неоднородный Функции Приказ Оператор Обозначение
Отношение к процессам Разница (дискретный аналог) Стохастик Стохастический частичный Задерживать
Решение
Существование и уникальность Теорема Пикара – Линделёфа Теорема существования Пеано Теорема существования Каратеодори Теорема Коши – Ковалевского
Общие темы Вронскиан Фазовый портрет Фазовое пространство Ляпунов  / Асимптотика  / Экспоненциальная устойчивость Скорость сходимости Серии  / Интегральные решения Численное интегрирование Дельта-функция Дирака
Методы решения Осмотр Метод характеристик Эйлер Формула экспоненциального отклика Конечная разность  ( Кривошип – Николсон ) Заключительный элемент Бесконечный элемент Конечный объем Галёркин Петров – Галеркин Интегрирующий фактор Интегральные преобразования Теория возмущений Рунге-Кутта Разделение переменных Неопределенные коэффициенты Вариация параметров
Люди Исаак Ньютон Готфрид Лейбниц Леонард Эйлер Эмиль Пикар Юзеф Мария Хене-Вронски Эрнст Линделёф Рудольф Липшиц Огюстен-Луи Коши Джон Крэнк Филлис Николсон Карл Давид Толме Рунге Мартин Кутта
v т е

В вычислительной математике метод градиентной дискретизации ( GDM ) представляет собой структуру, которая содержит классические и современные численные схемы для задач диффузии различных видов: линейных или нелинейных, установившихся или зависящих от времени. Схемы могут быть согласованными или несоответствующими и могут основываться на очень общих многоугольных или многогранных сетках (или даже могут быть бессеточными).

Для доказательства сходимости GDM требуются некоторые основные свойства. Эти основные свойства позволяют получить полные доказательства сходимости GDM для эллиптических и параболических задач, линейных или нелинейных. Для линейных задач, стационарных или переходных процессов , оценки погрешностей могут быть установлены на основе трех показателей , специфичные для GDM ^[1] (величин , и , смотрите ниже ). Для нелинейных задач доказательства основаны на методах компактности и не требуют каких-либо нефизических предположений строгой регулярности для решения или данных модели. ^[2] Нелинейные модели, для которых было проведено такое доказательство сходимости GDM, включают: проблему Стефана${\ displaystyle C_ {D}}$${\ displaystyle S_ {D}}$${\displaystyle W_{D}}$ который моделирует плавящийся материал, двухфазные потоки в пористой среде, уравнение Ричардса для потока подземных вод, полностью нелинейные уравнения Лере-Лионса. ^[3]

Известно, что любая схема, входящая в структуру GDM, сходится ко всем этим проблемам. Это относится, в частности, к согласованным конечным элементам , смешанным конечным элементам , несоответствующим конечным элементам и, в случае более поздних схем, к разрывному методу Галеркина , гибридному смешанному миметическому методу, узловому миметическому методу конечных разностей , некоторым схемам конечного объема дискретной двойственности , и некоторые схемы многоточечной аппроксимации потока

Пример линейной задачи диффузии [ править ]

Рассмотрим уравнение Пуассона в ограниченной открытой области с однородным граничным условием Дирихле${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle \quad (1)\qquad \qquad -\Delta {\overline {u}}=f,}$

где . Обычный смысл слабого решения ^[4] для этой модели:${\displaystyle f\in L^{2}(\Omega )}$

${\displaystyle \quad (2)\qquad {\mbox{Find }}{\overline {u}}\in H_{0}^{1}(\Omega ){\mbox{ such that, for all }}{\overline {v}}\in H_{0}^{1}(\Omega ),\quad \int _{\Omega }\nabla {\overline {u}}(x)\cdot \nabla {\overline {v}}(x)dx=\int _{\Omega }f(x){\overline {v}}(x)dx.}$

В двух словах, GDM для такой модели состоит в выборе конечномерного пространства и двух операторов восстановления (один для функций, один для градиентов) и замены этих дискретных элементов вместо непрерывных элементов в (2). Точнее, GDM начинается с определения градиентной дискретизации (GD), которая является триплетом , где:${\displaystyle D=(X_{D,0},\Pi _{D},\nabla _{D})}$

• набор дискретных неизвестных представляет собой конечномерное вещественное векторное пространство,${\displaystyle X_{D,0}}$
• реконструкция функции - это линейное отображение, которое восстанавливает из элемента функцию над ,${\displaystyle \Pi _{D}~:~X_{D,0}\to L^{2}(\Omega )}$${\displaystyle X_{D,0}}$${\displaystyle \Omega }$
• реконструкция градиента - это линейное отображение, которое восстанавливает из элемента «градиент» (векторнозначную функцию) по . Эта градиентная реконструкция должна быть выбрана так, чтобы это было нормой .${\displaystyle \nabla _{D}~:~X_{D,0}\to L^{2}(\Omega )^{d}}$${\displaystyle X_{D,0}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Vert \nabla _{D}\cdot \Vert _{L^{2}(\Omega )^{d}}}$${\displaystyle X_{D,0}}$

Соответствующая Градиентная Схема для приближения (2) задается следующим образом: найти такой, что${\displaystyle u\in X_{D,0}}$

${\displaystyle \quad (3)\qquad \qquad \forall v\in X_{D,0},\qquad \int _{\Omega }\nabla _{D}u(x)\cdot \nabla _{D}v(x)dx=\int _{\Omega }f(x)\Pi _{D}v(x)dx.}$

В этом случае GDM является несоответствующим методом аппроксимации (2), который включает в себя метод несоответствующих конечных элементов. Обратите внимание, что обратное неверно в том смысле, что структура GDM включает такие методы, что функция не может быть вычислена из функции .${\displaystyle \nabla _{D}u}$${\displaystyle \Pi _{D}u}$

Следующая оценка погрешности, вдохновленная второй леммой Г. Стрэнга, ^[5] верна

${\displaystyle \quad (4)\qquad \qquad W_{D}(\nabla {\overline {u}})\leq \Vert \nabla {\overline {u}}-\nabla _{D}u_{D}\Vert _{L^{2}(\Omega )^{d}}\leq W_{D}(\nabla {\overline {u}})+2S_{D}({\overline {u}}),}$

и

${\displaystyle \quad (5)\qquad \qquad \Vert {\overline {u}}-\Pi _{D}u_{D}\Vert _{L^{2}(\Omega )}\leq C_{D}W_{D}(\nabla {\overline {u}})+(C_{D}+1)S_{D}({\overline {u}}),}$

определение:

${\displaystyle \quad (6)\qquad \qquad C_{D}=\max _{v\in X_{D,0}\setminus \{0\}}{\frac {\Vert \Pi _{D}v\Vert _{L^{2}(\Omega )}}{\Vert \nabla _{D}v\Vert _{L^{2}(\Omega )^{d}}}},}$

который измеряет коэрцитивность (дискретную постоянную Пуанкаре),

${\displaystyle \quad (7)\qquad \qquad \forall \varphi \in H_{0}^{1}(\Omega ),\,S_{D}(\varphi )=\min _{v\in X_{D,0}}\left(\Vert \Pi _{D}v-\varphi \Vert _{L^{2}(\Omega )}+\Vert \nabla _{D}v-\nabla \varphi \Vert _{L^{2}(\Omega )^{d}}\right),}$

который измеряет ошибку интерполяции,

${\displaystyle \quad (8)\qquad \qquad \forall \varphi \in H_{\operatorname {div} }(\Omega ),\,W_{D}(\varphi )=\max _{v\in X_{D,0}\setminus \{0\}}{\frac {\left|\int _{\Omega }\left(\nabla _{D}v(x)\cdot \varphi (x)+\Pi _{D}v(x)\operatorname {div} \varphi (x)\right)\,dx\right|}{\Vert \nabla _{D}v\Vert _{L^{2}(\Omega )^{d}}}},}$

который измеряет дефект соответствия.

Обратите внимание, что могут быть получены следующие верхняя и нижняя границы ошибки аппроксимации:

${\displaystyle \quad (9)\qquad \qquad {\begin{aligned}&&{\frac {1}{2}}[S_{D}({\overline {u}})+W_{D}(\nabla {\overline {u}})]\\&\leq &\Vert {\overline {u}}-\Pi _{D}u_{D}\Vert _{L^{2}(\Omega )}+\Vert \nabla {\overline {u}}-\nabla _{D}u_{D}\Vert _{L^{2}(\Omega )^{d}}\\&\leq &(C_{D}+2)[S_{D}({\overline {u}})+W_{D}(\nabla {\overline {u}})].\end{aligned}}}$

Тогда основными свойствами, которые необходимы и достаточны для сходимости метода, для семейства GD являются коэрцитивность, GD-согласованность и свойства предельного соответствия, как определено в следующем разделе. В более общем плане этих трех основных свойств достаточно, чтобы доказать сходимость GDM для линейных задач и для некоторых нелинейных задач, таких как проблема -Лапласа. Для нелинейных задач, таких как нелинейная диффузия, вырожденные параболические задачи ..., мы добавляем в следующем разделе два других основных свойства, которые могут потребоваться.${\displaystyle p}$

Основные свойства, позволяющие конвергенцию GDM [ править ]

Пусть будет семейство GD, определенное, как указано выше (обычно связанное с последовательностью регулярных сеток, размер которых стремится к 0).${\displaystyle (D_{m})_{m\in \mathbb {N} }}$

Принуждение [ править ]

Последовательность (определенная формулой (6)) остается ограниченной.${\displaystyle (C_{D_{m}})_{m\in \mathbb {N} }}$

GD-согласованность [ править ]

Для всех , (определенный по формуле (7)).${\displaystyle \varphi \in H_{0}^{1}(\Omega )}$${\displaystyle \lim _{m\to \infty }S_{D_{m}}(\varphi )=0}$

Ограничение соответствия [ править ]

Для всех , (определенный по формуле (8)). Это свойство подразумевает свойство коэрцитивности.${\displaystyle \varphi \in H_{\operatorname {div} }(\Omega )}$${\displaystyle \lim _{m\to \infty }W_{D_{m}}(\varphi )=0}$

Компактность (необходима для некоторых нелинейных задач) [ править ]

Для всей последовательности, такой что для всех и является ограниченным, последовательность относительно компактна в (это свойство подразумевает свойство коэрцитивности).${\displaystyle (u_{m})_{m\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle u_{m}\in X_{D_{m},0}}$${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$${\displaystyle (\Vert u_{m}\Vert _{D_{m}})_{m\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle (\Pi _{D_{m}}u_{m})_{m\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$

Кусочно-постоянная реконструкция (требуется для некоторых нелинейных задач) [ править ]

Позвольте быть градиентной дискретизацией, как определено выше. Оператор является реконструкция кусочно - постоянна , если существует базис из и семейство непересекающихся подмножеств из таких , что для всех , где характеристическая функция .${\displaystyle D=(X_{D,0},\Pi _{D},\nabla _{D})}$${\displaystyle \Pi _{D}}$${\displaystyle (e_{i})_{i\in B}}$${\displaystyle X_{D,0}}$${\displaystyle (\Omega _{i})_{i\in B}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Pi _{D}u=\sum _{i\in B}u_{i}\chi _{\Omega _{i}}}$${\displaystyle u=\sum _{i\in B}u_{i}e_{i}\in X_{D,0}}$${\displaystyle \chi _{\Omega _{i}}}$${\displaystyle \Omega _{i}}$

Некоторые нелинейные задачи с полными доказательствами сходимости GDM [ править ]

Мы рассматриваем некоторые проблемы, для которых можно доказать, что GDM сходится, когда выполняются указанные выше основные свойства.

Нелинейные стационарные задачи диффузии [ править ]

${\displaystyle \quad \qquad \qquad -\operatorname {div} (\Lambda ({\overline {u}})\nabla {\overline {u}})=f}$

В этом случае GDM сходится по свойствам коэрцитивности, GD-согласованности, предельного соответствия и компактности.

p - проблема Лапласа для p > 1 [ править ]

${\displaystyle \quad \qquad \qquad -\operatorname {div} (|\nabla {\overline {u}}|^{p-2}\nabla {\overline {u}})=f}$

В этом случае, основные свойства должны быть записаны, заменив на , по и по с , и сходится GDM только под коэрцитивностью, GD-непротиворечивость и предельное соответствие свойства.${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$${\displaystyle L^{p}(\Omega )}$${\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )}$${\displaystyle W_{0}^{1,p}(\Omega )}$${\displaystyle H_{\operatorname {div} }(\Omega )}$${\displaystyle W_{\operatorname {div} }^{p'}(\Omega )}$${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p'}}=1}$

Линейное и нелинейное уравнение теплопроводности [ править ]

${\displaystyle \quad \qquad \qquad \partial _{t}{\overline {u}}-\operatorname {div} (\Lambda ({\overline {u}})\nabla {\overline {u}})=f}$

В этом случае GDM сходится по свойствам коэрцитивности, GD-согласованности (адаптированной к задачам пространства-времени), предельной согласованности и компактности (для нелинейного случая).

Вырожденные параболические задачи [ править ]

Предположим, что и - неубывающие липшицевы функции:${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle \quad \qquad \qquad \partial _{t}\beta ({\overline {u}})-\Delta \zeta ({\overline {u}})=f}$

Обратите внимание, что для этой задачи требуется свойство кусочно-постоянной реконструкции, в дополнение к коэрцитивности, GD-согласованности (адаптированной к задачам пространства-времени), свойствам предельной согласованности и компактности.

Обзор некоторых численных методов, которые являются GDM [ править ]

Все перечисленные ниже методы удовлетворяют первым четырем основным свойствам GDM (коэрцитивность, GD-согласованность, предельное соответствие, компактность), а в некоторых случаях и пятому (кусочно-постоянная реконструкция).

Методы Галеркина и соответствующие методы конечных элементов [ править ]

Позвольте быть натянут на конечный базис . Метод Галеркина в идентична GDM , где один определяет${\displaystyle V_{h}\subset H_{0}^{1}(\Omega )}$${\displaystyle (\psi _{i})_{i\in I}}$${\displaystyle V_{h}}$

• ${\displaystyle X_{D,0}=\{u=(u_{i})_{i\in I}\}=\mathbb {R} ^{I},}$
• ${\displaystyle \Pi _{D}u=\sum _{i\in I}u_{i}\psi _{i}}$
• ${\displaystyle \nabla _{D}u=\sum _{i\in I}u_{i}\nabla \psi _{i}.}$

В этом случае константа участвует в непрерывном неравенстве Пуанкара, и для всех , (определяется формулой (8)). Тогда (4) и (5) вытекают из леммы Сеа .${\displaystyle C_{D}}$${\displaystyle \varphi \in H_{\operatorname {div} }(\Omega )}$${\displaystyle W_{D}(\varphi )=0}$

Случай конечных элементов с сосредоточенной массой входит в структуру GDM, заменяя на , где - двойная ячейка с центром в вершине, индексированной . Использование массоупаковки позволяет получить свойство кусочно-постоянной реконструкции.${\displaystyle P^{1}}$${\displaystyle \Pi _{D}u}$${\displaystyle {\widetilde {\Pi }}_{D}u=\sum _{i\in I}u_{i}\chi _{\Omega _{i}}}$${\displaystyle \Omega _{i}}$${\displaystyle i\in I}$

Несоответствующий конечный элемент [ править ]

На сетке, которая является согласованным набором симплексов , несоответствующие конечные элементы определяются базисом функций, которые аффинны в любом , и значение которых в центре тяжести одной заданной грани сетки равно 1 и 0 в точке все остальные (эти конечные элементы используются в [Crouzeix et al ] ^[6] для аппроксимации уравнений Стокса и Навье-Стокса ). Затем метод попадает в структуру GDM с тем же определением, что и в случае метода Галеркина, за исключением того факта, что следует понимать как «ломаный градиент»${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle P^{1}}$${\displaystyle (\psi _{i})_{i\in I}}$${\displaystyle K\in T}$${\displaystyle \nabla \psi _{i}}$${\displaystyle \psi _{i}}$, в том смысле, что это кусочно-постоянная функция, равная в каждом симплексе градиенту аффинной функции в симплексе.

Смешанный конечный элемент [ править ]

Смешанный метод конечных элементов состоит в определении двух дискретных пространств, один для аппроксимации и еще один для . ^[7] Достаточно использовать дискретные соотношения между этими приближениями, чтобы определить GDM. Использование базисных функций Равьяра – Томаса низкой степени позволяет получить свойство кусочно-постоянной реконструкции.${\displaystyle \nabla {\overline {u}}}$${\displaystyle {\overline {u}}}$

Разрывной метод Галеркина [ править ]

Разрывный метод Галеркина заключается в аппроксимации задач кусочно-полиномиальной функцией без требований к переходам от одного элемента к другому. ^[8] Он включен в структуру GDM путем включения в дискретный градиент члена скачка, действующего как регуляризация градиента в смысле распределения.

Миметический метод конечных разностей и узловой миметический метод конечных разностей [ править ]

Это семейство методов было введено [Бреззи и др. ] ^[9] и дополнено в [Липников и др. ]. ^[10] Это позволяет аппроксимировать эллиптические задачи, используя большой класс многогранных сеток. Доказательство того, что он входит в структуру GDM, сделано в [Droniou et al ]. ^[2]

См. Также [ править ]

• Метод конечных элементов

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Метод градиентной дискретизации Жерома Дронио, Роберта Эймара, Тьерри Галлуэ, Синди Гишар и Рафаэля Эрбина