Уравнение Шредингера - это линейное уравнение в частных производных, которое определяет волновую функцию квантово-механической системы. [1] : 1–2 Это ключевой результат квантовой механики , и его открытие стало важной вехой в развитии предмета. Уравнение названо в честь Эрвина Шредингера , который постулировал уравнение в 1925 году и опубликовал его в 1926 году, что легло в основу работы, которая привела к его Нобелевской премии по физике в 1933 году. [2] [3]
Концептуально уравнение Шредингера является квантовым аналогом второго закона Ньютона в классической механике . Учитывая набор известных начальных условий, второй закон Ньютона делает математическое предсказание относительно того, какой путь данная физическая система пойдет с течением времени. Уравнение Шредингера дает эволюцию волновой функции во времени, квантово-механическую характеристику изолированной физической системы. Уравнение может быть выведено из того факта, что оператор временной эволюции должен быть унитарным и, следовательно, должен быть порожден экспонентой самосопряженного оператора , который является квантовым гамильтонианом .
Уравнение Шредингера - не единственный способ изучать квантово-механические системы и делать прогнозы. Другие формулировки квантовой механики включают матричную механику , введенную Вернером Гейзенбергом , и формулировку интеграла по путям , разработанную главным образом Ричардом Фейнманом . Поль Дирак объединил матричную механику и уравнение Шредингера в единую формулировку. При сравнении этих подходов использование уравнения Шредингера иногда называют «волновой механикой».
Определение
Предварительные мероприятия
Вводные курсы по физике или химии обычно вводят уравнение Шредингера таким образом, чтобы его можно было оценить, зная только концепции и обозначения основного исчисления , особенно производные по пространству и времени. Частным случаем уравнения Шредингера, которое допускает формулировку в этих терминах, является уравнение Шредингера пространственного положения для одной нерелятивистской частицы в одном измерении:
Здесь, - волновая функция, функция, которая присваивает комплексное число каждой точке каждый раз . Параметр - масса частицы, а - потенциал , представляющий среду, в которой существует частица. Постоянная- мнимая единица , а- это приведенная постоянная Планка , имеющая единицы действия (энергия, умноженная на время).
Расширение за пределы этого простого случая, математически строгая формулировка квантовой механики , разработанный Полем Дираком , [4] Давид Гильберт , [5] Джон фон Неймана , [6] и Вейль [7] определяет состояние квантово - механической системы , чтобы быть векторпринадлежащему ( сепарабельному ) гильбертову пространству . Постулируется, что этот вектор нормализуется под внутренним произведением пространства Гильберта, то есть в нотации Дирака он подчиняется. Точная природа этого гильбертова пространства зависит от системы - например, для описания положения и импульса гильбертово пространство представляет собой пространство комплексных интегрируемых с квадратом функций., а гильбертово пространство для спина одиночного протона - это просто пространство двумерных комплексных векторов с обычным внутренним продуктом.
Интересующие физические величины - положение, импульс, энергия, спин - представлены «наблюдаемыми», которые являются эрмитовыми (точнее, самосопряженными ) линейными операторами, действующими в гильбертовом пространстве. Волновая функция может быть собственным вектором наблюдаемой, и в этом случае она называется собственным состоянием , а соответствующее собственное значение соответствует значению наблюдаемой в этом собственном состоянии. В более общем смысле квантовое состояние будет линейной комбинацией собственных состояний, известной как квантовая суперпозиция . Когда наблюдаемая измеряется, результатом будет одно из ее собственных значений с вероятностью, заданной правилом Борна : в простейшем случае собственное значение невырожден и вероятность дается выражением , где - связанный с ним собственный вектор. В более общем смысле, собственное значение вырождено, и вероятность дается выражением, где является проектором на соответствующее собственное подпространство. [примечание 1]
Собственное состояние импульса было бы идеально монохроматической волной бесконечной протяженности, которая не интегрируема с квадратом. Аналогичным образом, собственное состояние положения будет дельта-распределением Дирака , не интегрируемым с квадратом и технически вообще не функцией. Следовательно, ни один из них не может принадлежать гильбертову пространству частицы. Иногда физики вводят фиктивные «основы» для гильбертова пространства, состоящего из элементов вне этого пространства. Они придуманы для удобства вычислений и не отражают физические состояния. [8] : 100–105
Уравнение, зависящее от времени
Форма уравнения Шредингера зависит от физической ситуации. Самая общая форма - это нестационарное уравнение Шредингера, которое дает описание системы, развивающейся во времени: [9] : 143
где (греческая буква psi ) - вектор состояния квантовой системы, время, и является наблюдаемой, гамильтоновым оператором .
Термин «уравнение Шредингера» может относиться как к общему уравнению, так и к конкретной нерелятивистской версии. Общее уравнение действительно является довольно общим и используется во всей квантовой механике для всего, от уравнения Дирака до квантовой теории поля , путем включения различных выражений для гамильтониана. Конкретная нерелятивистская версия - это приближение, которое дает точные результаты во многих ситуациях, но только до определенной степени (см. Релятивистскую квантовую механику и релятивистскую квантовую теорию поля ).
Чтобы применить уравнение Шредингера, запишите гамильтониан для системы, учитывая кинетическую и потенциальную энергии частиц, составляющих систему, а затем вставьте его в уравнение Шредингера. Полученное уравнение в частных производных решается для волновой функции, которая содержит информацию о системе. На практике квадрат модуля волновой функции в каждой точке используется для определения функции плотности вероятности . Например, учитывая волновую функцию в пространстве позиций как и выше, у нас есть
Не зависящее от времени уравнение
Зависящее от времени уравнение Шредингера, описанное выше, предсказывает, что волновые функции могут образовывать стоячие волны , называемые стационарными состояниями . Эти состояния особенно важны, поскольку их индивидуальное изучение позже упрощает задачу решения нестационарного уравнения Шредингера для любого состояния. Стационарные состояния также можно описать более простой формой уравнения Шредингера, не зависящим от времени уравнением Шредингера.
где это энергия системы. Это используется только тогда, когда сам гамильтониан явно не зависит от времени. Однако даже в этом случае полная волновая функция по-прежнему зависит от времени. На языке линейной алгебры это уравнение является уравнением на собственные значения . Следовательно, волновая функция является собственной функцией оператора Гамильтона с соответствующим собственным значением (ями).
Характеристики
Линейность
Уравнение Шредингера является линейным дифференциальным уравнением , а это означает, что если две волновые функции ψ 1 и ψ 2 являются решениями, то любая их линейная комбинация - тоже :
где a и b - любые комплексные числа. [10] : 25 Более того, сумма может быть расширена для любого количества волновых функций. Это свойство позволяет суперпозициям квантовых состояний быть решениями уравнения Шредингера. В более общем смысле, общее решение уравнения Шредингера можно найти, взяв взвешенную сумму по базису состояний. Часто используется выбор, основанный на собственных состояниях энергии, которые являются решениями не зависящего от времени уравнения Шредингера. Например, рассмотрим волновую функцию Ψ ( x , t ) такую, что волновая функция является произведением двух функций: одной независимой от времени и одной зависящей от времени. Если состояния с определенной энергией, найденные с использованием не зависящего от времени уравнения Шредингера, задаются выражением ψ E ( x ) с амплитудой A n, а зависящий от времени фазовый коэффициент определяется выражением
то допустимое общее решение
Унитарность
Держа гамильтониан постоянной, уравнение Шредингера имеет решение
Оператор известен как оператор временной эволюции, и он унитарен : он сохраняет скалярное произведение между векторами в гильбертовом пространстве. [10] Унитарность - это общая черта эволюции во времени согласно уравнению Шредингера. Если начальное состояние, затем состояние в более позднее время будет предоставлено
для некоторого унитарного оператора . Аналогично предположим, что является непрерывным семейством унитарных операторов, параметризованных . Без потери общности , [11] параметризация может быть выбрана так , чтобы является тождественным оператором и что для любой . потом экспоненциально зависит от параметра , подразумевая
для некоторого самосопряженного оператора , называемый генератором семьи. Гамильтониан и есть такой генератор (с точностью до коэффициента постоянной Планка, который был бы установлен в 1 в натуральных единицах ).
Изменения основы
Уравнение Шредингера часто представляется с использованием величин, изменяющихся как функции положения, но как уравнение вектор-оператор оно имеет допустимое представление в любом произвольном полном базисе кетов в гильбертовом пространстве . Как упоминалось выше, «базисы», лежащие вне физического гильбертова пространства, также используются для расчетных целей. Это иллюстрируется уравнениями Шредингера в пространственном и импульсном пространстве для нерелятивистской бесспиновой частицы. [8] : 182 Гильбертово пространство для такой частицы - это пространство комплексных квадратично интегрируемых функций в трехмерном евклидовом пространстве, а его гамильтониан представляет собой сумму члена кинетической энергии, квадратичного по оператору импульса, и потенциала -энергетический срок:
Письмо для трехмерного вектора положения и для трехмерного вектора импульса уравнение Шредингера в пространстве позиций имеет вид
Аналог в импульсном пространстве включает преобразования Фурье волновой функции и потенциала:
Функции а также получены из от
где а также не принадлежат самому гильбертову пространству, но имеют четко определенные скалярные произведения со всеми элементами этого пространства.
При ограничении от трех измерений до одного, уравнение пространственного положения является лишь первой формой уравнения Шредингера, приведенного выше . Связь между положением и импульсом в квантовой механике можно оценить в одном измерении. При каноническом квантовании классические переменные а также повышаются до самосопряженных операторов а также которые удовлетворяют каноническому коммутационному соотношению
Отсюда следует, что [8] : 190
поэтому действие оператора импульса в пространственном представлении . Таким образом,становится второй производной , а в трех измерениях вторая производная становится лапласианом .
Каноническое коммутационное соотношение также означает, что операторы положения и импульса сопряжены друг другу по Фурье. Следовательно, функции, первоначально определенные в терминах их зависимости от положения, могут быть преобразованы в функции количества движения с помощью преобразования Фурье. В физике твердого тела уравнение Шредингера часто записывают для функций количества движения, поскольку теорема Блоха обеспечивает периодические пары потенциалов кристаллической решетки с участием только для дискретных векторов обратной решетки. Это делает его удобным для решения в импульсном пространстве уравнение Шредингера в каждой точке в зоне Бриллюэна независимо от других точек в зоне Бриллюэна.
Вероятность тока
Уравнение Шредингера согласуется с локальным сохранением вероятности . [8] : 238 Умножение уравнения Шредингера справа на комплексно сопряженную волновую функцию, умножение волновой функции слева от комплексно сопряженного уравнения Шредингера и вычитание дает уравнение неразрывности для вероятности:
где
- плотность вероятности (вероятность на единицу объема, * обозначает комплексно сопряженное ), и
- ток вероятности (расход на единицу площади).
Разделение переменных
Если гамильтониан не является явной функцией времени, уравнение можно разделить на произведение пространственной и временной частей. В общем случае волновая функция имеет вид:
где является функцией всех пространственных координат частицы (ей), составляющих только систему, и зависит только от времени. Подставляя это выражение вместов уравнение Шредингера и решение путем разделения переменных влечет за собой общее решение нестационарного уравнения, имеющего вид
Поскольку фазовый фактор, зависящий от времени, всегда один и тот же, в задачах, не зависящих от времени, необходимо решать только пространственную часть. Кроме того, оператор энергии Ĥ = iħ∂/∂ твсегда можно заменить собственным значением энергии E , и, таким образом, не зависящее от времени уравнение Шредингера является уравнением на собственные значения для гамильтонова оператора: [9] : 143ff
Это верно для любого числа частиц в любом количестве измерений (в не зависящем от времени потенциале). Этот случай описывает решения стоячей волны нестационарного уравнения, которые представляют собой состояния с определенной энергией (вместо распределения вероятностей с разными энергиями). В физике эти стоячие волны называются « стационарными состояниями » или « собственными состояниями энергии »; в химии их называют « атомными орбиталями » или « молекулярными орбиталями ». Суперпозиции собственных состояний энергии изменяют свои свойства в соответствии с относительными фазами между уровнями энергии. Собственные состояния энергии образуют основу: любую волновую функцию можно записать как сумму по дискретным состояниям энергии или интеграл по состояниям с непрерывной энергией, или, в более общем смысле, как интеграл по мере. Это спектральная теорема в математике, а в пространстве конечных состояний это просто утверждение полноты собственных векторов эрмитовой матрицы .
Разделение переменных также может быть полезным методом для не зависящего от времени уравнения Шредингера. Например, в зависимости от симметрии задачи декартовы оси могут быть разделены,
или можно разделить радиальные и угловые координаты :
Примеры
Частица в коробке
Частица в одномерном ящике потенциальной энергии является наиболее математически простым примером, в котором ограничения приводят к квантованию уровней энергии. Ящик определяется как имеющий нулевую потенциальную энергию внутри определенной области и бесконечную потенциальную энергию снаружи . [8] : 77–78 Для одномерного случая в направлении, не зависящее от времени уравнение Шредингера может быть записано
С дифференциальным оператором, определяемым формулой
предыдущее уравнение напоминает классический аналог кинетической энергии ,
с государством в этом случае имея энергию совпадает с кинетической энергией частицы.
Общие решения уравнения Шредингера для частицы в ящике следующие:
или, по формуле Эйлера ,
Бесконечные потенциальные стенки ящика определяют значения а также в а также где должно быть равно нулю. Таким образом, в,
а также . В,
в котором не может быть нулевым, поскольку это противоречило бы постулату о том, что имеет норму 1. Следовательно, поскольку , должно быть целым числом, кратным ,
Это ограничение на подразумевает ограничение на уровни энергии, в результате чего
Конечные потенциальная яма является обобщением бесконечной потенциальной проблемы скважины для потенциальных ям , имеющих конечную глубину. Проблема конечной потенциальной ямы математически более сложна, чем проблема бесконечных частиц в ящике, поскольку волновая функция не привязана к нулю на стенках ямы. Вместо этого волновая функция должна удовлетворять более сложным математическим граничным условиям, поскольку она отлична от нуля в областях за пределами скважины. Другая проблема связана с прямоугольным потенциальным барьером , который обеспечивает модель квантового туннельного эффекта, который играет важную роль в работе современных технологий, таких как флэш-память и сканирующая туннельная микроскопия .
Гармонический осциллятор
Уравнение Шредингера для этой ситуации имеет вид
где это смещение и угловая частота. Это пример квантово-механической системы, волновая функция которой может быть решена точно. Кроме того, он может быть использован , чтобы описать примерно широкий спектр других систем, в том числе вибрирующих атомов, молекул , [12] и атомов или ионов в решетках, [13] и другие потенциалы аппроксимации вблизи точек равновесия. Это также основа методов возмущений в квантовой механике.
Решения в позиционном пространстве:
где , а функции являются полиномами Эрмита порядка. Набор решений может быть сгенерирован
Собственные значения:
Дело называется основным состоянием , его энергия называется энергией нулевой точки , а волновая функция является гауссовой . [14]
Гармонический осциллятор, как частица в ящике, иллюстрирует общую особенность уравнения Шредингера, заключающуюся в дискретизации энергий связанных собственных состояний. [8] : 352
Атом водорода
Уравнение Шредингера для атома водорода (или водородоподобного атома) имеет следующий вид:
где - заряд электрона, - положение электрона относительно ядра, - величина относительного положения, потенциальный член обусловлен кулоновским взаимодействием , при этомявляется диэлектрическая проницаемость свободного пространства и
- это приведенная масса ядра водорода (просто протона ) с массой двух тел. и электрон массы . Отрицательный знак возникает в потенциальном члене, поскольку протон и электрон заряжены противоположно. Приведенная масса вместо массы электрона используется, поскольку электрон и протон вместе вращаются друг вокруг друга вокруг общего центра масс и представляют собой проблему двух тел, которую необходимо решить. Движение электрона представляет здесь принципиальный интерес, поэтому эквивалентная задача одного тела - это движение электрона с использованием приведенной массы.
Уравнение Шредингера для атома водорода может быть решено разделением переменных. [15] В этом случае наиболее удобны сферические полярные координаты . Таким образом,
где R - радиальные функции, аявляются сферические гармоники степени и заказать . Это единственный атом, для которого уравнение Шредингера решено точно. Многоэлектронные атомы требуют приближенных методов. Семейство решений: [16]
где:
- - радиус Бора ,
- - обобщенные многочлены Лагерра степени.
- - главное , азимутальное и магнитное квантовые числа соответственно, которые принимают значения:
Примерные решения
Обычно невозможно точно решить уравнение Шредингера для ситуаций, представляющих физический интерес. Соответственно, приближенные решения получаются с использованием таких методов, как вариационные методы и приближение ВКБ . Также принято рассматривать интересующую проблему как небольшую модификацию проблемы, которая может быть решена точно, - метод, известный как теория возмущений .
Полуклассический предел
Один простой способ сравнить классическую механику с квантовой - рассмотреть эволюцию во времени ожидаемого положения и ожидаемого импульса, которую затем можно сравнить с эволюцией во времени обычного положения и импульса в классической механике. [17] : 302 Квантовые математические ожидания удовлетворяют теореме Эренфеста . Для одномерной квантовой частицы, движущейся в потенциале, теорема Эренфеста гласит
Хотя первое из этих уравнений согласуется с классическим поведением, второе - нет: если пара если бы он удовлетворял второму закону Ньютона, правая часть второго уравнения должна была бы быть
что обычно не то же самое, что . Однако в случае квантового гармонического осциллятора является линейным, и это различие исчезает, так что в этом очень частном случае ожидаемое положение и ожидаемый импульс точно следуют классическим траекториям.
Для общих систем лучшее, на что мы можем надеяться, - это то, что ожидаемые положение и импульс будут приблизительно соответствовать классическим траекториям. Если волновая функция сильно сконцентрирована вокруг точки, тогда а также будет почти одинаковым, так как оба будут примерно равны. В этом случае ожидаемое положение и ожидаемый импульс будут оставаться очень близкими к классическим траекториям, по крайней мере, до тех пор, пока волновая функция остается сильно локализованной по положению.
Уравнение Шредингера в общем виде
тесно связано с уравнением Гамильтона – Якоби (HJE)
где классическое действие и- гамильтонова функция (не оператор). [17] : 308 Здесь обобщенные координаты для (используется в контексте HJE) может быть установлен в положение в декартовых координатах как .
Подстановка
где - плотность вероятности, в уравнение Шредингера и затем переходя к пределу в полученное уравнение дают уравнение Гамильтона – Якоби .
Матрицы плотности
Волновые функции не всегда являются наиболее удобным способом описания квантовых систем и их поведения. Когда подготовка системы известна лишь частично или когда исследуемая система является частью большего целого, вместо этого могут использоваться матрицы плотности . [17] : 74 Матрица плотности - это положительный полуопределенный оператор , след которого равен 1. (Термин «оператор плотности» также используется, особенно когда лежащее в основе гильбертово пространство бесконечномерно.) Множество всех плотностей матрица выпуклая , а крайние точки - это операторы, которые проецируются на векторы в гильбертовом пространстве. Это представления волновых функций в виде матрицы плотности; в обозначениях Дирака они записываются
Матричным аналогом уравнения Шредингера для волновых функций является [18] [19]
где скобки обозначают коммутатор . Это по-разному известно как уравнение фон Неймана, уравнение Лиувилля – фон Неймана или просто уравнение Шредингера для матриц плотности. [17] : 312 Если гамильтониан не зависит от времени, это уравнение можно легко решить и получить
В более общем смысле, если унитарный оператор описывает эволюцию волновой функции на некотором временном интервале, тогда временная эволюция матрицы плотности на том же интервале определяется выражением
Унитарная эволюция матрицы плотности сохраняет энтропию фон Неймана . [17] : 267
Релятивистская квантовая физика и квантовая теория поля
Квантовая теория поля (КТП) - это структура, которая позволяет комбинировать квантовую механику со специальной теорией относительности . Общая форма уравнения Шредингера также верна в КТП, как в релятивистских, так и в нерелятивистских ситуациях.
Уравнения Клейна – Гордона и Дирака.
Релятивистская квантовая механика получается там, где одновременно применяются квантовая механика и специальная теория относительности. В общем, кто-то хочет построить релятивистские волновые уравнения из релятивистского соотношения энергии-импульса.
вместо классических уравнений энергии. Уравнение Клейна-Гордона и уравнения Дирака два таких уравнения. Уравнение Клейна – Гордона,
- ,
было первым таким уравнением, которое было получено еще до нерелятивистского, и применимо к массивным бесспиновым частицам. Уравнение Дирака возникло из извлечения «квадратного корня» из уравнения Клейна – Гордона путем факторизации всего релятивистского волнового оператора в произведение двух операторов - один из них является оператором для всего уравнения Дирака. Полное уравнение Дирака:
Общая форма уравнения Шредингера остается верной в теории относительности, но гамильтониан менее очевиден. Например, гамильтониан Дирака для частицы массы m и электрического заряда q в электромагнитном поле (описываемом электромагнитными потенциалами φ и A ) имеет вид:
в котором γ = ( γ 1 , γ 2 , γ 3 ) и γ 0 - это гамма-матрицы Дирака, связанные со спином частицы. Уравнение Дирака верно для всех спин - 1 / 2 частиц, и решения уравнений являются 4-компонентными спинорными полями с двумя компонентами , соответствующих частицы и два другими для античастицы .
Для уравнения Клейна – Гордона общая форма уравнения Шредингера неудобна для использования, и на практике гамильтониан не выражается аналогично гамильтониану Дирака. Уравнения для релятивистских квантовых полей можно получить другими способами, например, исходя из плотности Лагранжа и используя уравнения Эйлера – Лагранжа для полей, или использовать теорию представлений группы Лоренца, в которой определенные представления могут использоваться для фиксации уравнения для свободной частицы данного спина (и массы).
В общем, гамильтониан, который нужно подставить в общее уравнение Шредингера, является функцией не только операторов положения и импульса (и, возможно, времени), но также и спиновых матриц. Кроме того, решения релятивистского волнового уравнения для массивной частицы со спином s представляют собой комплексные 2 (2 s + 1) -компонентные спинорные поля .
Фокское пространство
В первоначальной формулировке уравнение Дирака представляет собой уравнение для одной квантовой частицы, точно так же, как одночастичное уравнение Шредингера с волновой функцией . Это имеет ограниченное применение в релятивистской квантовой механике, где число частиц не фиксировано. Эвристически это усложнение может быть мотивировано тем, что эквивалентность массы и энергии подразумевает, что материальные частицы могут быть созданы из энергии. Обычный способ решить эту проблему в КТП - ввести гильбертово пространство, в котором базисные состояния помечены числом частиц, так называемое пространство Фока . Затем можно сформулировать уравнение Шредингера для квантовых состояний в этом гильбертовом пространстве. [20]
История
После Макса Планка квантование «сек света (см излучение черного тела ), Альберт Эйнштейн интерпретированы Планка квант быть фотоны , частицы света , и предположил , что энергия фотона пропорциональна его частоте , один из первых признаков волны –Частичная двойственность . Поскольку энергия и импульс связаны таким же образом, как частота и волновое число в специальной теории относительности , из этого следовало, что импульсфотона обратно пропорциональна его длине волны , или пропорционально его волновому числу :
где является постоянная Планка и- приведенная постоянная Планка. Луи де Бройль предположил, что это верно для всех частиц, даже для частиц с массой, например электронов. Он показал, что, предполагая, что волны материи распространяются вместе со своими частицами, электроны образуют стоячие волны , а это означает, что допустимы только определенные дискретные частоты вращения вокруг ядра атома. [21] Эти квантованные орбиты соответствуют дискретным уровням энергии , и де Бройль воспроизвел модельную формулу Бора для уровней энергии. Модель Бора основана на предполагаемом квантовании углового момента в соответствии с:
Согласно де Бройлю, электрон описывается волной, и целый ряд длин волн должен соответствовать окружности орбиты электрона:
Этот подход по существу ограничивал электронную волну в одном измерении по круговой орбите радиуса .
В 1921 году, до де Бройля, Артур Ланн из Чикагского университета использовал тот же аргумент, основанный на завершении релятивистского 4-вектора энергии-импульса, чтобы вывести то, что мы теперь называем соотношением де Бройля. [22] [23] В отличие от де Бройля, Ланн сформулировал дифференциальное уравнение, теперь известное как уравнение Шредингера, и решил найти его собственные значения энергии для атома водорода. К сожалению, статья была отклонена Physical Review , как рассказал Камен. [24]
Продолжая идеи де Бройля, физик Питер Дебай небрежно заметил, что, если частицы ведут себя как волны, они должны удовлетворять какому-то волновому уравнению. Вдохновленный замечанием Дебая, Шредингер решил найти правильное трехмерное волновое уравнение для электрона. Он руководствовался аналогией Уильяма Роуэна Гамильтона между механикой и оптикой , закодированной в наблюдении, что предел нулевой длины волны оптики напоминает механическую систему - траектории световых лучей становятся острыми следами, которые подчиняются принципу Ферма , аналогу принципа наименьшего действия . [25]
Он нашел уравнение: [26]
Однако, к тому времени, Арнольд Зоммерфельд был усовершенствовал модель Бора с релятивистскими поправками . [27] [28] Шредингер использовал релятивистское соотношение энергии-импульса, чтобы найти то, что теперь известно как уравнение Клейна – Гордона в кулоновском потенциале (в натуральных единицах ):
Он нашел стоячие волны этого релятивистского уравнения, но релятивистские поправки не соответствовали формуле Зоммерфельда. Обескураженный, он отложил свои расчеты и уединился с любовницей в горной хижине в декабре 1925 года [29].
Находясь в каюте, Шредингер решил, что его ранние нерелятивистские вычисления достаточно новы, чтобы их опубликовать, и решил оставить проблему релятивистских поправок на будущее. Несмотря на трудности с решением дифференциального уравнения для водорода (он обратился за помощью к своему другу, математику Герману Вейлю [30] : 3 ), Шредингер показал, что его нерелятивистская версия волнового уравнения дает правильные спектральные энергии водорода в статье, опубликованной в 1926. [30] : 1 [31] Шредингер вычислил водород спектральных серий путем обработки водорода атома «s электронов в виде волны, двигаясь в потенциальной яме , созданный протоном . Это вычисление точно воспроизвело энергетические уровни модели Бора . В своей статье сам Шредингер объяснил это уравнение следующим образом:
Уже ... упомянутая пси-функция ... теперь является средством прогнозирования вероятности результатов измерений. В нем воплощена мгновенно достигнутая сумма теоретически обоснованных будущих ожиданий, в некотором роде изложенная в каталоге.
- Эрвин Шредингер [32]
Уравнение Шредингера детализирует поведение но ничего не говорит о его природе . В четвертой статье Шредингер попытался интерпретировать его модуль в квадрате как плотность заряда, но ему это не удалось. [33] : 219 В 1926 году, всего через несколько дней после публикации этой статьи, Макс Борн успешно интерпретировалкак амплитуда вероятности , квадрат модуля которой равен плотности вероятности . [33] : 220
Интерпретация
Уравнение Шредингера позволяет вычислить волновую функцию системы и ее динамическое изменение во времени. Однако уравнение Шредингера прямо не говорит, что такое волновая функция. Смысл уравнения Шредингера и то, как математические сущности в нем соотносятся с физической реальностью, зависит от принятой интерпретации квантовой механики .
В представлениях, часто объединяемых в копенгагенскую интерпретацию , волновая функция системы - это набор статистической информации об этой системе. Уравнение Шредингера связывает информацию о системе в один момент с информацией о ней в другой. Хотя процесс эволюции во времени, представленный уравнением Шредингера, является непрерывным и детерминированным, поскольку знание волновой функции в один момент в принципе достаточно для ее расчета для всех будущих времен, волновые функции также могут изменяться скачкообразно и стохастически во время измерения . Согласно этой точке зрения, волновая функция изменяется, потому что доступна новая информация. Волновая функция после измерения обычно не может быть известна до измерения, но вероятности для различных возможностей могут быть рассчитаны с использованием правила Борна . [17] [34] [примечание 2] Другие, более поздние интерпретации квантовой механики, такие как реляционная квантовая механика и QBism, также придают уравнению Шредингера статус такого рода. [37] [38]
Сам Шредингер предположил в 1952 году, что различные члены суперпозиции, развивающиеся в соответствии с уравнением Шредингера, «не являются альтернативами, но все действительно происходят одновременно». Это было интерпретировано как ранняя версия многомировой интерпретации Эверетта . [39] [40] Эта интерпретация, независимо сформулированная в 1956 году, утверждает, что все возможности, описываемые квантовой теорией, одновременно возникают в мультивселенной, состоящей в основном из независимых параллельных вселенных. [41] Эта интерпретация устраняет аксиому коллапса волновой функции, оставляя только непрерывную эволюцию в рамках уравнения Шредингера, и поэтому все возможные состояния измеряемой системы и измерительного прибора вместе с наблюдателем присутствуют в реальной физической квантовой суперпозиции . Хотя мультивселенная детерминирована, мы воспринимаем недетерминированное поведение, управляемое вероятностями, потому что мы наблюдаем не мультивселенную в целом, а только одну параллельную вселенную за раз. Как именно это должно работать, было предметом множества споров. Почему мы вообще должны приписывать вероятности исходам, которые обязательно произойдут в некоторых мирах, и почему вероятности должны определяться правилом Борна? [42] Было предложено несколько способов ответить на эти вопросы в рамках теории многих миров, но нет единого мнения о том, успешны ли они. [43] [44] [45]
Бомовская механика переформулирует квантовую механику, чтобы сделать ее детерминированной, но ценой явной нелокальности (цена, которую требует теорема Белла ). Он приписывает каждой физической системе не только волновую функцию, но, кроме того, реальное положение, которое детерминированно изменяется в соответствии с нелокальным управляющим уравнением. Эволюция физической системы всегда задается уравнением Шредингера вместе с управляющим уравнением. [46]
Смотрите также
- Постоянная Планка
- Уравнение Экхауза
- Уравнение Фоккера – Планка.
- Дробное уравнение Шредингера
- Список квантово-механических систем с аналитическими решениями
- Список вещей, названных в честь Эрвина Шредингера
- Логарифмическое уравнение Шредингера
- Нелинейное уравнение Шредингера.
- Квантовый канал
- Связь между уравнением Шредингера и формулировкой интеграла по путям квантовой механики
- Картина Шредингера
- Распределение квазивероятностей Вигнера
Заметки
- ^ Это правило получения вероятностей из вектора состояния подразумевает, что векторы, которые отличаются только общей фазой, физически эквивалентны; а также представляют те же квантовые состояния. Другими словами, возможные состояния - это точки в проективном пространстве гильбертова пространства, обычно называемом комплексным проективным пространством .
- ^ Одна из трудностей при обсуждении философской позиции «Копенгагенской интерпретации» состоит в том, что не существует единого авторитетного источника, который бы устанавливал, что такое интерпретация. Еще одна сложность состоит в том, что философские основы, знакомые Эйнштейну, Бору, Гейзенбергу и современникам, гораздо меньше подходят физикам и даже философам физики более позднего времени. [35] [36]
Рекомендации
- ^ Гриффитс, Дэвид Дж. (2004). Введение в квантовую механику (2-е изд.) . Прентис Холл. ISBN 978-0-13-111892-8.
- ^ «Дудл физика Эрвина Шредингера в Google отмечает работу в области квантовой механики» . Хранитель . 13 августа 2013 . Проверено 25 августа 2013 года .
- ^ Шредингер, Э. (1926). "Волнообразная теория механики атомов и молекул" (PDF) . Физический обзор . 28 (6): 1049–1070. Bibcode : 1926PhRv ... 28.1049S . DOI : 10.1103 / PhysRev.28.1049 . Архивировано из оригинального (PDF) 17 декабря 2008 года.
- ^ Дирак, Поль Адриан Морис (1930). Принципы квантовой механики . Оксфорд: Clarendon Press.
- ^ Гильберт, Дэвид (2009). Зауэр, Тилман; Майер, Ульрих (ред.). Лекции по основам физики 1915–1927: теория относительности, квантовая теория и эпистемология . Springer. DOI : 10.1007 / b12915 . ISBN 978-3-540-20606-4. OCLC 463777694 .
- ^ фон Нейман, Джон (1932). Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik . Берлин: Springer. Английский перевод: Математические основы квантовой механики . Перевод Бейера, Роберта Т. Принстонского университета. 1955 г.
- ^ Вейль, Герман (1950) [1931]. Теория групп и квантовая механика . Перевод Робертсона, HP Dover. ISBN 978-0-486-60269-1. Переведено с немецкого Gruppentheorie und Quantenmechanik (2-е изд.). С. Хирцель Верлаг . 1931 г.
- ^ а б в г д е Коэн-Таннуджи, Клод ; Диу, Бернард; Лалоэ, Франк (2005). Квантовая механика . Перевод Хемли, Сьюзан Рид; Островский, Николь; Островский, Дан. Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-16433-X.
- ^ а б Шанкар Р. (1994). Принципы квантовой механики (2-е изд.). Kluwer Academic / Plenum Publishers. ISBN 978-0-306-44790-7.
- ^ а б Риффель, Элеонора Г .; Полак, Вольфганг Х. (4 марта 2011 г.). Квантовые вычисления: мягкое введение . MIT Press. ISBN 978-0-262-01506-6.
- ^ Яффе, Лоуренс Г. (2015). «Глава 6: Симметрии» (PDF) . Физика 226: Частицы и симметрии . Проверено 1 января 2021 года .
- ^ Аткинс, PW (1978). Физическая химия . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-855148-7.
- ^ Крюк, младший; Холл, HE (2010). Физика твердого тела . Манчестерская серия физики (2-е изд.). Джон Вили и сыновья. ISBN 978-0-471-92804-1.
- ^ Таунсенд, Джон С. (2012). «Глава 7: Одномерный гармонический осциллятор». Современный подход к квантовой механике . Книги университетских наук. стр. 247–250, 254–5, 257, 272. ISBN 978-1-891389-78-8.
- ^ Типлер, Пенсильвания; Моска, Г. (2008). Физика для ученых и инженеров - с современной физикой (6-е изд.). Фримен. ISBN 0-7167-8964-7.
- ^ Гриффитс, Дэвид Дж. (2008). Введение в элементарные частицы . Wiley-VCH. С. 162–. ISBN 978-3-527-40601-2. Проверено 27 июня 2011 года .
- ^ а б в г д е Перес, Ашер (1993). Квантовая теория: концепции и методы . Kluwer . ISBN 0-7923-2549-4. OCLC 28854083 .
- ^ Брейер, Хайнц; Петруччоне, Франческо (2002). Теория открытых квантовых систем . п. 110. ISBN 978-0-19-852063-4.
- ^ Швабль, Франц (2002). Статистическая механика . п. 16. ISBN 978-3-540-43163-3.
- ^ Коулман, Сидней (8 ноября 2018 г.). Дербес, Дэвид; Тинг, Юань-сен; Чен, Брайан Гин-ге; Сон, Ричард; Гриффитс, Дэвид; Хилл, Брайан (ред.). Лекции Сидни Коулмана по квантовой теории поля . Мировое научное издательство. ISBN 978-9-814-63253-9. OCLC 1057736838 .
- ^ де Бройль, Л. (1925). "Исследования по теории квантов" [По теории квантов ] (PDF) . Annales de Physique . 10 (3): 22–128. Полномочный код : 1925AnPh ... 10 ... 22D . DOI : 10.1051 / anphys / 192510030022 . Архивировано из оригинального (PDF) 9 мая 2009 года.
- ^ Вайсман, МБ; В. В. Илиев; И. Гутман (2008). «Вспомнили пионера: биографические заметки об Артуре Константе Ланне». Сообщения по математической и компьютерной химии . 59 (3): 687–708.
- ^ Сэмюэл И. Вайсман; Майкл Вайсман (1997). «Обман Алана Сокала и теория квантовой механики А. Луна». Физика сегодня . 50, 6 (6): 15. Bibcode : 1997PhT .... 50f..15W . DOI : 10.1063 / 1.881789 .
- ^ Камен, Мартин Д. (1985). Сияющая наука, темная политика . Беркли и Лос-Анджелес, Калифорния: Калифорнийский университет Press. С. 29–32 . ISBN 978-0-520-04929-1.
- ^ Шредингер, Э. (1984). Сборник статей . Friedrich Vieweg und Sohn. ISBN 978-3-7001-0573-2. См. Введение к первой статье 1926 г.
- ^ Лернер, Р.Г .; Тригг, GL (1991). Энциклопедия физики (2-е изд.). Издатели СКЗ. ISBN 0-89573-752-3.
- ^ Зоммерфельд, А. (1919). Atombau und Spektrallinien . Брауншвейг: Friedrich Vieweg und Sohn. ISBN 978-3-87144-484-5.
- ^ Для английского источника см. Хаар, Т. (1967). «Старая квантовая теория» . Цитировать журнал требует
|journal=
( помощь ) - ^ Терези, Дик (7 января 1990). «Одинокий рейнджер квантовой механики» . Нью-Йорк Таймс . ISSN 0362-4331 . Дата обращения 13 октября 2020 .
- ^ а б Шредингер, Эрвин (1982). Сборник статей по волновой механике (3-е изд.). Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-3524-1.
- ^ Шредингер, Э. (1926). "Quantisierung als Eigenwertproblem; фон Эрвин Шредингер" . Annalen der Physik . 384 (4): 361–377. Bibcode : 1926AnP ... 384..361S . DOI : 10.1002 / andp.19263840404 .
- ^ Эрвин Шредингер, "Текущая ситуация в квантовой механике", стр. 9 из 22. Английскую версию перевел Джон Д. Триммер. Впервые перевод появился в Proceedings of the American Philosophical Society , 124, 323–38. Позже он появился как Раздел I.11 Части I Квантовой теории и измерений Дж. А. Уиллера и У. Зурека, редакторов, Princeton University Press, Нью-Джерси, 1983.
- ^ а б Мур, WJ (1992). Шредингер: жизнь и мысль . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-43767-7.
- ^ Омнес, Р. (1994). Интерпретация квантовой механики . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-03669-4. OCLC 439453957 .
- ^ Фэй, янв (2019). «Копенгагенская интерпретация квантовой механики» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета.
- ^ Шевалле, Кэтрин (1999). «Почему мы находим Бора непонятным?». В Гринбергере, Дэниел; Reiter, Wolfgang L .; Цайлингер, Антон (ред.). Эпистемологические и экспериментальные перспективы квантовой физики . Springer Science + Business Media. С. 59–74. DOI : 10.1007 / 978-94-017-1454-9 . ISBN 978-9-04815-354-1.
- ^ ван Фраассен, Бас К. (апрель 2010 г.). «Мир Ровелли» . Основы физики . 40 (4): 390–417. DOI : 10.1007 / s10701-009-9326-5 . ISSN 0015-9018 .
- ^ Хили, Ричард (2016). «Квантово-байесовские и прагматические взгляды на квантовую теорию» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета.
- ^ Дойч, Дэвид (2010). «Помимо вселенных». В С. Сондерсе; Дж. Барретт; А. Кент; Д. Уоллес (ред.). Множество миров? Эверетт, Квантовая теория и реальность . Издательство Оксфордского университета.
- ^ Шредингер, Эрвин (1996). Bitbol, Мишель (ред.). Интерпретация квантовой механики: Дублинские семинары (1949–1955) и другие неопубликованные очерки . OxBow Press.
- ^ Барретт, Джеффри (2018). "Формулировка относительного состояния квантовой механики Эверетта" . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета.
- ^ Уоллес, Дэвид (2003). «Эвереттовская рациональность: защита подхода Дойча к вероятности в интерпретации Эверетта». Stud. Hist. Фил. Мод. Phys . 34 (3): 415–438. arXiv : квант-ph / 0303050 . Bibcode : 2003SHPMP..34..415W . DOI : 10.1016 / S1355-2198 (03) 00036-4 . S2CID 1921913 .
- ^ Баллентин, Л. Е. (1973). «Можно ли вывести статистический постулат квантовой теории? - Критика интерпретации множества вселенных». Основы физики . 3 (2): 229–240. DOI : 10.1007 / BF00708440 . S2CID 121747282 .
- ^ Ландсман, Н.П. (2008). «Правило Борна и его интерпретация» (PDF) . In Weinert, F .; Hentschel, K .; Greenberger, D .; Фалькенбург, Б. (ред.). Сборник квантовой физики . Springer. ISBN 3-540-70622-4.
Похоже, что вывод состоит в том, что до сих пор не было дано общепринятого вывода правила Борна, но это не означает, что такой вывод невозможен в принципе.
- ^ Кент, Адриан (2010). «Один мир против многих: неадекватность эвереттианских представлений об эволюции, вероятности и научном подтверждении». В С. Сондерсе; Дж. Барретт; А. Кент; Д. Уоллес (ред.). Множество миров? Эверетт, Квантовая теория и реальность . Издательство Оксфордского университета. arXiv : 0905.0624 . Bibcode : 2009arXiv0905.0624K .
- ^ Гольдштейн, Шелдон (2017). «Бомовская механика» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета.
Внешние ссылки
- «Уравнение Шредингера» . Энциклопедия математики . EMS Press . 2001 [1994].
- Квантовая поваренная книга и PHYS 201: основы физики II , Рамамурти Шанкар , Yale OpenCourseware
- Современная революция в физике - онлайн-учебник.
- Квантовая физика I в MIT OpenCourseWare