Математическое упражнение является рутинным применением алгебры или других математиков заявленной проблемы. Учителя математики назначают математические упражнения для развития навыков своих учеников. Ранние упражнения дело с капельным , вычитанием , умножением и делением на целых . Обширные курсы упражнений в школе распространяют такую арифметику на рациональные числа . Различные подходы к геометрии основаны на упражнениях на соотношениях углов, сегментов и треугольников. Тема тригонометрииполучает многие из своих упражнений от тригонометрических тождеств . В колледже упражнения по математике часто зависят от функций действительной переменной или применения теорем . Стандартные упражнения по исчислению включают поиск производных и интегралов от заданных функций.
Обычно преподаватели готовят студентов на отработанных примерах : формулируется упражнение, затем дается типовой ответ. Часто перед тем, как ученики подготовятся к самостоятельному выполнению упражнений, демонстрируется несколько рабочих примеров. Некоторые тексты, такие как «Очерки Шаума» , сосредоточены на рабочих примерах, а не на теоретическом рассмотрении математической темы.
Обзор
В начальной школе студенты начинают с одного значными арифметическими упражнениями. Позднее в большинстве упражнений используются как минимум две цифры. Общее упражнение в элементарной алгебре требует разложения по полиномам . Еще одно упражнение полного квадрата в квадратичным полиномом . Искусственно созданная задача со словами - это жанр упражнений, предназначенный для поддержания актуальности математики. Стивен Ликок описал этот тип: [1]
- Изучающий арифметику, который овладел первыми четырьмя правилами своего искусства и успешно борется с суммами и дробями, сталкивается с непрерывным пространством вопросов, известных как проблемы. Это рассказы о приключениях и трудолюбии с опущенным концом, которые, хотя и демонстрируют сильное семейное сходство, не лишены определенного элемента романтики.
Алан Х. Шёнфельд провел различие между упражнением и математической задачей : [2]
- Студенты должны овладеть соответствующим предметом, и для этого подходят упражнения. Но если механические упражнения - единственные проблемы, которые студенты видят на своих занятиях, мы оказываем студентам медвежью услугу.
Он выступал за постановку задач:
- Под «реальными проблемами» ... я имею в виду математические задачи, которые бросают серьезный вызов ученику и над которыми ученик должен работать, чтобы получить решение.
Аналогичное мнение было высказано Марвином Биттингером, когда он готовил второе издание [3] своего учебника:
- В ответ на комментарии пользователей авторы добавили упражнения, которые требуют от ученика чего-то другого, кроме понимания ближайших целей данного урока, но не обязательно являются очень сложными.
Зона развития проксимального для каждого студента, или группа студентов, наборы упражнений на уровне сложности , что проблемы , но не расстраивает их.
Некоторые комментарии в предисловии к учебнику по математическому анализу [4] показывают центральное место упражнений в книге:
- Упражнения составляют около четверти текста - на наш взгляд, наиболее важную часть текста. ... Дополнительные упражнения в конце каждой главы дополняют другие наборы упражнений и предоставляют совокупные упражнения, требующие навыков из предыдущих глав.
Этот текст включает «Функции и графики в приложениях» (глава 0.6), представляющий собой четырнадцать страниц для подготовки к решению текстовых задач.
Авторы книги о конечных полях свободно выбирали свои упражнения: [5]
- Чтобы повысить привлекательность этой книги как учебника , мы включили отработанные примеры в соответствующие места в тексте и включили списки упражнений для глав 1–9. Эти упражнения варьируются от обычных задач до альтернативных доказательств ключевых теорем. , но содержащие также материалы, выходящие за рамки того, что описано в тексте.
Дж. К. Максвелл объяснил, как упражнения облегчают доступ к языку математики : [6]
- Как математики мы выполняем определенные мысленные операции над символами числа или количества, и, шаг за шагом переходя от более простых к более сложным операциям, мы можем выразить одно и то же во многих различных формах. Эквивалентность этих различных форм, хотя и является необходимым следствием самоочевидных аксиом, не всегда, на наш взгляд, самоочевидна; но математик, который в результате долгой практики познакомился со многими из этих форм и стал экспертом в процессах, ведущих от одной к другой, часто может преобразовать озадачивающее выражение в другое, объясняющее его значение на более понятном языке.
Индивидуальные преподаватели в различных колледжах используют упражнения как часть своих курсов математики. Исследуя решение проблем в университетах, Шенфельд отметил: [7]
- Предложения для старших классов по математике, где по большей части студенты работали над сборниками задач, которые были составлены их индивидуальными преподавателями. В таких курсах упор делался на обучение на практике, без попытки преподавать конкретную эвристику: студенты работали над множеством задач, потому что (согласно неявной учебной модели, лежащей в основе таких курсов), именно так можно добиться хороших результатов в математике.
Такие сборники упражнений могут быть собственностью инструктора и его учреждения. В качестве примера ценности наборов упражнений рассмотрим выполнение Тору Кумона и его метода Кумона . В своей программе ученик не приступает к выполнению каждого уровня упражнения. В Русской математической школе учащиеся приступают к выполнению многоступенчатых задач еще в первом классе и учатся использовать предыдущие результаты для продвижения к решению.
В 1960-х сборники математических упражнений были переведены с русского языка и опубликованы WH Freeman and Company : Сборник задач олимпиады СССР (1962), [8] Задачи по высшей алгебре (1965), [9] и Задачи по дифференциальным уравнениям (1963). ). [10]
История
В Китае с древних времен для обозначения чисел использовались счетные стержни , а арифметика выполнялась с помощью стержневого исчисления, а затем и суаньпана . Книга по Числу и вычисление и девять главах по математическим искусствам включает в себя упражнение , которые являются образцами линейной алгебры . [11]
Примерно в 980 году ас-Сиджи написал свою книгу « Способы облегчения вывода геометрических фигур» , которая была переведена и опубликована Яном Хогендейком в 1996 году [12].
Арабский язык сборник упражнений был дан перевод на испанский язык , как Compendio де Алгебра де Abenbéder и рассмотренную в природе . [13]
В Европе до 1900 года наука о графической перспективе создавала геометрические упражнения. Например, в 1719 году Брук Тейлор писал в « Новых принципах линейной перспективы».
- [Читатель] получит гораздо больше удовольствия, наблюдая, насколько обширны эти Принципы, применяя их к конкретным случаям, которые он сам должен придумать, пока он упражняется в этом Искусстве ... [14]
Тейлор продолжил
- ... истинный и лучший способ изучить любое искусство - это не видеть множества примеров, выполненных другим человеком; но сначала овладеть Принципами этого, а затем знакомить их, упражняя себя в Практике. [15]
Использование доски для письма в школах послужило ранним форматом для упражнений. Рост числа программ упражнений последовал за введением письменных экзаменов и обучения на бумаге и ручке.
Феликс Кляйн описал подготовку к вступительным экзаменам в Политехническую школу как [16]
- ... курс "mathematiques especiales". Это необычайно сильная концентрация математического образования - до 16 часов в неделю, в котором элементарная аналитическая геометрия и механика, а недавно и исчисление бесконечно малых, также тщательно изучаются и превращаются в надежно освоенный инструмент с помощью множества упражнений.
Сильвестр Лакруа был одаренным учителем и толкователем. В его книге по начертательной геометрии используются разделы, помеченные как «Проблема», чтобы улучшить понимание читателя. В 1816 году он написал Очерки об обучении в целом и о преподавании математики в частности, в которых подчеркивалась необходимость упражнений и тестов:
- Экзаменатор, вынужденный в краткосрочной перспективе умножить свои вопросы на столько, чтобы охватить те предметы, которые он задает, до большей части преподаваемого материала, не может быть менее тщательным, поскольку, если, сокращая, он откладывает заявки в сторону, он Таким образом, школьным факультетам ничего не дадут. [17]
Эндрю Варвик обратил внимание на исторический вопрос об упражнениях:
- Включение иллюстративных упражнений и задач в конце глав в учебники математической физики сейчас настолько обычное дело, что может показаться обычным делом, но важно понимать, что этот педагогический прием возник относительно недавно и был введен в конкретном историческом контексте. [18] : 168
В отчетности Математических Трипосов экзамены возбуждено в Кембриджском университете , он отмечает
- Такое кумулятивное соревновательное обучение также более эффективно осуществлялось частными репетиторами, использующими индивидуальное обучение, специально подготовленные рукописи, оцененные примеры и задачи, чем преподаватели колледжей, проводившие большие классы с посредственными темпами. [18] : 79
Объясняя взаимосвязь экзамена и упражнения, он пишет:
- ... к 1830-м годам именно проблемы на экзаменационных листах, а не упражнения из учебников, определяли стандарт, к которому стремились амбициозные студенты ... [студенты Кембриджа] не только ожидали найти свой путь через простейший набросок примера. , но их учили рассматривать такие упражнения как полезную подготовку к решению сложных задач на экзаменах. [18] : 152
Объясняя, как реформа пустила корни, Уорвик писал:
- В Кембридже было широко распространено мнение, что лучший способ преподавания математики, включая новые аналитические методы, - это практические примеры и задачи, и к середине 1830-х годов некоторые из первого поколения молодых студентов колледжей обучались более высокому анализу. таким образом начали проводить свои собственные исследования и быть назначенными экзаменаторами Tripos. [18] : 155
Уорвик сообщает, что в Германии Франц Эрнст Нойман примерно в то же время «разработал общую систему градуированных упражнений, которая познакомила учащихся с иерархией основных математических навыков и методов, и ... начал конструировать свои собственные наборы задач, с помощью которых его ученики могли научиться их ремеслу ". [18] : 174 В России Стивен Тимошенко реформировал обучение, основанное на упражнениях. В 1913 году он преподавал сопротивление материалов в Петербургском государственном университете путей сообщения . Как он писал в 1968 году,
- [Практические] упражнения в институте не проводились, а на экзаменах студентам задавались только теоретические вопросы из принятого учебника. Мне пришлось как можно скорее положить конец такому обучению. Студенты четко понимали ситуацию, осознавали необходимость лучшего усвоения предмета и не возражали против сильного увеличения нагрузки. Основная трудность была с учителями, точнее, с экзаменаторами, которые привыкли основывать свои экзамены на книге. Постановка практических задач на экзаменах усложняла их работу. Они были людьми годами ... единственная надежда заключалась в том, чтобы привлечь к обучению молодых людей. [19]
Смотрите также
- алгоритм
- эффект отработанного примера
Рекомендации
- ^ Стивен Ликок «A, B, C - Человеческий элемент в математике», страницы с 131 по 55 в The Mathematical Magpie (1962) Клифтона Фадимана (редактор) Саймона и Шустера
- ^ Алан Х. Шонфельд (1988) «Решение проблем» (см. Стр. 85), глава 5 « Математического образования в средних школах и двухгодичных колледжах » Пола Дж. Кэмпбелла и Луи С. Гринштейна, издательство Garland Publishing, ISBN 0-8240 -8522-1
- ^ Марвин L Биттингер (1981) Фундаментальная алгебра и тригонометрия , 2-е издание, Аддисон Уэсли , ISBN 0-201-03839-0
- ^ LJ Goldstein, DC Lay, DI Schneider (1993) Исчисление и его приложения , 6-е издание, Prentice Hall , ISBN 0-13-117169-0
- ^ R. Lidl & H. Niederreitter (1986) Введение в конечные поля и их приложения , стр. Viii, Cambridge University Press
- ^ JC Maxwell (1890) Научные статьи Джеймса Клерка Максвелла , том 2,редактор WD Niven , страница 216, через Интернет-архив
- ^ Schoenfeld 1988 р 82
- ^ DO Shklansky, Н. Н. Chetzov и И. М. Яглом , переведенная Джон Maykovich, переработанное Ирвинг Зуссман, Олимпиада СССР задачник , WH Freeman и Company
- ^ DK Faddeev & IS Sominski, переведенный Джоэлем Ли Бреннером (1965) Проблемы высшей алгебры , WH Freeman & Company
- ^ Алексей Федорович Филиппов , переводчик и редактор JL Бреннер (1963,6) Проблемы дифференциальных уравнений , WH Freeman
- ^ Харт, Роджер (2010). Китайские корни линейной алгебры . JHU Press . ISBN 9780801899584.
- ^ Ян Хогендижк (1996) способы создания Easy Выведение геометрических фигур на Ас-Сиджизи
- ^ GB Мэтьюз (1917) Compendio de Algebra de Abenbéder из Nature 98: 466,7 (# 2465).
- ^ Брук Тейлор (1719) Новые принципы линейной перспективы , Предисловие, p vi, как найдено в Кирсти Андерсен (1992) Работа Брука Тейлора о линейной перспективе , p 152, Springer, ISBN 0-387-97486-5
- ^ Тейлор p vii, Андерсен p 153
- ↑ Феликс Клейн , переводчик М. Акермана (1979) Развитие математики в XIX веке , стр. 59, Math Sci Press
- ^ SF Lacroix (1816) Essais sur l'enseignement en general, et sur celui des mathematiques en special , стр.201
- ^ a b c d e Эндрю Уорвик (2003) Магистр теории: Кембридж и рост математической физики , University of Chicago PressISBN 0-226-87375-7
- ↑ Стивен Тимошенко (1968) Насколько я помню , переводчик Роберта Аддиса, страницы 133,4, D. Van Nostrand Company
Внешние ссылки
- Татьяна Афанасьева (1931) Упражнения в экспериментальной геометрии из Тихоокеанского института для математических наук .
- Владимир Арнольд (2004) Упражнения для школьников от 5 до 15 лет на платформе IMAGINARY
- Джеймс Альфред Юинг (1911) Примеры математики, механики, навигации и морской астрономии, тепла и пара, электричества для использования младшими офицерами на плаву из Интернет-архива .
- Джим Хефферон и другие (2004) Линейная алгебра в Викиучебнике