Квадратичный интеграл

В математике , А квадратичный интеграл является интегралом вида

${\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {a + bx + cx ^ {2}}}.}$

Его можно оценить, заполнив квадрат в знаменателе .

${\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {a + bx + cx ^ {2}}} = {\ frac {1} {c}} \ int {\ frac {dx} {\ left (x + {\ frac {b} {2c}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {a} {c}} - {\ frac {b ^ {2}} {4c ^ {2}}} \ right) }}.}$

Положительно-дискриминантный случай [ править ]

Предположим, что дискриминант q = b ²  - 4 ac положительный. В этом случае определим u и A как

${\ displaystyle u = x + {\ frac {b} {2c}}}$,

и

${\displaystyle -A^{2}={\frac {a}{c}}-{\frac {b^{2}}{4c^{2}}}={\frac {1}{4c^{2}}}\left(4ac-b^{2}\right).}$

Теперь квадратичный интеграл можно записать как

${\displaystyle \int {\frac {dx}{a+bx+cx^{2}}}={\frac {1}{c}}\int {\frac {du}{u^{2}-A^{2}}}={\frac {1}{c}}\int {\frac {du}{(u+A)(u-A)}}.}$

Разложение частичной доли

${\displaystyle {\frac {1}{(u+A)(u-A)}}={\frac {1}{2A}}\left({\frac {1}{u-A}}-{\frac {1}{u+A}}\right)}$

позволяет оценить интеграл:

${\displaystyle {\frac {1}{c}}\int {\frac {du}{(u+A)(u-A)}}={\frac {1}{2Ac}}\ln \left({\frac {u-A}{u+A}}\right)+{\text{constant}}.}$

Окончательный результат для исходного интеграла в предположении, что q > 0, равен

${\displaystyle \int {\frac {dx}{a+bx+cx^{2}}}={\frac {1}{\sqrt {q}}}\ln \left({\frac {2cx+b-{\sqrt {q}}}{2cx+b+{\sqrt {q}}}}\right)+{\text{constant, where }}q=b^{2}-4ac.}$

Отрицательно-дискриминантный регистр [ править ]

Этот (наскоро написанный) раздел может потребовать внимания.

Если дискриминант q = b ²  - 4 ac отрицателен, второй член в знаменателе в

${\displaystyle \int {\frac {dx}{a+bx+cx^{2}}}={\frac {1}{c}}\int {\frac {dx}{\left(x+{\frac {b}{2c}}\right)^{2}+\left({\frac {a}{c}}-{\frac {b^{2}}{4c^{2}}}\right)}}.}$

положительный. Тогда интеграл принимает вид

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\qquad {\frac {1}{c}}\int {\frac {du}{u^{2}+A^{2}}}\\[9pt]&={\frac {1}{cA}}\int {\frac {du/A}{(u/A)^{2}+1}}\\[9pt]&={\frac {1}{cA}}\int {\frac {dw}{w^{2}+1}}\\[9pt]&={\frac {1}{cA}}\arctan(w)+\mathrm {constant} \\[9pt]&={\frac {1}{cA}}\arctan \left({\frac {u}{A}}\right)+{\text{constant}}\\[9pt]&={\frac {1}{c{\sqrt {{\frac {a}{c}}-{\frac {b^{2}}{4c^{2}}}}}}}\arctan \left({\frac {x+{\frac {b}{2c}}}{\sqrt {{\frac {a}{c}}-{\frac {b^{2}}{4c^{2}}}}}}\right)+{\text{constant}}\\[9pt]&={\frac {2}{\sqrt {4ac-b^{2}\,}}}\arctan \left({\frac {2cx+b}{\sqrt {4ac-b^{2}}}}\right)+{\text{constant}}.\end{aligned}}}$

Ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. « Квадратичный интеграл ». Из MathWorld - веб-ресурса Wolfram, в котором упоминается следующее:
• Градштейн, Израиль Соломонович ; Рыжик Иосиф Моисеевич ; Геронимус Юрий Вениаминович ; Цейтлин Михаил Юльевич ; Джеффри, Алан (2015) [октябрь 2014]. Цвиллинджер, Даниэль; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, серий и продуктов . Перевод Scripta Technica, Inc. (8-е изд.). Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN  2014010276 .