В теории чисел , Александр Яковлевич Хинчин доказал , что для почти всех действительных чисел х , коэффициенты я о цепной дроби разложения х имеет конечное среднее геометрическое , которое не зависит от величины х и известна как постоянная Хинчина .
То есть для
это почти всегда правда, что
где постоянная Хинчина
(с участием обозначающий продукт по всем терминам последовательности ).
Хотя почти все числа удовлетворяют это свойство, она не была доказана для любого действительного числа не специально сконструированным для этой цели. Среди чисел x, чьи разложения в непрерывную дробь, как известно, не обладают этим свойством, есть рациональные числа , корни квадратных уравнений (включая золотое сечение Φ и квадратные корни из целых чисел) и основание натурального логарифма e .
В более ранней математической литературе Хинчин иногда пишется как Хинчин (французская транслитерация русского Хинчин).
Эскиз доказательства
Представленное здесь доказательство было организовано Чеславом Рылль-Нардзевским [1] и намного проще, чем оригинальное доказательство Хинчина, в котором не использовалась эргодическая теория .
Поскольку первый коэффициент a 0 цепной дроби x не играет роли в теореме Хинчина и поскольку рациональные числа имеют нулевую меру Лебега , мы сводимся к изучению иррациональных чисел в единичном интервале , т.е.. Эти числа взаимно однозначно связаны с бесконечными цепными дробями вида [0; a 1 , a 2 , ...], которые мы просто пишем [ a 1 , a 2 , ...], где a 1 , a 2 , ... - положительные целые числа . Определим преобразование T : I → I следующим образом:
Преобразование T называется оператором Гаусса – Кузьмина – Вирсинга . Для каждого борелевского подмножества E в I мы также определяем меру Гаусса – Кузмина для E
Тогда μ является вероятностной мерой на σ - алгебре борелевских подмножеств I . Мера μ является эквивалентом меры Лебега на I , но обладает дополнительным свойством , что преобразование Т сохраняет меру М . Кроме того, можно доказать , что Т представляет собой эргодическое преобразование из измеримого пространства Я наделенный вероятностная мера ц (это твердая часть доказательства). Эргодическая теорема , то говорит , что для любого ц - интегрируемой функции F на I , среднее значение одинаково почти для всех :
Применяя это к функции, определенной как f ([ a 1 , a 2 , ...]) = log ( a 1 ), мы получаем, что
для почти всех [ a 1 , a 2 , ...] в I при n → ∞.
Взяв экспоненту с обеих сторон, мы получим слева среднее геометрическое первых n коэффициентов цепной дроби, а справа - постоянную Хинчина.
Выражения ряда
Постоянная Хинчина может быть выражена в виде рационального дзета-ряда в форме [2]
или, удалив термины в серии,
где N - фиксированное целое число, а ζ ( s , n ) - комплексная дзета-функция Гурвица . Оба ряда сильно сходятся, поскольку ζ ( n ) - 1 быстро приближается к нулю при больших n . Расширение также может быть дано в терминах дилогарифма :
Гёльдер означает
Константу Хинчина можно рассматривать как первую в ряду средних Гёльдера членов непрерывных дробей. Для произвольной серии { a n } среднее по Гёльдеру порядка p этой серии определяется выражением
Когда { a n } являются членами разложения непрерывной дроби, константы задаются выражением
Это получается путем взятия p-го среднего в сочетании с распределением Гаусса – Кузьмина . Можно показать, что значение K 0 получается в пределе p → 0.
Гармоническое среднее
С помощью приведенных выше выражений также может быть получено среднее гармоническое значение членов непрерывной дроби. Полученное значение
Открытые проблемы
- π , постоянная Эйлера – Маскерони γ и сама константа Хинчина, основанные на численных данных [3] [4], считаются числами, среднее геометрическое значение коэффициентов a i в их разложении в непрерывную дробь стремится к постоянной Хинчина. Однако ни один из этих ограничений не был строго установлен.
- Неизвестно, является ли константа Хинчина рациональным, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом. [5]
Смотрите также
- Теорема Лохса
- Постоянная Леви
- Список математических констант
Рекомендации
- ^ Рыль-Нардзевский, Чеслав (1951), "Об эргодической теоремы II (эргодическая теория цепных дробей)", Studia Mathematica , 12 : 74-79
- ^ Bailey, Borwein & Crandall, 1997. В этой статье для дзета-функции Гурвица используется несколько нестандартное определение.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "Постоянная непрерывная дробь Эйлера-Машерони" . mathworld.wolfram.com . Проверено 23 марта 2020 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Непрерывная дробь Пи» . mathworld.wolfram.com . Проверено 23 марта 2020 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Постоянная Хинчина» . MathWorld .
- Дэвид Х. Бейли; Джонатан М. Борвейн; Ричард Э. Крэндалл (1995). «О постоянной Хинчине» (PDF) . DOI : 10.1090 / s0025-5718-97-00800-4 . Цитировать журнал требует
|journal=
( помощь )
- Джонатан М. Борвейн; Дэвид М. Брэдли; Ричард Э. Крэндалл (2000). «Вычислительные стратегии для дзета-функции Римана» (PDF) . J. Comp. Приложение. Математика . 121 : 11. DOI : 10.1016 / s0377-0427 (00) 00336-8 .
- Томас Вайтинг. «Последовательность Хинчина» . Цитировать журнал требует
|journal=
( помощь )
- Александр Я. Хинчин (1997). Непрерывные дроби . Нью-Йорк: Dover Publications.
Внешние ссылки
- 110 000 цифр постоянной Хинчина
- 10000 цифр постоянной Хинчина