Ньютоновские мотивы общей теории относительности

Некоторые из основных концепций общей теории относительности могут быть очерчены за пределами релятивистской области. В частности, идея , что массы-энергии создает кривизну в пространстве и что кривизна влияет на движение масс может быть проиллюстрирована в ньютоновской обстановке. В качестве прототипа мы используем круговые орбиты . Это имеет то преимущество, что мы знаем кинетику круговых орбит. Это позволяет нам напрямую рассчитывать кривизну орбит в космосе и сравнивать результаты с динамическими силами.

Часть цикла статей о
Общая теория относительности
${\ Displaystyle G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ nu}}$
Вступление История Математическая формулировка Тесты
Основные концепции Принцип относительности Теория относительности Общая ковариация Одновременность Относительность одновременности Относительное движение Мероприятие Точка зрения Инерциальная система отсчета Масса Инертная масса Рама отдыха Кадр с центром импульса Кривизна Геодезический Геон Принцип эквивалентности Масса в общей теории относительности Эквивалентность массы и энергии Инвариантный Инвариантная масса Симметрии пространства-времени Специальная теория относительности Двойная специальная теория относительности инвариант де Ситтера специальная теория относительности Масштаб относительности Скорость света Производная по времени Подходящее время Правильная длина Уменьшение длины Действия на расстоянии Принцип локальности Риманова геометрия Энергетическое состояние
Явления Гравитоэлектромагнетизм Проблема Кеплера Сила тяжести Гравитационное поле Гравитационный колодец Гравитационное линзирование Гравитационные волны Гравитационное красное смещение Красное смещение Синий сдвиг Замедление времени Гравитационное замедление времени Задержка Шапиро Гравитационный потенциал Гравитационное сжатие Гравитационный коллапс Перетаскивание кадра Геодезический эффект Видимый горизонт Горизонт событий Гравитационная сингулярность Обнаженная особенность Черная дыра Белая дыра Пространство-время Стрела времени Световой конус Мировая линия Трехмерное пространство Четырехмерное пространство Космос Время Многообразие Гладкий коллектор Риманово многообразие Пространство конфигурации Государственное пространство Фазовое пространство Гильбертово пространство Евклидово пространство Топологическое пространство Топологический дефект Диаграммы пространства-времени Пространство-время Минковского Скаляр Лоренца Замкнутая времениподобная кривая (CTC) Червоточина Червоточина Эллиса
Уравнения Формализмы Уравнения Линеаризованная гравитация Уравнения поля Эйнштейна Фридман Геодезические Матиссон – Папапетру – Диксон Гамильтон – Якоби – Эйнштейн Инвариант кривизны (общая теория относительности) Преобразование Лоренца Лоренцево многообразие Глобально гиперболическое многообразие Условия причинности Причинная структура Формализмы ADM БССН Ньюман – Пенроуз Постньютоновский Продвинутая теория Теория Бранса – Дике Гипотеза космической цензуры Теория Калуцы – Клейна Квантовая гравитация Супергравитация
Решения Релятивистский диск Шварцшильд ( интерьер ) Рейсснер-Нордстрём Гёдель Керр Керр – Ньюман Kasner Лемэтр – Толман Тауб-ОРЕХ Milne Робертсон – Уокер pp-волна van Stockum пыль Вейль – Льюис – Папапетру Вакуумный раствор
Теоремы Теорема Биркгофа Теорема Героха о расщеплении Теорема Гольдберга – Сакса. Теорема Лавлока Теорема об отсутствии волос Теоремы Пенроуза – Хокинга об особенностях Теорема положительной энергии
Ученые Эйнштейн Лоренц Гильберта Пуанкаре Шварцшильд де Ситтер Рейсснер Nordström Weyl Эддингтон Фридман Milne Цвикки Лемэтр Гёдель Уиллер Робертсон Bardeen Уокер Керр Чандрасекхар Элерс Пенроуз Хокинг Райчаудхури Тейлор Hulse van Stockum Тауб Новичок Яу Торн другие
v т е

Эквивалентность гравитационной и инертной массы [ править ]

Уникальной особенностью гравитационной силы является то, что все массивные объекты одинаково ускоряются в гравитационном поле. Это часто выражается как «Гравитационная масса равна инертной массе». Это позволяет нам думать о гравитации как о кривизне пространства-времени . ^{[ необходима цитата ]}

Тест на плоскостность в пространстве-времени [ править ]

Если изначально параллельные пути двух частиц на близлежащих геодезических остаются параллельными с некоторой точностью, тогда пространство-время будет плоским с этой точностью. [Ref. 2, стр. 30]

Две соседние частицы в радиальном гравитационном поле [ править ]

Ньютоновская механика для круговых орбит [ править ]

Геодезические и полевые уравнения для круговых орбит [ править ]

Рассмотрим ситуацию, в которой есть две частицы на близлежащих круговых полярных орбитах Земли с радиусом и скоростью . Поскольку орбиты круговые, гравитационная сила, действующая на частицы, должна равняться центростремительной силе ,${\ displaystyle r}$${\ displaystyle v}$

${\ displaystyle {v ^ {2} \ over r} = {GM \ over r ^ {2}}}$

где G - гравитационная постоянная, а - масса Земли.${\ displaystyle M}$

Частицы совершают простое гармоническое движение вокруг Земли и друг относительно друга. Они находятся на максимальном расстоянии друг от друга, когда пересекают экватор. Их траектории пересекаются на полюсах.

Из закона всемирного тяготения Ньютона можно показать, что вектор разделения задается "геодезическим уравнением".${\ displaystyle \ mathbf {h}}$

${\ displaystyle {d ^ {2} \ mathbf {h} \ over d \ tau ^ {2}} + R \ mathbf {h} = 0}$

где - кривизна траектории, а - скорость света в c, умноженная на время.${\displaystyle R={1 \over r^{2}}{v^{2} \over c^{2}}}$${\displaystyle \tau =ct}$

Кривизна траектории вызвана массой земли . Это представлено «уравнением поля».${\displaystyle M}$

${\displaystyle R={GM \over {r^{3}}}}$

В этом примере уравнение поля - это просто утверждение ньютоновской концепции, согласно которой центростремительная сила равна силе гравитации для круговых орбит. Мы называем это выражение полевым уравнением, чтобы подчеркнуть сходство с полевым уравнением Эйнштейна . Это уравнение сильно отличается от закона Гаусса , который является обычной характеристикой уравнения поля в механике Ньютона.

Связь между кривизной и плотностью массы [ править ]

Массу можно записать через среднюю плотность массы внутри сферы радиуса выражением${\displaystyle \rho (r)}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle M={4\pi \rho (r)r^{3} \over 3}}$.

Уравнение поля принимает вид

${\displaystyle R={4\pi G \over {3}}\rho (r)}$.

Кривизна траекторий частиц пропорциональна плотности массы.

Локальные измерения [ править ]

Требование общей теории относительности состоит в том, что все измерения должны производиться локально. Таким образом, мы можем представить себе, что частицы находятся внутри космического корабля без окон, вращающегося вокруг Земли с центром масс космического корабля, совпадающим с одной из частиц. Эта частица будет покоиться по отношению к космическому кораблю. Наблюдатель на космическом корабле не имел бы никаких указаний на то, что корабль вращается вокруг Земли. Наблюдателю разрешается только измерять поведение частиц в кадре корабля.

В этом примере мы можем определить локальную систему координат так, чтобы направление -направление было к потолку корабля, а оно было направлено вдоль . -Направление обращено к передней части корабля и в направлении . -Направление обращено к левой стороне корабля.${\displaystyle z}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle y}$

В этом кадре вектор является вектором положения для второй частицы. Наблюдатель на корабле мог бы подумать, что вторая частица колеблется в потенциальной яме, создаваемой гравитационным полем. Это пример координатного ускорения из-за выбора кадров в отличие от физического ускорения из-за реальных сил.${\displaystyle \mathbf {h} }$

Общее движение в гравитационном поле Земли [ править ]

Эллиптические и гиберболические траектории [ править ]

В более общем смысле частицы движутся по эллиптическим или гиберболическим траекториям в плоскости, которая содержит центр Земли. Орбиты не обязательно должны быть круговыми . В таких ситуациях также можно получить интуитивно понятные геодезические и полевые уравнения [ссылка 2, глава 1]. Однако, в отличие от круговых орбит, скорость частиц по эллиптическим или гиперболическим траекториям непостоянна. Поэтому у нас нет постоянной скорости, с которой можно масштабировать кривизну. Поэтому в ожидании перехода к релятивистской механике траектории и кривизны масштабируются со скоростью света .${\displaystyle c}$

Из закона всемирного тяготения Ньютона

${\displaystyle {d^{2}\mathbf {r} \over dt^{2}}=-{GM \over r^{3}}\mathbf {r} }$

можно получить уравнение геодезических для разделения двух частиц на близких траекториях

${\displaystyle {d^{2}\mathbf {h} \over d\tau ^{2}}+R\mathbf {h} =0}$

и уравнение поля

${\displaystyle R=R_{\perp }={GM \over {c^{2}r^{3}}}={4\pi G \over {3c^{2}}}\rho (r)}$

если разделение частиц перпендикулярно и${\displaystyle \mathbf {r} }$

${\displaystyle R=R_{\|}=-{2GM \over {c^{2}r^{3}}}=-{8\pi G \over {3c^{2}}}\rho (r)}$

если разделение параллельно . При расчете радиус был расширен в единицах . Был сохранен только линейный член.${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle R_{\|}}$${\displaystyle \mathbf {h} }$

В случае радиального отрыва частицы кривизна отрицательна. Это приведет к разделению частиц, а не их притяжению друг к другу, как в случае, когда они имеют одинаковый радиус. Это легко понять. Внешние орбиты движутся медленнее, чем внутренние. Это приводит к разделению частиц.

Местная система координат [ править ]

Опять же можно определить локальную систему координат космического корабля, движущегося вместе с одной из частиц. -Направление, к потолку, находится в направлении . -Направление, по направлению к передней части корабля, перпендикулярно , но по- прежнему в плоскости траектории. В отличие от круговой орбиты, этот аппарат больше не обязательно указывает направление скорости. -Направление обращено к левой стороне корабля.${\displaystyle z}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle y}$

Описание тензора [ править ]

Простая диагональная рамка [ править ]

Уравнение геодезических в радиальном гравитационном поле может быть сжато описано в тензорной записи [см. 2, стр. 37] в сопутствующей раме, в которой потолок космического корабля находится в направлении${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$

${\displaystyle {d^{2}h^{i} \over ds^{2}}+R_{j}^{i}h^{j}=0}$

где латинские индексы находятся над пространственными направлениями в сопутствующей системе, и мы использовали соглашение Эйнштейна о суммировании, в котором суммируются повторяющиеся индексы. Тензор кривизны имеет вид${\displaystyle R_{j}^{i}}$

${\displaystyle {\begin{Vmatrix}R_{1}^{1}&R_{1}^{2}&R_{1}^{3}\\R_{2}^{1}&R_{2}^{2}&R_{2}^{3}\\R_{3}^{1}&R_{3}^{2}&R_{3}^{3}\end{Vmatrix}}={\begin{Vmatrix}R_{\perp }&0&0\\0&R_{\perp }&0\\0&0&R_{\|}\end{Vmatrix}}}$

а вектор разделения определяется выражением

${\displaystyle {\begin{Vmatrix}h^{1}&h^{2}&h^{3}\end{Vmatrix}}={\begin{Vmatrix}\mathbf {h} \cdot \mathbf {\hat {x}} &\mathbf {h} \cdot \mathbf {\hat {y}} &\mathbf {h} \cdot \mathbf {\hat {z}} \end{Vmatrix}}}$

где это компонент в направлении, является компонентом в направлении, и является компонентом в направлении.${\displaystyle \mathbf {h} \cdot \mathbf {\hat {x}} }$${\displaystyle \mathbf {h} }$${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} }$${\displaystyle \mathbf {h} \cdot \mathbf {\hat {y}} }$${\displaystyle \mathbf {\hat {y}} }$${\displaystyle \mathbf {h} \cdot \mathbf {\hat {z}} }$${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} }$

В этой сопутствующей системе координат тензор кривизны диагонален. В целом это не так.

Произвольная ориентация локальной рамки [ править ]

У сопутствующего космического корабля нет иллюминаторов. Наблюдатель не может сказать, какое направление является направлением, и он / она не может знать, в каком направлении находится скорость относительно Земли. Ориентация космического корабля может сильно отличаться от простой системы координат, в которой потолок находится в направлении, а передняя часть корабля находится в направлении, компланарном радиусу и скорости. Мы можем преобразовать наши простые координаты в произвольно ориентированную систему координат посредством вращения . Однако это разрушает диагональный характер матрицы кривизны.${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$

Вращения выполняются с помощью матрицы вращения , так что вектор разделения связан с вектором разделения перед поворотом соотношением${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \mathbf {\bar {h}} }$${\displaystyle \mathbf {h} }$

${\displaystyle {\bar {h}}^{i}={\mathcal {M}}_{j}^{i}h^{j}}$.

Обратное к определяется как${\displaystyle {\bar {\mathcal {M}}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

${\displaystyle {\bar {\mathcal {M}}}_{j}^{i}{\mathcal {M}}_{k}^{j}=\delta _{k}^{i}}$,

который дает

${\displaystyle h^{i}={\bar {\mathcal {M}}}_{j}^{i}{\bar {h}}^{j}}$.

Вот это Кронекера .${\displaystyle \delta _{k}^{i}}$

Простая матрица вращения, которая поворачивает ось координат на угол вокруг оси -оси, имеет вид${\displaystyle \theta }$${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{Vmatrix}{\mathcal {M}}_{1}^{1}&{\mathcal {M}}_{1}^{2}&{\mathcal {M}}_{1}^{3}\\{\mathcal {M}}_{2}^{1}&{\mathcal {M}}_{2}^{2}&{\mathcal {M}}_{2}^{3}\\{\mathcal {M}}_{3}^{1}&{\mathcal {M}}_{3}^{2}&{\mathcal {M}}_{3}^{3}\end{Vmatrix}}={\begin{Vmatrix}1&0&0\\0&\cos(\theta )&\sin(\theta )\\0&-\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{Vmatrix}}}$.

Это вращение в плоскости yz. Обратное получается переключением знака .${\displaystyle \theta }$

Если матрица вращения не зависит от времени, то уравнение геодезии при вращении принимает вид

${\displaystyle {d^{2}{\bar {h}}^{i} \over ds^{2}}+{\bar {R}}_{j}^{i}{\bar {h}}^{j}=0}$

где

${\displaystyle {\bar {R}}_{j}^{i}={\mathcal {M}}_{k}^{i}R_{l}^{k}{\bar {\mathcal {M}}}_{j}^{l}}$.

Кривизна в новой системе координат недиагональна. Обратную задачу преобразования произвольной системы координат в диагональную можно решить математически с помощью процесса диагонализации .

Зависящее от времени вращение локальной системы отсчета: символы Кристоффеля [ править ]

Космический корабль может опрокинуться вокруг своего центра масс. В этом случае матрица вращения зависит от времени. Если матрица вращения зависит от времени, то она не коммутирует с производной по времени.

В этом случае вращение скорости отрыва можно записать

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{i}^{k}{dh^{i} \over ds}={\mathcal {M}}_{i}^{k}{d{\bar {\mathcal {M}}}_{j}^{i}{\bar {h}}^{j} \over ds}}$

который становится

${\displaystyle {d{\bar {h}}^{k} \over ds}+\Gamma _{j}^{k}{\bar {h}}^{j}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {D{\bar {h}}^{k} \over Ds}}$

где

${\displaystyle \Gamma _{j}^{k}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\mathcal {M}}_{i}^{k}{d{\bar {\mathcal {M}}}_{j}^{i} \over ds}}$

известен как символ Кристоффеля .

Геодезическое уравнение принимает вид

${\displaystyle {D^{2}{\bar {h}}^{i} \over Ds^{2}}+{\bar {R}}_{j}^{i}{\bar {h}}^{j}=0}$,

что такое же, как и раньше, за исключением того, что производные были обобщены.

Произвол в кривизне [ править ]

Скорость в кадре космического корабля можно записать

${\displaystyle {\bar {u}}^{i}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {D{\bar {h}}^{i} \over Ds}}$.

Геодезическое уравнение принимает вид

${\displaystyle {d{\bar {u}}^{i} \over ds}+\Gamma _{j}^{i}{\bar {u}}^{j}+{\bar {R}}_{j}^{i}{\bar {h}}^{j}=0}$.

${\displaystyle {d^{2}{\bar {h}}^{i} \over ds^{2}}+2\Gamma _{j}^{i}{d{\bar {h}}^{i} \over ds}+{d\Gamma _{j}^{i} \over ds}{\bar {h}}^{j}+\Gamma _{j}^{i}\Gamma _{k}^{j}{\bar {h}}^{k}+{\bar {R}}_{j}^{i}{\bar {h}}^{j}=0}$.

В произвольно вращающемся космическом корабле искривление пространства обусловлено двумя факторами: одним из-за плотности массы и одним из-за произвольного вращения космического корабля. Произвольное вращение не является физическим и должно быть исключено в любой реальной физической теории гравитации. В общей теории относительности это делается с помощью процесса, называемого переносом Ферми – Уокера . В евклидовом смысле перенос Ферми – Уокера - это просто заявление о том, что космическому кораблю запрещено кувыркаться.

${\displaystyle \Gamma _{j}^{i}=0}$

для всех i и j. Допускаются только зависящие от времени вращения, вызываемые массовой плотностью.

Общие геодезические и полевые уравнения в ньютоновской среде [ править ]

Геодезическое уравнение [ править ]

${\displaystyle {D^{2}{\bar {h}}^{i} \over Ds^{2}}+{\bar {R}}_{j}^{i}{\bar {h}}^{j}=0}$

где

${\displaystyle {D \over Ds}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {d \over ds}+\Gamma }$

и является символом Кристоффеля .${\displaystyle \Gamma }$

Полевое уравнение [ править ]

${\displaystyle {\bar {R}}_{j}^{i}={\mathcal {M}}_{k}^{i}R_{l}^{k}{\bar {\mathcal {M}}}_{j}^{l}}$

где - матрица вращения, а тензор кривизны${\displaystyle {\mathcal {M}}_{j}^{i}}$

${\displaystyle {\begin{Vmatrix}R_{1}^{1}&R_{1}^{2}&R_{1}^{3}\\R_{2}^{1}&R_{2}^{2}&R_{2}^{3}\\R_{3}^{1}&R_{3}^{2}&R_{3}^{3}\end{Vmatrix}}={\begin{Vmatrix}R_{\perp }&0&0\\0&R_{\perp }&0\\0&0&R_{\|}\end{Vmatrix}}}$.

Кривизна пропорциональна плотности массы

${\displaystyle R_{\perp }={4\pi G \over {3c^{2}}}\rho (r)}$

${\displaystyle R_{\|}=-{8\pi G \over {3c^{2}}}\rho (r)}$.

Обзор ньютоновской картины [ править ]

Геодезические и полевые уравнения просто повторяют закон всемирного тяготения Ньютона, как видно из локальной системы отсчета, движущейся вместе с массой в локальной системе координат. Это изображение содержит многие элементы общей теории относительности, включая концепцию, согласно которой частицы движутся по геодезическим в искривленном пространстве (пространство-время в релятивистском случае) и что кривизна обусловлена ​​наличием плотности массы (плотность массы / энергии в релятивистском случае). дело). Это изображение также содержит некоторые математические механизмы общей теории относительности, такие как тензоры , символы Кристоффеля и перенос Ферми – Уокера .

Релятивистское обобщение [ править ]

Общая теория относительности обобщает геодезический уравнение и уравнение поля в релятивистской области , в которых траектории в пространстве заменяются мировыми линиями в пространстве - времени . Уравнения также обобщаются на более сложные кривизны.

См. Также [ править ]

Биографии [ править ]

Альберт Эйнштейн

Эли Картан

Бернхард Риманн

Энрико Ферми

Родственная математика [ править ]

Математика общей теории относительности

Основное введение в математику искривленного пространства-времени

Приливный тензор

Поля кадра в общей теории относительности

Ссылки [ править ]

[1] Эйнштейн А. (1961). Относительность: специальная и общая теория . Нью-Йорк: Корона. ISBN 0-517-02961-8.

[2] Миснер, Чарльз; Торн, Кип С. и Уиллер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация . Сан-Франциско: WH Freeman . ISBN 0-7167-0344-0.

[3] Ландау, Л.Д., Лифшиц, Е.М. (1975). Классическая теория полей (четвертое пересмотренное английское издание). Оксфорд: Пергамон. ISBN 0-08-018176-7.

[4] П.А.М. Дирак (1996). Общая теория относительности . Издательство Принстонского университета . ISBN 0-691-01146-X.