В математике , а силовые серии (в одной переменной) представляет собой бесконечный ряд вида
Во многих ситуациях c ( центр ряда) равен нулю, например, при рассмотрении ряда Маклорена . В таких случаях степенной ряд принимает более простой вид
Помимо своей роли в математическом анализе, степенные ряды также встречаются в комбинаторике как производящие функции (разновидность формальных степенных рядов ) и в электронной технике (под названием Z-преобразование ). Знакомую десятичную систему счисления для действительных чисел также можно рассматривать как пример степенного ряда с целочисленными коэффициентами, но с аргументом x, фиксированным равным 1 ⁄ 10 . В теории чисел концепция p-адических чисел также тесно связана с концепцией степенного ряда.
Примеры
Любой многочлен может быть легко выражен в виде степенного ряда вокруг любого центра c , хотя все коэффициенты, кроме конечного, будут равны нулю, поскольку степенной ряд по определению имеет бесконечно много членов. Например, полином можно записать в виде степенного ряда вокруг центра в виде
или около центра в виде
или действительно вокруг любого другого центра c . [1] Можно рассматривать степенные ряды как «многочлены бесконечной степени», хотя степенные ряды не являются полиномами.
Геометрическая прогрессия формула
что действительно для , является одним из наиболее важных примеров степенного ряда, как и формула экспоненциальной функции
и формула синуса
действительно для всех реальных x .
Эти степенные ряды также являются примерами рядов Тейлора .
О наборе показателей
Отрицательные степени не допускаются в степенных рядах; например,не считается степенным рядом (хотя это ряд Лорана ). Точно так же дробные степени, такие какне разрешены (но см. серию Puiseux ). Коэффициенты не разрешено зависеть от , например:
не является степенным рядом.
Радиус схождения
Силовой ряд это сходится для некоторых значений переменной х , которое всегда будет включать в себя х = с (как обычно, оценивается как 1 и, таким образом, сумма ряда равнадля x = c ). При других значениях x ряды могут расходиться . Если c - не единственная точка сходимости, то всегда существует число r с 0 < r ≤ ∞ такое, что ряд сходится всякий раз, когда | х - с | < r и расходится всякий раз, когда | х - с | > р . Число r называется радиусом сходимости степенного ряда; в общем это дается как
или, что то же самое,
(это теорема Коши – Адамара ; объяснение обозначений см. в разделе « Верхний предел и нижний предел» ). Соотношение
также выполняется, если этот предел существует.
Множество таких комплексных чисел , что | х - с | < r называется диском сходимости ряда. Ряд сходится абсолютно внутри своего круга сходимости и сходится равномерно на каждом компактном подмножестве диска сходимости.
Для | х - с | = r , общего утверждения о сходимости ряда нет. Однако теорема Абеля утверждает, что если ряд сходится для некоторого значения z, такого что | z - c | = r , то сумма ряда для x = z является пределом суммы ряда для x = c + t ( z - c ), где t - действительная переменная, меньшая, чем1, который имеет тенденцию1 .
Операции над степенными рядами
Сложение и вычитание
Когда две функции f и g разлагаются в степенной ряд вокруг одного и того же центра c , степенной ряд суммы или разности функций может быть получен путем почленного сложения и вычитания. То есть, если
- а также
тогда
Неверно, что если два степенных ряда а также имеют одинаковый радиус сходимости, то также имеет этот радиус сходимости. Если а также , то оба ряда имеют одинаковый радиус сходимости 1, но ряд имеет радиус сходимости 3.
Умножение и деление
С такими же определениями для а также , степенной ряд произведения и частного функций можно получить следующим образом:
Последовательность называется сверткой последовательностей а также .
Для деления, если определить последовательность от
тогда
и можно рекурсивно решить для членов путем сравнения коэффициентов.
Решение соответствующих уравнений дает формулы, основанные на определителях некоторых матриц коэффициентов а также
Дифференциация и интеграция
Однажды функция даются как степенной ряд , как указано выше, она дифференцируема на внутренней части области сходимости. Его можно довольно легко дифференцировать и интегрировать , рассматривая каждый термин отдельно:
Обе эти серии имеют тот же радиус сходимости, что и исходная.
Аналитические функции
Функция f, определенная на некотором открытом подмножестве U в R или C , называется аналитической, если она локально задается сходящимся степенным рядом. Это означает , что каждый ∈ U имеет открытую окрестность V ⊆ U , такие , что существует степенной ряд с центром а , который сходится к F ( х ) для каждого х ∈ V .
Каждый степенной ряд с положительным радиусом сходимости аналитичен внутри своей области сходимости. Все голоморфные функции комплексно-аналитичны. Суммы и произведения аналитических функций являются аналитическими, как и частные, пока знаменатель не равен нулю.
Если функция аналитическая, то она бесконечно дифференцируема, но в реальном случае обратное, как правило, неверно. Для аналитической функции коэффициенты a n могут быть вычислены как
где обозначает n- ю производную f в точке c , а. Это означает, что каждая аналитическая функция локально представлена своим рядом Тейлора .
Глобальная форма аналитической функции полностью определяется ее локальным поведением в следующем смысле: если f и g - две аналитические функции, определенные на одном и том же связном открытом множестве U , и если существует элемент c ∈ U такой, что f ( n ) ( с ) = г ( п ) ( с ) для всех п ≥ 0, то F ( х ) = г ( х ) для всех х ∈ U .
Если дан степенной ряд с радиусом сходимости r , можно рассматривать аналитические продолжения ряда, т. Е. Аналитические функции f, которые определены на множествах, больших, чем { x : | х - с | < r } и согласитесь с данным степенным рядом на этом множестве. Число r является максимальным в следующем смысле: всегда существует комплексное число x с | х - с | = r такое, что аналитическое продолжение ряда не может быть определено в точке x .
Разложение в степенной ряд обратной функции аналитической функции может быть определено с помощью теоремы об обращении Лагранжа .
Поведение около границы
Сумма степенного ряда с положительным радиусом сходимости является аналитической функцией в каждой точке внутри диска сходимости. Однако в точках на границе этого диска может происходить различное поведение. Например:
- Дивергенция при расширении суммы до аналитической функции : имеет радиус сходимости, равный и расходится в каждой точке . Тем не менее, сумма в является , которая аналитична во всех точках плоскости, кроме .
- В одних точках сходятся, в других - расходятся. : имеет радиус схождения . Он сходится для, а расходится на
- Абсолютная сходимость в каждой точке границы : имеет радиус схождения , в то время как он сходится абсолютно и равномерно в каждой точке за счет применения М-критерия Вейерштрасса с гипергармоническим сходящимся рядом .
- Сходящаяся на замыкании круга сходимости, но не непрерывная сумма : Серпинский привел пример [2] степенного ряда с радиусом сходимости, сходящаяся во всех точках с , но сумма является неограниченной функцией и, в частности, разрывной. Достаточное условие односторонней непрерывности в граничной точке дает теорема Абеля .
Формальный степенной ряд
В абстрактной алгебре пытаются уловить суть степенных рядов, не ограничиваясь полями действительных и комплексных чисел и без необходимости говорить о сходимости. Это приводит к концепции формальных степенных рядов , концепции большой полезности в алгебраической комбинаторике .
Ряд степеней в нескольких переменных
Расширение теории необходимо для целей многомерного исчисления . Под степенным рядом здесь понимается бесконечный ряд вида
где j = ( j 1 , ..., j n ) - вектор натуральных чисел, коэффициенты a ( j 1 ,…, j n ) обычно являются действительными или комплексными числами, а центр c = ( c 1 ,. .., c n ) и аргумент x = ( x 1 , ..., x n ) обычно являются действительными или комплексными векторами. Символ- это символ произведения , обозначающий умножение. В более удобной многоиндексной записи это можно записать
где это набор натуральных чисел , и поэтомуесть множество упорядоченных п - кортежи натуральных чисел.
Теория таких рядов сложнее, чем рядов с одной переменной, с более сложными областями сходимости. Например, степенной ряд абсолютно сходится в множестве между двумя гиперболами. (Это пример лог-выпуклого множества в том смысле, что множество точек, где лежит в указанной области, является выпуклым множеством. В более общем плане можно показать, что когда c = 0, внутренняя часть области абсолютной сходимости всегда является лог-выпуклым множеством в этом смысле.) С другой стороны, внутри этой области сходимости можно дифференцировать и интегрировать под знаком ряда, как и с обычным степенным рядом.
Порядок степенного ряда
Пусть α - мультииндекс для степенного ряда f ( x 1 , x 2 , ..., x n ). Порядок в степенной ряд F определяется как наименьшее значениетаким образом, что существует & alpha ; ≠ 0,, или же если f ≡ 0. В частности, для степенного ряда f ( x ) от одной переменной x порядок f - это наименьшая степень x с ненулевым коэффициентом. Это определение легко распространяется на ряд Лорана .
Заметки
- ^ Говард Леви (1967). Полиномы, степенные ряды и исчисления . Ван Ностранд. п. 24.
- ^ Вацлав Серпинский (1916). Sur une série Potentielle Qui, étant convergente en tout point de son cercle de convergence, représente sur ce cercle une fonction discontinue. (Французский) . Палермо Ренд. С. 187–190.
Рекомендации
- Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], "Силовые ряды" , Энциклопедия математики , EMS Press
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. "Формальная степенная серия" . MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. «Силовая серия» . MathWorld .
- Полномочия комплексных чисел Майкла Шрайбера, Wolfram Demonstrations Project .