Двухчастичные уравнения Дирака

Квантовая теория поля
Диаграмма Фейнмана
История
Задний план Эффект Казимира Космическая струна Теория поля Электромагнетизм Слабая сила Сильная сила Четвертичное взаимодействие Квантовая механика Специальная теория относительности Общая теория относительности Калибровочная теория
Симметрии Симметрия в квантовой механике C-симметрия P-симметрия Т-симметрия Симметрия переноса пространства Симметрия перевода времени Симметрия вращения Симметрия Лоренца Симметрия Пуанкаре Калибровочная симметрия Явное нарушение симметрии Спонтанное нарушение симметрии Теория Янга – Миллса Нётер заряд Топологический заряд
Инструменты Аномалия Переход Эффективная теория поля Ценность ожидания Призрачные поля Призраки Фаддеева – Попова Диаграмма Фейнмана Решеточная калибровочная теория Формула восстановления LSZ Функция разделения Пропагатор Квантование Регуляризация Перенормировка Состояние вакуума Теорема Вика Аксиомы Вайтмана Параметризация Фейнмана
Уравнения Уравнение Дирака Уравнение Клейна – Гордона Уравнения Прока Уравнение Уиллера – ДеВитта Уравнения Баргмана – Вигнера Уравнение Джооса – Вайнберга Уравнение Вейля
Стандартная модель Квантовое вакуумное состояние Квантовая динамика Квантовая термодинамика Квантовая электродинамика Электрослабое взаимодействие Квантовая хромодинамика Механизм Хиггса Виртуальная частица
Неполные теории Причинная динамическая триангуляция Причинные фермионные системы Причинные множества Конформная теория поля Теория Черна – Саймонса Море Дирака Ложный вакуум Калибровочная теория Теория калибровочной гравитации Калибровочная теория гравитации Теория возмущений 6D (2,0) суперконформная теория поля Двумерная конформная теория поля Квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени Теория теплового квантового поля Топологическая квантовая теория поля Локальная квантовая теория поля Теория поля Лиувилля Некоммутативная квантовая теория поля Квантовая геометрия Теория рассеяния Полуклассическая гравитация Отжим пена Струнная теория Теория суперструн М-Теория Суперсимметрия Супергравитация Разноцветный Теория всего Каноническая квантовая гравитация Квантовая космология Квантовая пена Квантовая флуктуация Квантовая гравитация Локальная квантовая теория поля Петлевая квантовая гравитация Петлевая квантовая космология Релятивистская квантовая теория поля Теория скрытых переменных Теория объективного коллапса Теория Янга – Миллса
Ученые Адлер Андерсон Быть Боголюбов Коулман Каллан ДеВитт Дирак Дайсон Ферми Фейнман Фирц Фок Fröhlich Гелл-Манн Голдстоун Валовой Гейзенберг 'т Хофт Джеки Иордания Ландо Ли Lehmann Мандельштам Майорана Намбу Паризи Поляков Салам Швингер Skyrme Штюкельберг Симанзик Томонага Вельтман Вайнберг Weisskopf Weyl Вильчек Уилсон Виттен Ян Юкава Циммерманн Зинн-Джастин
v т е

В квантовой теории поля и в важных подполях квантовой электродинамики (КЭД) и квантовой хромодинамики (КХД) двухчастичные уравнения Дирака (TBDE) динамики связей обеспечивают трехмерную, но явно ковариантную переформулировку уравнения Бете – Солпитера. ^[1] для двух частиц со спином 1/2 . Такая переформулировка необходима, поскольку без нее, как показал Наканиши, ^[2]уравнение Бете – Солпитера имеет решения с отрицательной нормой, возникающие из-за наличия существенно релятивистской степени свободы - относительного времени. Эти «призрачные» состояния испортили наивную интерпретацию уравнения Бете – Солпитера как квантово-механического волнового уравнения. Двухчастичные уравнения Дирака динамики связей исправляют этот недостаток. Формы этих уравнений могут быть выведены не только из квантовой теории поля ^{[3] [4],} они также могут быть получены исключительно в контексте динамики связей Дирака ^{[5] [6]} и релятивистской механики и квантовой механики. ^{[7] [8] [9] [10]} Их структуры, в отличие от более знакомого двухчастичного уравнения Дирака Брейта ,^{[11] [12] [13],} которое является одним уравнением, являются уравнением двух одновременных квантовых релятивистских волновых уравнений .Одно двухчастичноеуравнение Дирака, подобное уравнению Брейта, может быть получено из TBDE. ^[14] В отличие от уравнения Брейта, оно явно ковариантно и свободно от типов особенностей, которые мешают строго непертурбативной трактовке уравнения Брейта. ^[15]

В приложениях TBDE к QED, две частицы взаимодействуют посредством четырех-векторных потенциалов, полученных из теоретико-полевых электромагнитных взаимодействий между двумя частицами. В приложениях к КХД две частицы взаимодействуют посредством четырехвекторных потенциалов и лоренц-инвариантных скалярных взаимодействий, частично вытекающих из теоретико-полевых хромомагнитных взаимодействий между кварками и частично из феноменологических соображений. Как и в случае с уравнением Брейта, используется шестнадцатикомпонентный спинор .

Уравнения [ править ]

Для КЭД каждое уравнение имеет ту же структуру, что и обычное однотельное уравнение Дирака в присутствии внешнего электромагнитного поля , задаваемого 4-потенциалом . Для КХД каждое уравнение имеет ту же структуру, что и обычное однотельное уравнение Дирака в присутствии внешнего поля, подобного электромагнитному полю, и дополнительного внешнего поля, задаваемого в терминах инвариантного лоренц- скаляра . В натуральных единицах : ^[16] эти уравнения двух тел имеют вид.${\ displaystyle A _ {\ mu}}$${\ displaystyle S}$

${\ displaystyle [(\ gamma _ {1}) _ {\ mu} (p_ {1} - {\ tilde {A}} _ {1}) ^ {\ mu} + m_ {1} + {\ tilde { S}} _ {1}] \ Psi = 0,}$

${\ displaystyle [(\ gamma _ {2}) _ {\ mu} (p_ {2} - {\ tilde {A}} _ {2}) ^ {\ mu} + m_ {2} + {\ tilde { S}} _ {2}] \ Psi = 0.}$

где в координатном пространстве p ^μ - это 4-импульс , связанный с 4-градиентом соотношением ( здесь используется метрика )${\displaystyle \eta _{\mu \nu }=(-1,1,1,1)}$

${\displaystyle p^{\mu }=-i{\partial \over \partial x_{\mu }}}$

γ ^μ - гамма-матрицы . Двухчастичные уравнения Дирака (TBDE) обладают тем свойством, что если одна из масс становится очень большой, скажем, тогда 16-компонентное уравнение Дирака сводится к четырехкомпонентному однокомпонентному уравнению Дирака для частицы 1 во внешнем потенциале.${\displaystyle m_{2}\rightarrow \infty }$

В единицах СИ :

${\displaystyle [(\gamma _{1})_{\mu }(p_{1}-{\tilde {A}}_{1})^{\mu }+m_{1}c+{\tilde {S}}_{1}]\Psi =0,}$

${\displaystyle [(\gamma _{2})_{\mu }(p_{2}-{\tilde {A}}_{2})^{\mu }+m_{2}c+{\tilde {S}}_{2}]\Psi =0.}$

где c - скорость света, а

${\displaystyle p^{\mu }=-i\hbar {\partial \over \partial x_{\mu }}}$

Ниже будут использоваться натуральные единицы. Символ тильды используется над двумя наборами потенциалов, чтобы указать, что они могут иметь дополнительные зависимости гамма-матрицы, отсутствующие в одночастичном уравнении Дирака. Любые константы связи, такие как заряд электрона , воплощены в векторных потенциалах.

Динамика ограничений и TBDE [ править ]

Динамика ограничений, применяемая к TBDE, требует особой формы математической согласованности: два оператора Дирака должны коммутировать друг с другом. Это правдоподобно, если рассматривать два уравнения как два совместимых ограничения на волновую функцию. (См. Обсуждение динамики ограничений ниже.) Если два оператора не коммутируют (как, например, с операторами координаты и импульса ), то ограничения не будут совместимы (например, нельзя иметь волновую функцию, удовлетворяющую обоим параметрам). и ). Эта математическая согласованность или совместимость приводит к трем важным свойствам TBDE. Первое - это условие, которое устраняет зависимость от относительного времени в системе координат центра импульса (см), определяемую формулой . (Переменная${\displaystyle x,p}$${\displaystyle x\Psi =0}$${\displaystyle p\Psi =0}$${\displaystyle P=p_{1}+p_{2}=(w,{\vec {0}})}$${\displaystyle w}$- полная энергия в системе координат в сантиметрах). Другими словами, относительное время исключается ковариантным способом. В частности, для коммутации двух операторов скалярный и четырехвекторный потенциалы могут зависеть от относительной координаты только через ее компонент, ортогональный к которой${\displaystyle x=x_{1}-x_{2}}$${\displaystyle x_{\perp }}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle x_{\perp }^{\mu }=(\eta ^{\mu \nu }-P^{\mu }P^{\nu }/P^{2})x_{\nu },\,}$

${\displaystyle P_{\mu }x_{\perp }^{\mu }=0.\,}$

Это означает, что в кадре cm , который имеет нулевую временную составляющую.${\displaystyle x_{\perp }=(0,{\vec {x}}={\vec {x}}_{1}-{\vec {x}}_{2})}$

Во-вторых, условие математической согласованности также исключает относительную энергию в сантиметровом кадре . Это достигается путем наложения на каждый оператор Дирака такой структуры, что в определенной комбинации они приводят к этой независимой от взаимодействия форме, исключая ковариантным образом относительную энергию.

${\displaystyle P\cdot p\Psi =(-P^{0}p^{0}+{\vec {P}}\cdot p)\Psi =0.\,}$

В этом выражении - относительный импульс, имеющий форму для равных масс. Таким образом, в системе координат cm ( ) временная составляющая относительного импульса, то есть относительная энергия, исключена. в том смысле, что .${\displaystyle p}$${\displaystyle (p_{1}-p_{2})/2}$${\displaystyle P^{0}=w,{\vec {P}}={\vec {0}}}$${\displaystyle p^{0}}$${\displaystyle p^{0}\Psi =0}$

Третье следствие математической согласованности состоит в том, что каждый из мировых скалярных и четырех векторных потенциалов имеет член с фиксированной зависимостью от и в дополнение к гамма-матрице, независимые формы и, которые появляются в обычном однокомпонентном уравнении Дирака для скалярной векторные потенциалы. Эти дополнительные члены соответствуют дополнительной спиновой зависимости отдачи, отсутствующей в одночастичном уравнении Дирака, и исчезают, когда одна из частиц становится очень тяжелой (так называемый статический предел).${\displaystyle {\tilde {S}}_{i}}$${\displaystyle {\tilde {A}}_{i}^{\mu }}$${\displaystyle \gamma _{1}}$${\displaystyle \gamma _{2}}$${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle A_{i}^{\mu }}$

Подробнее о динамике ограничений: обобщенные ограничения массовой оболочки [ править ]

Динамика ограничений возникла из работ Дирака ^[6] и Бергманна. ^{[17] В} этом разделе показано, как исключение относительного времени и энергии происходит в системе cm для простой системы двух релятивистских бесспиновых частиц. Ограниченная динамика была впервые применена к классической релятивистской системе двух частиц Тодоровым ^{[18] [19]} Калбом и Ван Альстайном ^{[20] [21]} Комаром ^{[22] [23]} и Дроз-Винсентом. ^[24] Используя динамику ограничений, эти авторы нашли последовательный и ковариантный подход к релятивистской канонической гамильтоновой механике, который также уклоняется от теоремы Карри-Джордана-Сударшана «Нет взаимодействия». ^{[25] [26]} Эта теорема утверждает, что без полей не может быть релятивистской гамильтоновой динамики . Таким образом, тот же самый ковариантный трехмерный подход, который позволяет квантованной версии динамики ограничений удалять квантовые призраки, одновременно обходит на классическом уровне теорему CJS. Рассмотрим ограничение на четыре независимых вектора координат и импульса, записанное в форме . Этот символ называется слабым равенством и означает, что ограничение должно быть наложено только после выполнения любых необходимых скобок Пуассона . При наличии таких ограничений полный гамильтониан получается из лагранжиана добавлением к${\displaystyle \phi _{i}(p,x)\approx 0}$${\displaystyle \approx 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$Гамильтониан Лежандра - сумма ограничений, умноженная на соответствующий набор множителей Лагранжа .${\displaystyle (p{\dot {x}}-{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle (\lambda _{i})}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}=p{\dot {x}}-{\mathcal {L}}+\lambda _{i}\phi _{i}}$,

Этот полный гамильтониан традиционно называют гамильтонианом Дирака. Ограничения естественным образом возникают из инвариантных к параметрам действий вида

${\displaystyle I=\int d\tau {\mathcal {L(\tau )=}}\int d\tau ^{\prime }{\frac {d\tau }{d\tau ^{\prime }}}{\mathcal {L(\tau )=}}\int d\tau ^{\prime }{\mathcal {L(\tau }}^{\prime }{\mathcal {)}}.}$

В случае четырех векторных и лоренц-скалярных взаимодействий для одной частицы лагранжиан имеет вид

${\displaystyle {\mathcal {L(\tau )}}=-(m+S(x)){\sqrt {-{\dot {x}}^{2}}}+{\dot {x}}\cdot A(x)\,}$

Канонический импульс является

${\displaystyle p={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}={\frac {{\mathcal {(}}m+S(x)){\dot {x}}}{\sqrt {-{\dot {x}}^{2}}}}+A(x)}$

и возведение в квадрат приводит к обобщенному условию массовой оболочки или обобщенному ограничению массовой оболочки

${\displaystyle (p-A)^{2}+(m+S)^{2}=0.\,}$

Поскольку в этом случае гамильтониан Лежандра обращается в нуль

${\displaystyle p\cdot {\dot {x}}-{\mathcal {L}}=0,\,}$

гамильтониан Дирака - это просто обобщенное ограничение массы (без взаимодействий это было бы просто обычное ограничение массовой оболочки)

${\displaystyle {\mathcal {H=\lambda }}\left[\left(p-A\right)^{2}+(m+S)^{2}\right]\equiv \lambda (p^{2}+m^{2}+\Phi (x,p)).}$

Затем постулируется, что для двух тел гамильтониан Дирака является суммой двух таких ограничений массовой оболочки:

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{i}=p_{i}^{2}+m_{i}^{2}+\Phi _{i}(x_{1},x_{2},p_{1},p_{2})\approx 0,\,}$

это

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\lambda _{1}[p_{1}^{2}+m_{1}^{2}+\Phi _{1}(x_{1},x_{2},p_{1},p_{2})]+\lambda _{2}[p_{2}^{2}+m_{2}^{2}+\Phi _{2}(x_{1},x_{2},p_{1},p_{2})]}$

${\displaystyle =\lambda _{1}{\mathcal {H}}_{1}+\lambda _{2}{\mathcal {H}}_{2},\,}$

и чтобы каждое ограничение было постоянным в собственное время, связанное с${\displaystyle {\mathcal {H}}_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle {\mathcal {\dot {H}}}_{i}=\{{\mathcal {H}}_{i},{\mathcal {H\}\approx }}0\,}$

Здесь слабое равенство означает, что скобка Пуассона может привести к выражению, пропорциональному одному из ограничений, классические скобки Пуассона для релятивистской системы двух тел определяются формулой

${\displaystyle \{O_{1},O_{2}\}={\frac {\partial O_{1}}{\partial x_{1}^{\mu }}}{\frac {\partial O_{2}}{\partial p_{1\mu }}}-{\frac {\partial O_{1}}{\partial p_{1}^{\mu }}}{\frac {\partial O_{2}}{\partial x_{1\mu }}}+{\frac {\partial O_{1}}{\partial x_{2}^{\mu }}}{\frac {\partial O_{2}}{\partial p_{2\mu }}}-{\frac {\partial O_{1}}{\partial p_{2}^{\mu }}}{\frac {\partial O_{2}}{\partial x_{2\mu }}}.}$

Чтобы увидеть последствия того, что каждое ограничение является константой движения, возьмем, например,

${\displaystyle {\mathcal {\dot {H}}}_{1}=\{{\mathcal {H}}_{1},{\mathcal {H\}=}}\lambda _{1}\{{\mathcal {H}}_{1},{\mathcal {H}}_{1}{\mathcal {\}+}}\{{\mathcal {H}}_{1},\lambda _{1}{\mathcal {\}{\mathcal {H}}}}_{2}{\mathcal {+\lambda }}_{2}\{{\mathcal {H}}_{2},{\mathcal {H}}_{1}{\mathcal {\}+}}\{{\mathcal {\lambda }}_{2},{\mathcal {H}}_{1}{\mathcal {\}H}}_{2}.}$

Поскольку и и один имеет${\displaystyle \{{\mathcal {H}}_{1},{\mathcal {H}}_{1}\}=0}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\approx 0}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}\approx 0}$

${\displaystyle {\mathcal {\dot {H}}}_{1}\approx {\mathcal {\lambda }}_{2}\{{\mathcal {H}}_{2},{\mathcal {H}}_{1}\}\approx 0.\,}$

Самое простое решение -

${\displaystyle \Phi _{1}=\Phi _{2}\equiv \Phi (x_{\perp })}$

что приводит к (обратите внимание, что равенство в этом случае не является слабым в том смысле, что никаких ограничений не требуется после того, как скобка Пуассона выработана)

${\displaystyle \{{\mathcal {H}}_{2},{\mathcal {H}}_{1}\}=0\,}$

(см. Тодоров, ^[19] и Вонг и Кратер ^[27] ) с тем же, что определено выше.${\displaystyle x_{\perp }}$

Квантование [ править ]

Помимо замены классических динамических переменных их квантовыми аналогами, квантование механики связей происходит путем замены ограничения на динамические переменные ограничением на волновую функцию

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{i}\approx 0\rightarrow {\mathcal {H}}_{i}\Psi =0}$,

${\displaystyle {\mathcal {H}}\approx 0\rightarrow {\mathcal {H}}\Psi =0}$.

Первая система уравнений для i  = 1, 2 играет роль для бесспиновых частиц, которую два уравнения Дирака играют для частиц с половинным спином. Классические скобки Пуассона заменены коммутаторами

${\displaystyle \{O_{1},O_{2}\}\rightarrow {\frac {1}{i}}[O_{1},O_{2}].\,}$

Таким образом

${\displaystyle [{\mathcal {H}}_{2},{\mathcal {H}}_{1}]=0,\,}$

и мы видим в этом случае, что формализм ограничений приводит к обращению в нуль коммутатора волновых операторов для двух частиц в. Это аналог заявленного ранее утверждения о коммутации двух операторов Дирака друг с другом.

Ковариантное исключение относительной энергии [ править ]

Обнуление указанного коммутатора гарантирует, что динамика не зависит от относительного времени в системе координат cm. Чтобы ковариантно исключить относительную энергию, введите относительный импульс, определяемый формулой${\displaystyle p}$

${\displaystyle p_{1}={\frac {p_{1}\cdot P}{P^{2}}}P+p\,,}$

( 1 )

${\displaystyle p_{2}={\frac {p_{2}\cdot P}{P^{2}}}P-p\,,}$

( 2 )

Приведенное выше определение относительного импульса заставляет ортогональность полного импульса и относительного импульса,

${\displaystyle P\cdot p=0}$,

что следует из скалярного произведения любого уравнения на . Из уравнений ( 1 ) и ( 2 ) этот относительный импульс можно записать через и как${\displaystyle P}$${\displaystyle p_{1}}$${\displaystyle p_{2}}$

${\displaystyle p={\frac {\varepsilon _{2}}{\sqrt {-P^{2}}}}p_{1}-{\frac {\varepsilon _{1}}{\sqrt {-P^{2}}}}p_{2}}$

где

${\displaystyle \varepsilon _{1}=-{\frac {p_{1}\cdot P}{\sqrt {-P^{2}}}}=-{\frac {P^{2}+p_{1}^{2}-p_{2}^{2}}{2{\sqrt {-P^{2}}}}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{2}=-{\frac {p_{2}\cdot P}{\sqrt {-P^{2}}}}=-{\frac {P^{2}+p_{2}^{2}-p_{1}^{2}}{2{\sqrt {-P^{2}}}}}}$

- проекции импульсов и вдоль направления полного импульса . Вычитание двух ограничений и дает${\displaystyle p_{1}}$${\displaystyle p_{2}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\Psi =0}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}\Psi =0}$

${\displaystyle (p_{1}^{2}-p_{2}^{2})\Psi =-(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})\Psi }$

( 3 )

Таким образом, по этим состояниям ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle \varepsilon _{1}\Psi ={\frac {-P^{2}+m_{1}^{2}-m_{2}^{2}}{2{\sqrt {-P^{2}}}}}\Psi }$

${\displaystyle \varepsilon _{2}\Psi ={\frac {-P^{2}+m_{2}^{2}-m_{1}^{2}}{2{\sqrt {-P^{2}}}}}\Psi }$ .

Уравнение описывает как движение в сантиметрах, так и внутреннее относительное движение. Чтобы охарактеризовать первое движение, заметьте, что, поскольку потенциал зависит только от разницы двух координат${\displaystyle {\mathcal {H}}\Psi =0}$${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle [P,{\mathcal {H}}]\Psi =0}$.

(Это не требует этого, поскольку .) Таким образом, полный импульс - это постоянная движения и состояние собственного состояния, характеризующееся полным импульсом . В системе cm с инвариантным центром импульса (cm) энергия. Таким образом${\displaystyle [P,\lambda _{i}]=0}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{i}\Psi =0}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle P^{\prime }}$${\displaystyle P^{\prime }=(w,{\vec {0}}),}$${\displaystyle w}$

${\displaystyle (P^{2}+w^{2})\Psi =0\,,}$

( 4 )

а также собственное состояние операторов энергии cm для каждой из двух частиц, ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle \varepsilon _{1}\Psi ={\frac {w^{2}+m_{1}^{2}-m_{2}^{2}}{2w}}\Psi }$

${\displaystyle \varepsilon _{2}\Psi ={\frac {w^{2}+m_{2}^{2}-m_{1}^{2}}{2w}}\Psi }$.

Тогда относительный импульс удовлетворяет

${\displaystyle p\Psi ={\frac {\varepsilon _{2}p_{1}-\varepsilon _{1}p_{2}}{w}}\Psi }$,

чтобы

${\displaystyle p_{1}\Psi =\left({\frac {\varepsilon _{1}}{w}}P+p\right)\Psi }$,

${\displaystyle p_{2}\Psi =\left({\frac {\varepsilon _{2}}{w}}P-p\right)\Psi }$ ,

Приведенная выше система уравнений следует из ограничений и определения относительных импульсов, приведенных в уравнениях ( 1 ) и ( 2 ). Если вместо этого кто-то решает определить (для более общего выбора см. Horwitz), ^[28]${\displaystyle {\mathcal {H}}_{i}\Psi =0}$

${\displaystyle \varepsilon _{1}={\frac {w^{2}+m_{1}^{2}-m_{2}^{2}}{2w}},}$

${\displaystyle \varepsilon _{2}={\frac {w^{2}+m_{2}^{2}-m_{1}^{2}}{2w}},}$

${\displaystyle p={\frac {\varepsilon _{2}p_{1}-\varepsilon _{1}p_{2}}{w}},}$

независимо от волновой функции, то

${\displaystyle p_{1}=\left({\frac {\varepsilon _{1}}{w}}P+p\right),}$

( 5 )

${\displaystyle p_{2}=\left({\frac {\varepsilon _{2}}{w}}P-p\right),}$

( 6 )

и нетрудно показать, что уравнение связи ( 3 ) непосредственно приводит к

${\displaystyle P\cdot p\Psi =0,}$

( 7 )

вместо . Это соответствует более раннему заявлению об исчезновении относительной энергии в системе отсчета cm, сделанному в сочетании с TBDE. \ Во втором варианте значение относительной энергии cm не определяется как ноль, а исходит из исходных обобщенных ограничений массовой оболочки. . Приведенные выше уравнения для относительного и составляющего четырехимпульса являются релятивистскими аналогами нерелятивистских уравнений${\displaystyle P\cdot p=0}$

${\displaystyle {\vec {p}}={\frac {m_{2}{\vec {p}}_{1}-m_{1}{\vec {p}}_{2}}{M}}}$,

${\displaystyle {\vec {p}}_{1}={\frac {m_{1}}{M}}{\vec {P}}+{\vec {p}}}$,

${\displaystyle {\vec {p}}_{2}={\frac {m_{2}}{M}}{\vec {P}}+{\vec {p}}}$.

Ковариантное уравнение на собственные значения для внутреннего движения [ править ]

Используя уравнения ( 5 ), ( 6 ), ( 7 ), можно записать через и${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}\Psi =\{\lambda _{1}[-\varepsilon _{1}^{2}+m_{1}^{2}+p^{2}+\Phi (x_{\perp })]+\lambda _{2}[-\varepsilon _{2}^{2}+m_{2}^{2}+p^{2}+\Phi (x_{\perp })]\}\Psi }$

${\displaystyle =(\lambda _{1}+\lambda _{2})[-b^{2}(-P^{2};m_{1}^{2},m_{2}^{2})+p^{2}+\Phi (x_{\perp })]\Psi =0\,,}$

( 8 )

где

${\displaystyle b^{2}(-P^{2},m_{1}^{2},m_{2}^{2})=\varepsilon _{1}^{2}-m_{1}^{2}=\varepsilon _{2}^{2}-m_{2}^{2}\ =-{\frac {1}{4P^{2}}}(P^{4}+2P^{2}(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})+(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})^{2})\,.}$

Уравнение ( 8 ) содержит как полный импульс [через ], так и относительный импульс . Используя уравнение. ( 4 ) получаем уравнение на собственные значения${\displaystyle P}$${\displaystyle b^{2}(-P^{2},m_{1}^{2},m_{2}^{2})}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle (\lambda _{1}+\lambda _{2})\left\{p^{2}+\Phi (x_{\perp })-b^{2}(w^{2},m_{1}^{2},m_{2}^{2})\right\}\Psi =0\,,}$

( 9 )

так что это становится стандартной функцией треугольника, отображающей точную релятивистскую кинематику двух тел:${\displaystyle b^{2}(w^{2},m_{1}^{2},m_{2}^{2})}$

${\displaystyle b^{2}(w^{2},m_{1}^{2},m_{2}^{2})={\frac {1}{4w^{2}}}\left\{w^{4}-2w^{2}(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})+(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})^{2}\right\}\,.}$

С указанным выше ограничением ( 7 ) на то где . Это позволяет писать уравнение. ( 9 ) в виде уравнения на собственные значения${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle p^{2}\Psi =p_{\perp }^{2}\Psi }$${\displaystyle p_{\perp }=p-p\cdot PP/P^{2}}$

${\displaystyle \{p_{\perp }^{2}+\Phi (x_{\perp })\}\Psi =b^{2}(w^{2},m_{1}^{2},m_{2}^{2})\Psi \,,}$

имеющий структуру, очень похожую на структуру обычного трехмерного нерелятивистского уравнения Шредингера. Это явно ковариантное уравнение, но в то же время его трехмерная структура очевидна. Четыре вектора и имеют только три независимых компонента, так как${\displaystyle p_{\perp }^{\mu }}$${\displaystyle x_{\perp }^{\mu }}$

${\displaystyle P\cdot p_{\perp }=P\cdot x_{\perp }=0\,.}$

Сходство с трехмерной структурой нерелятивистского уравнения Шредингера можно сделать более явным, записав уравнение в системе координат cm, в которой

${\displaystyle P=(w,{\vec {0}})}$,

${\displaystyle p_{\perp }=(0,{\vec {p}})}$,

${\displaystyle x_{\perp }=(0,{\vec {x}})}$.

Сравнение полученной формы

${\displaystyle \{{\vec {p}}^{2}+\Phi ({\vec {x}})\}\Psi =b^{2}(w^{2},m_{1}^{2},m_{2}^{2})\Psi \,,}$

( 10 )

с не зависящим от времени уравнением Шредингера

${\displaystyle \left({\vec {p}}^{2}+2\mu V({\vec {x}})\right)\Psi =2\mu E\Psi \,,}$

( 11 )

делает это сходство явным.

Двухчастичные релятивистские уравнения Клейна – Гордона [ править ]

Правдоподобную структуру квазипотенциала можно найти, наблюдая, что одночастичное уравнение Клейна-Гордона принимает форму, когда вводятся скалярное взаимодействие и времяподобное векторное взаимодействие через и . В случае двух тел отдельные аргументы классической ^{[29] [30]} и квантовой теории поля ^[4] показывают, что когда один включает в себя мировые скалярные и векторные взаимодействия, то тогда это зависит от двух основных инвариантных функций и через двухчастичное Клейн-Гордон- как потенциальная форма с той же общей структурой, то есть${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle (p^{2}+m^{2})\psi =({\vec {p}}^{2}-\varepsilon ^{2}+m^{2})\psi =0}$${\displaystyle ({\vec {p}}^{2}-\varepsilon ^{2}+m^{2}+2mS+S^{2}+2\varepsilon A-A^{2})\psi =0~}$${\displaystyle m\rightarrow m+S~}$${\displaystyle \varepsilon \rightarrow \varepsilon -A}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle S(r)}$${\displaystyle A(r)}$

${\displaystyle \Phi =2m_{w}S+S^{2}+2\varepsilon _{w}A-A^{2}.}$

Эти теории поля также приводят к зависимым от энергии формам

${\displaystyle m_{w}=m_{1}m_{2}/w,}$

а также

${\displaystyle \varepsilon _{w}=(w^{2}-m_{1}^{2}-m_{2}^{2})/2w,}$

те, которые Тододов ввел как релятивистскую приведенную массу и эффективную энергию частиц для системы двух тел. Подобно тому, что происходит в нерелятивистской задаче двух тел, в релятивистском случае движение этой эффективной частицы происходит так, как если бы она находилась во внешнем поле (здесь порожденном и ). Две кинематические переменные и связаны друг с другом условием Эйнштейна ${\displaystyle S}$${\displaystyle A}$${\displaystyle m_{w}}$${\displaystyle \varepsilon _{w}}$

${\displaystyle \varepsilon _{w}^{2}-m_{w}^{2}=b^{2}(w),}$

Если ввести четыре вектора, включая векторное взаимодействие ${\displaystyle A^{\mu }}$

${\displaystyle {\mathfrak {p}}=\varepsilon _{w}{\hat {P}}+p,}$

${\displaystyle A^{\mu }={\hat {P}}^{\mu }A(r)}$

${\displaystyle r={\sqrt {x_{\perp }^{2}}}\,,}$

и скалярное взаимодействие , то следующая классическая форма минимальных ограничений${\displaystyle S(r)}$

${\displaystyle {\mathcal {H=}}\left({\mathfrak {p-}}A\right)^{2}+(m_{w}+S)^{2}\approx 0\,,}$

воспроизводит

${\displaystyle {\mathcal {H=}}p_{\perp }^{2}+\Phi -b^{2}\approx 0\,.}$

( 12 )

Обратите внимание, что взаимодействие в этом ограничении «редуцированная частица» зависит от двух инвариантных скаляров, причем один управляет временным векторным взаимодействием, а другой - скалярным взаимодействием.${\displaystyle A(r)}$${\displaystyle S(r)}$

Существует ли система двухчастичных уравнений Клейна-Гордона, аналогичная двухчастичным уравнениям Дирака? Классические релятивистские связи, аналогичные квантовым уравнениям Дирака для двух тел (обсуждаемых во введении) и имеющие ту же структуру, что и приведенная выше форма Клейна-Гордона для одного тела, следующие:

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}=(p_{1}-A_{1})^{2}+(m_{1}+S_{1})^{2}=p_{1}^{2}+m_{1}^{2}+\Phi _{1}\approx 0}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}=(p_{1}-A_{2})^{2}+(m_{2}+S_{2})^{2}=p_{2}^{2}+m_{2}^{2}+\Phi _{2}\approx 0,}$

${\displaystyle p_{1}=\varepsilon _{1}{\hat {P}}+p;~~p_{2}=\varepsilon _{2}{\hat {P}}-p~.}$

Определение структур, отображающих временные векторные и скалярные взаимодействия

${\displaystyle \pi _{1}=p_{1}-A_{1}=[{\hat {P}}(\varepsilon _{1}-{\mathcal {A}}_{1})+p],}$

${\displaystyle \pi _{2}=p_{2}-A_{2}=[{\hat {P}}(\varepsilon _{2}-{\mathcal {A}}_{1})-p],}$

${\displaystyle M_{1}=m_{1}+S_{1},}$

${\displaystyle M_{2}=m_{2}+S_{2},}$

дает

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}=\pi _{1}^{2}+M_{1}^{2},}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}=\pi _{2}^{2}+M_{2}^{2}.}$

Внушительный

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{1}&=\Phi _{2}\equiv \Phi (x_{\perp })\\&=-2p_{1}\cdot A_{1}+A_{1}^{2}+2m_{1}S_{1}+S_{1}^{2}\\&=-2p_{2}\cdot A_{2}+A_{2}^{2}+2m_{2}S_{2}+S_{2}^{2}\\&=2\varepsilon _{w}A-A^{2}+2m_{w}S+S^{2},\end{aligned}}}$

и, используя ограничение , воспроизводит уравнения ( 12 ) при условии${\displaystyle P\cdot p\approx 0}$

${\displaystyle \pi _{1}^{2}-p^{2}=-\left(\varepsilon _{1}-{\mathcal {A}}_{1}\right)^{2}=-\varepsilon _{1}^{2}+2\varepsilon _{w}A-A^{2},}$

${\displaystyle \pi _{2}^{2}-p^{2}=-\left(\varepsilon _{2}-{\mathcal {A}}_{2}\right)^{2}=-\varepsilon _{2}^{2}+2\varepsilon _{w}A-A^{2},}$

${\displaystyle M_{1}{}^{2}=m_{1}^{2}+2m_{w}S+S^{2},}$

${\displaystyle M_{2}^{2}=m_{2}^{2}+2m_{w}S+S^{2}.}$

Соответствующие уравнения Клейна-Гордона следующие:

${\displaystyle \left(\pi _{1}^{2}+M_{1}^{2}\right)\psi =0,}$

${\displaystyle \left(\pi _{2}^{2}+M_{2}^{2}\right)\psi =0,}$

и каждый из-за ограничения эквивалентен${\displaystyle P\cdot p\approx 0,}$

${\displaystyle {\mathcal {H\psi =}}\left(p_{\perp }^{2}+\Phi -b^{2}\right){\mathcal {\psi }}=0.}$

Гиперболическая форма в зависимости от внешнего поля двухчастичных уравнений Дирака [ править ]

Для системы двух тел существует множество ковариантных форм взаимодействия. Самый простой способ взглянуть на них - с точки зрения структур гамма-матриц соответствующих вершин взаимодействия диаграмм обмена одиночными параграфами. Для скалярных, псевдоскалярных, векторных, псевдовекторных и тензорных обменов эти матричные структуры соответственно

${\displaystyle 1_{1}1_{2};\gamma _{51}\gamma _{52};\gamma _{1}^{\mu }\gamma _{2\mu };\gamma _{51}\gamma _{1}^{\mu }\gamma _{52}\gamma _{2\mu };\sigma _{1\mu \nu }\sigma _{2}^{\mu \nu },}$

в котором

${\displaystyle \sigma _{i\mu \nu }={\frac {1}{2i}}[\gamma _{i\mu },\gamma _{i\nu }];i=1,2.}$

Форма двухчастичных уравнений Дирака, которая наиболее легко объединяет каждое или любое количество этих взаимодействий, является так называемой гиперболической формой TBDE. ^[31] Для комбинированных скалярных и векторных взаимодействий эти формы в конечном итоге сводятся к приведенным в первой системе уравнений этой статьи. Эти уравнения называются внешнеполевыми формами, потому что их внешний вид индивидуально такой же, как и для обычного одночастичного уравнения Дирака в присутствии внешних векторных и скалярных полей.

Наиболее общая гиперболическая форма для совместимого TBDE - это

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}\psi =(\cosh(\Delta )\mathbf {S} _{1}+\sinh(\Delta )\mathbf {S} _{2})\psi =0\mathrm {,} }$

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{2}\psi =(\cosh(\Delta )\mathbf {S} _{2}+\sinh(\Delta )\mathbf {S} _{1})\psi =0,}$

( 13 )

где представляет собой любое инвариантное взаимодействие по отдельности или в комбинации. Помимо координатной зависимости, он имеет матричную структуру. В зависимости от того, что это за матричная структура, есть скалярные, псевдоскалярные, векторные, псевдовекторные или тензорные взаимодействия. Операторы и - вспомогательные ограничения, удовлетворяющие ${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \mathbf {S} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {S} _{2}}$

${\displaystyle \mathbf {S} _{1}\psi \equiv ({\mathcal {S}}_{10}\cosh(\Delta )+{\mathcal {S}}_{20}\sinh(\Delta )~)\psi =0,}$

${\displaystyle \mathbf {S} _{2}\psi \equiv ({\mathcal {S}}_{20}\cosh(\Delta )+{\mathcal {S}}_{10}\sinh(\Delta )~)\psi =0,}$

( 14 )

в котором - свободные операторы Дирака ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{i0}}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{i0}={\frac {i}{\sqrt {2}}}\gamma _{5i}(\gamma _{i}\cdot p_{i}+m_{i})=0,}$

( 15 )

Это, в свою очередь, приводит к двум условиям совместимости

${\displaystyle \lbrack {\mathcal {S}}_{1},{\mathcal {S}}_{2}]\psi =0,}$

а также

${\displaystyle \lbrack \mathbf {S} _{1},\mathbf {S} _{2}]\psi =0,}$

при условии, что эти условия совместимости не ограничивают структуру гамма-матрицы . Эта матричная структура определяется типом вершинно-вершинной структуры, включенной во взаимодействие. Для двух типов инвариантных взаимодействий, упомянутых в этой статье, они${\displaystyle \Delta =\Delta (x_{\perp }).}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \Delta _{\mathcal {L}}(x_{\perp })=-1_{1}1_{2}{\frac {{\mathcal {L}}(x_{\perp })}{2}}{\mathcal {O}}_{1},{\text{scalar}}\mathrm {,} }$

${\displaystyle \Delta _{\mathcal {G}}(x_{\perp })=\gamma _{1}\cdot \gamma _{2}{\frac {{\mathcal {G}}(x_{\perp })}{2}}{\mathcal {O}}_{1},{\text{vector}}\mathrm {,} }$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{1}=-\gamma _{51}\gamma _{52}.}$

Для общих независимых скалярных и векторных взаимодействий

${\displaystyle \Delta (x_{\perp })=\Delta _{\mathcal {L}}+\Delta _{\mathcal {G}}.}$

Векторное взаимодействие, заданное вышеупомянутой структурой матрицы для электромагнитного взаимодействия, соответствовало бы калибровке Фейнмана.

Если подставить уравнение ( 14 ) в ( 13 ) и перенести свободный оператор Дирака ( 15 ) справа от матричных гиперболических функций и использовать стандартные гамма-матричные коммутаторы и антикоммутаторы, то получим${\displaystyle \cosh ^{2}\Delta -\sinh ^{2}\Delta =1}$${\displaystyle \left(\partial _{\mu }=\partial /\partial x^{\mu }\right),}$

${\displaystyle {\big (}G\gamma _{1}\cdot {\mathcal {P}}_{2}-E_{1}\beta _{1}+M_{1}-G{\frac {i}{2}}\Sigma _{2}\cdot \partial ({\mathcal {L}}\beta _{2}{\mathcal {-G}}\beta _{1})\gamma _{52}{\big )}\psi =0,}$

${\displaystyle {\big (}-G\gamma _{2}\cdot {\mathcal {P}}_{1}-E_{2}\beta _{2}+M_{2}+G{\frac {i}{2}}\Sigma _{1}\cdot \partial ({\mathcal {L}}\beta _{1}{\mathcal {-G}}\beta _{2})\gamma _{51}{\big )}\psi =0,}$

( 16 )

в котором

${\displaystyle G=\exp {\mathcal {G}},}$

${\displaystyle \beta _{i}=-\gamma _{i}\cdot {\hat {P}},}$

${\displaystyle \gamma _{i\perp }^{\mu }=(\eta ^{\mu \nu }+{\hat {P}}^{\mu }{\hat {P}}^{\nu })\gamma _{\nu i},}$

${\displaystyle \Sigma _{i}=\gamma _{5i}\beta _{i}\gamma _{\perp i},}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{i}\equiv p_{\perp }-{\frac {i}{2}}\Sigma _{i}\cdot \partial {\mathcal {G}}\Sigma _{i},i=1,2.}$

(Ковариантная) структура этих уравнений аналогична структуре уравнения Дирака для каждой из двух частиц, и играет роли, которые и играют в одночастичном уравнении Дирака. ${\displaystyle M_{i}}$${\displaystyle E_{i}}$${\displaystyle m+S}$${\displaystyle \varepsilon -A}$

${\displaystyle (\mathbf {\gamma } \cdot \mathbf {p-} \beta (\varepsilon -A)+m+S)\psi =0.}$

Помимо обычной кинетической части и временноподобных частей вектора и скалярного потенциала, спин-зависимые модификации, включающие последний набор производных членов, представляют собой двухчастичные эффекты отдачи, отсутствующие в одночастичном уравнении Дирака, но существенные для совместимости ( согласованность) уравнений двух тел. Связи между тем, что обозначено как инварианты вершин, и потенциалами массы и энергии : ${\displaystyle \gamma _{1}\cdot p_{\perp }}$${\displaystyle \Sigma _{i}\cdot \partial {\mathcal {G}}\Sigma _{i}}$${\displaystyle {\mathcal {L}},{\mathcal {G}}}$${\displaystyle M_{i},E_{i}}$

${\displaystyle M_{1}=m_{1}\cosh {\mathcal {L}}+m_{2}\sinh {\mathcal {L}},}$

${\displaystyle M_{2}=m_{2}\cosh {\mathcal {L}}+m_{1}\sinh {\mathcal {L}},}$

${\displaystyle E_{1}=\varepsilon _{1}\cosh {\mathcal {G}}-\varepsilon _{2}\sinh {\mathcal {G}},}$

${\displaystyle E_{2}=\varepsilon _{2}\cosh {\mathcal {G}}-\varepsilon _{1}\sinh {\mathcal {G}}.}$

Сравнивая уравнение ( 16 ) с первым уравнением этой статьи, обнаруживаем, что зависящие от спина векторные взаимодействия

${\displaystyle {\tilde {A}}_{1}^{\mu }={\big (}(\varepsilon _{1}-E_{1}){\big )}{\hat {P}}^{\mu }+(1-G)p_{\perp }^{\mu }-{\frac {i}{2}}\partial G\cdot \gamma _{2}\gamma _{2}^{\mu },}$

${\displaystyle A_{2}^{\mu }={\big (}(\varepsilon _{2}-E_{2}){\big )}{\hat {P}}^{\mu }-(1-G)p_{\perp }^{\mu }+{\frac {i}{2}}\partial G\cdot \gamma _{1}\gamma _{1}^{\mu },}$

Обратите внимание, что первая часть векторных потенциалов времениподобна (параллельна, а следующая часть пространственноподобна (перпендикулярна) . Зависящие от спина скалярные потенциалы равны ${\displaystyle {\hat {P}}^{\mu })}$${\displaystyle {\hat {P}}^{\mu })}$${\displaystyle {\tilde {S}}_{i}}$

${\displaystyle {\tilde {S}}_{1}=M_{1}-m_{1}-{\frac {i}{2}}G\gamma _{2}\cdot \partial {\mathcal {L}},}$

${\displaystyle {\tilde {S}}_{2}=M_{2}-m_{2}+{\frac {i}{2}}G\gamma _{1}\cdot {\partial }{\mathcal {L}}{.}}$

Параметризация для и использует преимущества форм эффективного внешнего потенциала Тодорова (как показано в предыдущем разделе о двухчастичных уравнениях Клейна-Гордона) и в то же время отображает правильную статическую предельную форму для редукции Паули к форме, подобной Шредингеру. Выбор этих параметризаций (как и в случае двухчастичных уравнений Клейна-Гордона) тесно связан с классическими или квантовыми теориями поля для отдельных скалярных и векторных взаимодействий. Это равносильно работе в калибровке Фейнмана с простейшим соотношением между пространственно- и времяподобными частями векторного взаимодействия. Потенциалы массы и энергии равны соответственно ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

${\displaystyle M_{i}^{2}=m_{i}^{2}+\exp(2{\mathcal {G)(}}2m_{w}S{\mathcal {+}}S^{2}),}$

${\displaystyle E_{i}^{2}=\exp(2{\mathcal {G(A))(}}\varepsilon _{i}-A)^{2},}$

чтобы

${\displaystyle \exp({\mathcal {L}})=\exp({\mathcal {L}}(S,A))={\frac {M_{1}+M_{2}}{m_{1}+m_{2}}},}$

${\displaystyle G=\exp {\mathcal {G=}}\exp({\mathcal {G(}}A{\mathcal {))=}}{\sqrt {\frac {1}{(1-2A/w)}}}.}$