Возведение круга в квадрат - задача, предложенная древними геометрами . Задача состоит в том, чтобы построить квадрат той же площади, что и данный круг , используя только конечное количество шагов с помощью циркуля и линейки . Сложность проблемы подняла вопрос о том, является ли указанные аксиомы о евклидовых геометриях подразумеваемых о существовании линий и окружностей существования такого квадрата.
В 1882 году эта задача оказалась невыполнимой в результате теоремы Линдемана – Вейерштрасса, которая доказывает, что pi ( π ) является трансцендентным , а не алгебраическим иррациональным числом; то есть это не корень любого многочлена с рациональными коэффициентами. В течение десятилетий было известно, что построение было бы невозможным, если бы π было трансцендентным, но π не было доказано трансцендентным до 1882 года. Приближенное возведение в квадрат с любой заданной неидеальной точностью, напротив, возможно за конечное число шагов, поскольку там - рациональные числа, сколь угодно близкие к π .
Выражение «квадрат круга» иногда используется как метафора для попытки сделать невозможное. [1]
Термин квадратура круга иногда используется для обозначения того же, что и квадрат круга, но он также может относиться к приближенным или численным методам определения площади круга .
История
Методы аппроксимации площади данного круга квадратом, которые можно рассматривать как проблему, предшествующую возведению круга в квадрат, были известны уже вавилонским математикам . В египетском папирусе Ринд 1800 г. до н.э. площадь круга указана как64/81 год d 2 , где d - диаметр круга. Говоря современным языком, это эквивалентно приближению π как 256/81 год(приблизительно 3,1605), число, которое появляется в старом Московском математическом папирусе и используется для аппроксимации объема (например, хекат ). Индийские математики также нашли приблизительный метод, хотя и менее точный, задокументированный в Сутрах Шульбы . [2] Архимед доказал формулу для площади круга ( A = π r 2 , где r - радиус круга) и показал, что значение π лежит между 3+1/7 (приблизительно 3,1429) и 3+10/71(приблизительно 3,1408). См. « Численные приближения π» для получения дополнительной информации об истории.
Первым известным греком, который связался с этой проблемой, был Анаксагор , который работал над ней в тюрьме. Гиппократ Хиосский возводил в квадрат определенные луны в надежде, что это приведет к решению - см. Луну Гиппократа . Антифон Софист считал, что вписывание правильных многоугольников в круг и удвоение количества сторон в конечном итоге заполнит площадь круга, а поскольку многоугольник можно возводить в квадрат, это означает, что круг можно возводить в квадрат. Даже тогда были скептики - Евдем утверждал, что величины не могут быть безгранично разделены, поэтому площадь круга никогда не будет израсходована. [3] Проблема даже упоминалась в пьесе Аристофана « Птицы» .
Считается, что Энопид был первым греком, которому потребовалось решение на плоскости (то есть с использованием только циркуля и линейки). Джеймс Грегори попытался доказать его невозможность в работе Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura («Истинный квадрат круга и гиперболы») в 1667 году. [4] Хотя его доказательство было ошибочным, это была первая статья, в которой была предпринята попытка решить проблему с использованием алгебраические свойства π . Только в 1882 году Фердинанд фон Линдеманн строго доказал, что это невозможно.
Математик, логик и писатель Викторианской эпохи Чарльз Лютвидж Доджсон, более известный под псевдонимом Льюис Кэрролл , также проявил интерес к развенчанию нелогичных теорий возведения круга в квадрат. В одной из своих дневниковых записей за 1855 год Доджсон перечислил книги, которые он надеялся написать, в том числе одну под названием «Простые факты для квадроциклов». Во введении к «Новой теории параллелей» Доджсон рассказал о попытке продемонстрировать логические ошибки паре квадратов, заявив: [6]
Первый из этих двух заблудших провидцев наполнил меня огромным желанием совершить подвиг, о котором я никогда не слышал, как совершенный человеком, а именно убедить квадратный круг в его ошибке! Мой друг выбрал для Пи значение 3,2: огромная ошибка соблазнила меня мыслью, что она может быть легко продемонстрирована как БЫТЬ ошибкой. Было обменяно более чем десятком букв, прежде чем я с грустью убедился, что у меня нет шансов.
Высмеивание квадрата круга появляется в книге Августа де Моргана « Бюджет парадоксов », посмертно опубликованной его вдовой в 1872 году. Первоначально опубликовав эту работу в виде серии статей в « Athenæum» , он пересматривал ее для публикации во время своего выхода в свет. смерть. Квадрат круга был очень популярен в девятнадцатом веке, но сегодня вряд ли кто-то занимается им, и считается, что работа де Моргана помогла этому. [7]
Две другие классические задачи античности, известные своей невозможностью, - это удвоение куба и деление угла на три части . Как и возведение круга в квадрат, их нельзя решить методами циркуля и линейки. Однако, в отличие от квадрата круга, их можно решить с помощью немного более мощного метода построения оригами , как описано в математике складывания бумаги .
Невозможность
Решение задачи возведения круга в квадрат циркулем и линейкой требует построения числа √ π . Если √ π является конструктивен , то из стандартных конструкций , что π также будет конструктивна. В 1837 году Пьер Ванцель показал, что длины, которые можно построить с помощью циркуля и линейки, должны быть решениями некоторых полиномиальных уравнений с рациональными коэффициентами. [8] [9] Таким образом, конструктивные длины должны быть алгебраическими числами . Если бы проблему квадратуры круга можно было решить, используя только циркуль и линейку, то π должно было бы быть алгебраическим числом. Иоганн Генрих Ламберт предположил, что π не было алгебраическим, то есть трансцендентным числом , в 1761 году. [10] Он сделал это в той же статье, в которой доказал его иррациональность , даже до того, как было доказано общее существование трансцендентных чисел. Лишь в 1882 году Фердинанд фон Линдеманн доказал трансцендентность π и тем самым показал невозможность этой конструкции. [11]
Трансцендентность π подразумевает невозможность точно «обвести» квадрат, а также возвести круг в квадрат.
Можно построить квадрат с площадью, произвольно близкой к площади данного круга. Если рациональное число используется как приближение к π , то возведение круга в квадрат становится возможным, в зависимости от выбранных значений. Однако это только приближение и не соответствует ограничениям древних правил решения проблемы. Несколько математиков продемонстрировали работоспособные процедуры, основанные на различных приближениях.
Изменение правил путем введения дополнительного инструмента, позволяющего бесконечное количество операций с циркулем и линейкой или путем выполнения операций в определенных неевклидовых геометриях, также в некотором смысле делает возможным квадрат круга. Например, квадрат Гиппия дает возможность возвести круг в квадрат, а также разрезать произвольный угол пополам , как и спираль Архимеда . [12] Хотя круг не может быть возведен в квадрат в евклидовом пространстве , иногда он может быть в гиперболической геометрии при подходящей интерпретации терминов. [13] [14] Поскольку в гиперболической плоскости нет квадратов, их роль должны выполнять правильные четырехугольники , то есть четырехугольники, все стороны которых совпадают, а все углы совпадают (но эти углы строго меньше прямых углов). В гиперболической плоскости существует (счетно) бесконечно много пар конструктивных окружностей и конструктивных правильных четырехугольников равной площади, которые, однако, строятся одновременно. Не существует метода, чтобы начать с правильного четырехугольника и построить круг равной площади, и нет метода, чтобы начать с круга и построить правильный четырехугольник одинаковой площади (даже если круг имеет достаточно малый радиус, такой, что правильный четырехугольник равной площади).
Современные аппроксимационные построения
Хотя возведение круга в квадрат с идеальной точностью - невозможная проблема с использованием только циркуля и линейки, приближения к квадрату круга можно получить, построив длины, близкие к π . Требуется лишь минимальное знание элементарной геометрии, чтобы преобразовать любое данное рациональное приближение π в соответствующую конструкцию циркуля и линейки , но конструкции, сделанные таким образом, имеют тенденцию быть очень длинными по сравнению с точностью, которую они достигают. После того, как точная проблема оказалась неразрешимой, некоторые математики применили свою изобретательность, чтобы найти изящные аппроксимации квадрата круга, грубо и неформально определяемые как конструкции, которые особенно просты среди других мыслимых конструкций, дающих подобную точность.
Строительство Кочанского
Одним из ранних исторических приближений является приближение Кочанского, которое отличается от π только в пятом знаке после запятой. На момент открытия (1685 г.) он был очень точным. [15]
На левой диаграмме
Строительство Якоба де Гелдера
В 1849 году элегантная и простая конструкция Якоба де Гельдера (1765-1848) была опубликована в Архиве Грюнерта . Это было на 64 года раньше, чем аналогичное строительство Рамануджана. [16] Он основан на приближении
Это значение имеет точность до шести знаков после запятой и известно в Китае с 5 века как дробь Цзу Чунчжи , а в Европе - с 17 века.
Гелдер не строил сторону квадрата; ему было достаточно найти следующее значение
- .
На иллюстрации напротив - описанной ниже - показана конструкция Якоба де Гелдера с продолжением.
Проведите две взаимно перпендикулярные центральные линии окружности с радиусом CD = 1 и определите точки пересечения A и B. Проложите отрезок CE =зафиксировать и соединить E с A. Определить на AE и от A отрезок прямой AF =. Нарисуйте FG параллельно CD и соедините E с G. Нарисуйте FH параллельно EG , затем AH =Определите BJ = CB, а затем JK = AH . Разделите AK пополам в L и используйте теорему Фалеса вокруг L из A, в результате получится точка пересечения M. Отрезок BM является квадратным корнем из AK и, следовательно, длиной стороны искомого квадрата с почти такой же площадью.
Примеры, иллюстрирующие ошибки:
- В окружности радиуса r = 100 км погрешность длины стороны a ≈ 7,5 мм.
- В случае круга радиусом r = 1 м погрешность площади A ≈ 0,3 мм 2.
Строительство Hobson
Среди современных приближенных построений было одно построенное Э. У. Хобсоном в 1913 году. [16] Это было довольно точное построение, основанное на построении приблизительного значения 3,14164079 ..., которое с точностью до трех знаков после запятой (то есть отличается от π на о4,8 × 10 −5 ).
- «Мы считаем , что GH = т . 1 . 77246 ... и так = 1 . 77245 мы видим, что GH больше, чем сторона квадрата, площадь которого равна площади круга менее чем на двести тысячных радиуса ".
Хобсон не упоминает формулу приближения π в своей конструкции. На приведенной выше иллюстрации показана конструкция Хобсона с продолжением.
Постройки Рамануджана
Индийский математик Шриниваса Рамануджан в 1913 г., [17] [18] Карл Олдс в 1963 г., Мартин Гарднер в 1966 г. и Бенджамин Болд в 1982 г. - все они предложили геометрические конструкции для
что с точностью до шести десятичных знаков числа π .
В 1914 году Рамануджан дал конструкцию линейки и циркуля, которая была эквивалентна принятию приблизительного значения π равным
что дает восемь десятичных знаков числа π . [19] Он описывает свою конструкцию до отрезка OS следующим образом. [20]
«Пусть AB (рис. 2) - диаметр окружности с центром в O. Разделите дугу ACB пополам в точке C и разделите AO пополам в точке T. Соедините BC и отрежьте от нее CM и MN, равные AT. Соедините AM и AN и отрезанный от последнего AP, равный AM. Через P проведите PQ параллельно MN и встретите AM в Q. Присоединитесь к OQ, а через T проведите TR, параллельно OQ и встретив AQ в R. Нарисуйте AS перпендикулярно AO и равное AR, и присоединиться к ОС. Тогда среднее значение, пропорциональное ОС и ОВ, будет почти равным шестой части окружности, а ошибка будет меньше двенадцатой дюйма при длине диаметра 8000 миль ".
В этой квадратуре Рамануджан не построил длину стороны квадрата, ему было достаточно показать отрезок OS . В следующем продолжении построения линейный сегмент OS используется вместе с линейным сегментом OB для представления средних пропорциональных величин (красный линейный сегмент OE ).
Продолжение построения до желаемой длины стороны квадрата a:
Вытяните AB за пределы A и обогните точку O по дуге окружности b 1 с радиусом OS , в результате чего получится S '. Разделите пополам отрезок BS ' в D и проведите полукруг b 2 над D. Нарисуйте прямую линию от O через C до полукруга b 2 , она разрезает b 2 в E. Отрезок OE является средним, пропорциональным между OS' и OB , также называемое средним геометрическим . Вытяните линейный сегмент EO за пределы O и перенесите EO еще дважды, в результате получится F и A 1 , и, таким образом, длина линейного сегмента EA1 с вышеописанным значением аппроксимации π , половиной окружности круга. Разделите пополам отрезок EA 1 в G и проведите полукруг b 3 над G. Перенесите расстояние OB от A 1 на отрезок EA 1 , получится H. Создайте вертикаль от H до полукруга b 3 на EA 1 , это приводит к B 1 . Соедините A 1 с B 1 , таким образом, искомая сторона a квадрата A 1 B 1 C 1 D 1 будет иметь примерно такую же площадь, что и данный круг.
Примеры, иллюстрирующие ошибки:
- В круге радиусом r = 10 000 км погрешность длины стороны a ≈ −2,8 мм.
- В случае круга радиусом r = 10 м погрешность площади A ≈ −0,1 мм 2
Строительство с использованием золотого сечения
- В 1991 году Роберт Диксон построил для
- где это золотое сечение . [21] Три десятичных разряда равны таковым в π .
- Если радиус и сторона квадрата
- затем развернутая вторая формула показывает последовательность шагов для альтернативного построения (см. следующую иллюстрацию). Четыре десятичных знака равны таковым в √ π .
Возведение в квадрат или квадратура как интегрирование
Нахождение площади под кривой, известное как интегрирование в исчислении или квадратура в численном анализе , было известно как возведение в квадрат до изобретения математического анализа . Поскольку методы исчисления были неизвестны, обычно предполагалось, что возведение в квадрат следует производить с помощью геометрических построений, то есть с помощью циркуля и линейки. Например, Ньютон писал Ольденбургу в 1676 году: «Я полагаю, что М. Лейбниц не будет недолюбливать теорему в начале моего письма стр. 4 для геометрического возведения кривых в квадрат » (курсив мой ). [22] После того, как Ньютон и Лейбниц изобрели исчисление, они все еще называли эту проблему интегрирования квадратом кривой.
Утверждения квадрата круга
Связь с проблемой долготы
Математическое доказательство того, что квадратура круга невозможна с использованием только циркуля и линейки, не оказалось препятствием для многих людей, которые в любом случае потратили годы на решение этой проблемы. Квадрат круга - это известное утверждение чудака . ( См. Также псевдоматематику .) В преклонном возрасте английский философ Томас Гоббс убедил себя, что ему удалось возвести круг в квадрат, утверждение, которое было опровергнуто Джоном Уоллисом в рамках полемики между Гоббсом и Уоллисом . [23] [24]
В течение 18 и 19 веков представление о том, что проблема квадрата круга каким-то образом связана с проблемой долготы, по- видимому, стало преобладать среди потенциальных квадратов круга. В 1872 году Август де Морган, используя «циклометр» для определения квадрата круга, писал:
Говоря о Франции, Монтукла говорит, что он считает, что среди циклометров преобладают три понятия: 1. За успех предлагается большая награда; 2. Что проблема долготы зависит от этого успеха; 3. Решение - это великая цель и объект геометрии. Те же три понятия одинаково распространены среди одного и того же класса в Англии. Правительство ни одной страны никогда не предлагало никакой награды. [25]
Хотя с 1714 по 1828 год британское правительство действительно спонсировало приз в размере 20 000 фунтов стерлингов за решение проблемы долготы, неясно, почему именно была установлена связь с квадратом круга; тем более, что к концу 1760-х годов были открыты два негеометрических метода (астрономический метод определения расстояний до Луны и механический хронометр ). Де Морган продолжает, что «проблема долготы никоим образом не зависит от идеального решения; существующие приближения достаточны с точностью, намного превосходящей ту, которую можно было бы пожелать». В своей книге де Морган также упоминает получение множества писем с угрозами от потенциальных квадратов, обвиняющих его в попытке «обмануть их и лишить их приза».
Другие современные претензии
Даже после того, как это оказалось невозможным, в 1894 году математик-любитель Эдвин Дж. Гудвин заявил, что он разработал метод возведения круга в квадрат. Техника, которую он разработал, не позволяла точно квадрировать круг и обеспечивать неправильную площадь круга, которая по существу переопределяла число Пи как равное 3,2. Затем Гудвин предложил законопроект Индианы Пи в законодательный орган штата Индиана, позволяющий штату использовать его метод в образовании без выплаты ему гонораров. Законопроект прошел без возражений в государственной палате, но он был внесен на рассмотрение и никогда не голосовал в Сенате на фоне растущих насмешек со стороны прессы. [26]
Математический чудак Карл Теодор Хейзель также утверждал, что построил круг в квадрате в своей книге 1934 года «Смотри!: Большая проблема больше не остается нерешенной: квадрат круга не подлежит опровержению». [27] Пол Халмос назвал книгу «классической книгой о чудаках». [28]
В 1851 году Джон Паркер опубликовал книгу « Квадратура круга», в которой утверждал, что построил круг в квадрате. Его метод фактически произвел приближение π с точностью до шести цифр. [29] [30] [31]
В литературе
Проблема квадрата круга упоминалась такими поэтами, как Данте и Александр Поуп , с различными метафорическими значениями. Его литературное использование восходит к 414 году до нашей эры, когда впервые была поставлена пьеса Аристофана «Птицы » . В нем персонаж Метон Афинский упоминает квадрат круга, возможно, чтобы указать на парадоксальную природу своего утопического города. [32]
Рай Данте , песнь XXXIII, строки 133–135, содержат стихи:
Как геометр его ум применяет
К квадрату круга, и при всем своем остроумии не
находит правильную формулу, как бы он ни старался
Для Данте квадратура круга представляет собой задачу за пределами человеческого понимания, которую он сравнивает со своей собственной неспособностью постичь Рай. [33]
К 1742 году, когда Александр Поуп опубликовал четвертую книгу своей Дунциады , попытки возведения в квадрат круга стали рассматриваться как «дикие и бесплодные»: [30]
Один только Безумный Матесес был безудержным,
Слишком безумным для того, чтобы связать простые материальные цепи,
Теперь к чистому пространству поднимает ее восторженный взгляд,
Теперь, бегая по кругу, он находит его квадратным.
Точно так же в комической опере Гилберта и Салливана « Принцесса Ида» есть песня, в которой сатирически перечисляются невозможные цели женского университета, которым руководит главный герой, например, поиск вечного двигателя . Одна из этих целей - «А круг - квадрат возведут / В один прекрасный день». [34]
Сестина , поэтическая форма впервые использован в 12 - м века Арнаута Daniel , была сказана в квадрате круга в его использовании квадратного числа линий (шесть строф по шесть строк каждых) с круговой схемой шести повторяющихся слов. Спанос (1978) пишет, что эта форма вызывает символическое значение, в котором круг обозначает небо, а квадрат обозначает землю. [35] Подобная метафора была использована в рассказе О. Генри «В квадрате круга» 1908 года о давней семейной вражде. В названии этой истории круг представляет мир природы, а квадрат представляет город, мир людей. [36]
В более поздних работах круг-squarers , такие как Леопольд Блум в Джеймс Джойс «роман с Улисс и Lawyer Paravant в Томаса Манна » s Волшебная гора рассматривается как заблуждаются или как не от мира сего мечтателей, не зная о его математической невозможности и сделать грандиозные планы в результате они никогда не достигнут. [37] [38]
Смотрите также
- Для более современной связанной проблемы см. Проблема квадрата круга Тарского .
- Squircle представляет собой математическую форму со свойствами между теми , квадрата и те окружности.
Рекомендации
- ^ Аммер, Кристина. "Square the Circle. Dictionary.com. Словарь идиом American Heritage®" . Компания Houghton Mifflin . Проверено 16 апреля 2012 года .
- ^ О'Коннор, Джон Дж. И Робертсон, Эдмунд Ф. (2000). «Индийские сульбасутры» . Архив истории математики MacTutor . Сент-Эндрюсский университет.
- ^ Хит, Томас (1981). История греческой математики . Courier Dover Publications. ISBN 0-486-24074-6.
- ^ Грегори, Джеймс (1667). Vera Circuli et Hyperbolæ Quadratura… [ Истинное возведение круга и гиперболы… ]. Падуя: Джакомо Кадорино.Доступно в: ETH Bibliothek (Цюрих, Швейцария)
- ^ Кахори, Флориан (1919). История математики (2-е изд.). Нью-Йорк: Компания Macmillan. п. 143 .
- ^ Гарднер, Мартин (1996). Вселенная в платке . Springer. ISBN 0-387-94673-X.
- ^ Дадли, Андервуд (1987). Бюджет трисекций . Springer-Verlag. стр. xi – xii. ISBN 0-387-96568-8.Перепечатано как Трисектора .
- ^ Вантцель, Л. (1837). « Исследования на моих объектах рекогносцировки и проблемы геометрии, полученные с помощью линейки и компаса » [Исследования способов узнать, можно ли решить геометрическую задачу с помощью линейки и циркуля]. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (на французском языке). 2 : 366–372.
- ^ Кахори, Флориан (1918). "Пьер Лоран Ванцель" . Бык. Амер. Математика. Soc . 24 (7): 339–347. DOI : 10.1090 / s0002-9904-1918-03088-7 . Руководство по ремонту 1560082 .
- ^ Ламберт, Иоганн Генрих (1761). "Mémoire sur quelques propriétés remarquables des Quantités transcendentes circaires et logarithmiques" [Воспоминания о некоторых замечательных свойствах круговых трансцендентных и логарифмических величин]. Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin (на французском языке) (опубликовано в 1768 году). 17 : 265–322.
- ^ Линдеманн, Ф. (1882). «Über die Zahl π» [О числе π]. Mathematische Annalen (на немецком языке). 20 : 213–225. DOI : 10.1007 / bf01446522 . S2CID 120469397 .
- ^ Бойер, Карл Б .; Мерцбах, Ута К. (11 января 2011 г.). История математики . Джон Вили и сыновья. ISBN 978-0-470-52548-7. OCLC 839010064 .
- ^ Джаги, Уильям К. (1995). «Квадрат окружностей в гиперболической плоскости» (PDF) . Математический интеллигент . 17 (2): 31–36. DOI : 10.1007 / BF03024895 . S2CID 120481094 .
- ^ Гринберг, Марвин Джей (2008). Евклидовы и неевклидовы геометрии (Четвертое изд.). WH Freeman. С. 520–528. ISBN 978-0-7167-9948-1.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "Приближение Кочанского" . MathWorld .
- ^ а б Хобсон, Эрнест Уильям (1913). Квадрат круга: история проблемы . Издательство Кембриджского университета. стр. 34 -35.
- ^ Вольфрам, Стивен . "Кем был Рамануджан?" .См. Также КНИГУ 1 РУКОПИСЕЙ ШРИНИВАСА РАМАНУДЖАН, стр. 54. Оба файла были извлечены 23 июня 2016 г.
- ^ Кастелланос, Дарио (апрель 1988 г.). «Вездесущее π». Математический журнал . 61 (2): 67–98. DOI : 10.1080 / 0025570X.1988.11977350 . ISSN 0025-570X .
- ^ С. А. Рамануджан: Модульные уравнения и приближения к π В: Ежеквартальный журнал математики. 12. Еще одно любопытное приближение к π - это , 43 , (1914), S. 350–372. Перечислено в: Опубликованные работы Шриниваса Рамануджана
- ^ С. А. Рамануджан: Модульные уравнения и приближения к π В: Ежеквартальный журнал математики. 12. Еще одно любопытное приближение к π - это ... Рис. 2 , 44 , (1914), S. 350–372. Перечислено в: Опубликованные работы Шриниваса Рамануджана
- ^ Диксон, Роберт А. (1 января 1991 г.). Матография . Курьерская корпорация. ISBN 978-0-486-26639-8. OCLC 22505850 .
- ^ Котс, Роджер (1850). Переписка сэра Исаака Ньютона и профессора Котса: включая письма других выдающихся людей .
- ^ Бойд, Эндрю (2008). "ХОББС И УОЛЛИС" . Эпизод 2372 . Двигатели нашей изобретательности . Проверено 14 ноября 2020 года .
- ^ Птица, Александр (1996). «Квадрат круга: Гоббс о философии и геометрии» . Журнал истории идей . 57 (2): 217–231.
- ^ де Морган, Август (1872). Бюджет парадоксов . п. 96.
- ^ Numberphile (12 марта 2013 г.), Как Pi был почти изменен до 3,2 - Numberphile
- ^ Heisel, Карл Теодор (1934). Вот! : великая проблема квадрата круга без опровержения больше не остается нерешенной . Heisel.
- ^ Пол Р. Халмос (1970). «Как писать по математике» . L'Enseignement mathématique . 16 (2): 123–152.- PDF
- ^ Бекманн, Петр (2015). История Пи . Пресса Св. Мартина. п. 178. ISBN 9781466887169.
- ^ а б Шеплер, Герман К. (1950). «Хронология числа пи». Математический журнал . 23 (3): 165–170, 216–228, 279–283. DOI : 10.2307 / 3029284 . JSTOR 3029832 . Руководство по ремонту 0037596 .
- ^ Абелес, Франсин Ф. (1993). "Геометрический подход Чарльза Л. Доджсона к отношениям арктангенса для числа Пи" . Historia Mathematica . 20 (2): 151–159. DOI : 10.1006 / hmat.1993.1013 . Руководство по ремонту 1221681 .
- ^ Амати, Мэтью (2010). «Звездный город Метона: Геометрия и утопия в« Птицах Аристофана » ». Классический журнал . 105 (3): 213–222. DOI : 10,5184 / classicalj.105.3.213 . JSTOR 10.5184 / classicj.105.3.213 .
- ^ Herzman, Ronald B .; Тоусли, Гэри Б. (1994). «Квадрат круга: Paradiso 33 и поэтика геометрии». Traditio . 49 : 95–125. DOI : 10.1017 / S0362152900013015 . JSTOR 27831895 .
- ^ Долид, Уильям А. (1980). «Виви Уоррен и Трипо». Обзор Шоу . 23 (2): 52–56. JSTOR 40682600 .Dolid противопоставляет Виви Уоррен, вымышленный женский математики студента в профессии миссис Уоррен по Джордж Бернард Шоу , с сатирой женщин колледжа , представленных Гилберта и Салливана. Он пишет, что «Виви, естественно, знала, что не стоит пытаться квадратить круги».
- ^ Спанос, Маргарет (1978). «Сестина: исследование динамики поэтической структуры». Зеркало . 53 (3): 545–557. DOI : 10.2307 / 2855144 . JSTOR 2855144 .
- ^ Блум, Гарольд (1987). Американская литература двадцатого века . Издательство Chelsea House. п. 1848. ISBN. 9780877548034.
Точно так же повесть «В квадрате круга» пронизана интегрирующим образом: природа - круг, город - квадрат.
- ^ Пендрик, Джерард (1994). «Две заметки об« Улиссе » ». Джеймс Джойс Ежеквартально . 32 (1): 105–107. JSTOR 25473619 .
- ^ Гоггин, Джойс (1997). Большая сделка: Карточные игры в художественной литературе 20-го века (доктор философии). Монреальский университет. п. 196.
Внешние ссылки
- СМИ, связанные с квадратом круга на Викискладе?
- Квадрат круга в архиве истории математики MacTutor
- Квадрат круга при разрезании узла
- Квадрат круга в MathWorld , включает информацию о процедурах, основанных на различных приближениях числа пи
- « Квадрат круга » в « Конвергенции »
- Квадратура круга и Lunes Гиппократа в конвергенции
- Как развернуть круг Пи с точностью до восьми знаков после запятой, используя линейку и циркуль.
- «В квадрате круга и другие невозможности» , лекция Робина Уилсона , в Грешем-колледже , 16 января 2008 г. (доступна для скачивания в виде текстового, аудио- или видеофайла).
- Грайм, Джеймс. «В квадрате круга» . Numberphile . Брэди Харан .
- «2000 лет неразгаданности: почему невозможно удвоение кубов и квадратов кругов?» от Burkard Polster