В дифференциальной геометрии , то голономия из соединения на гладком многообразии является общим геометрическим следствием кривизны соединения для измерения степени , в которой параллельный перенос вокруг замкнутых петель терпит неудачу , чтобы сохранить геометрические транспортируемые данные. Для плоских связностей ассоциированная голономия является разновидностью монодромии и по своей сути является глобальным понятием. Для криволинейных связей голономия имеет нетривиальные локальные и глобальные особенности.
Любой вид связности на многообразии через его параллельные транспортные отображения порождает некоторое понятие голономии. Наиболее распространенные формы голономии относятся к связям, обладающим некоторой симметрией . Важные примеры включают: голономию связности Леви-Чивиты в римановой геометрии (называемую римановой голономией ), голономию связностей в векторных расслоениях , голономию связностей Картана и голономию связностей в главных расслоениях . В каждом из этих случаев, голономия соединения может быть идентифицирована с помощью группы Ли , тем голономия группы. Голономия связности тесно связана с кривизной связности через теорему Амброуза – Зингера .
Изучение римановой голономии привело к ряду важных достижений. Голономия была введена Эли Картаном ( 1926 ) для изучения и классификации симметрических пространств . Лишь намного позже группы голономии стали использоваться для изучения римановой геометрии в более общем контексте. В 1952 году Жорж де Рам доказал теорему о разложении де Рама , принцип разбиения риманова многообразия на декартово произведение римановых многообразий путем разбиения касательного расслоения на неприводимые пространства под действием локальных групп голономии. Позже, в 1953 году, Марсель Бергерклассифицировал возможные неприводимые голономии. Декомпозиция и классификация римановой голономии имеют приложения к физике и теории струн .
Определения
Голономия связи в векторном расслоении
Пусть E будет rank- к векторным расслоением над гладким многообразием М , и пусть ∇ быть соединение на E . Для кусочно- гладкой петли γ : [0,1] → M, основанной на x в M , соединение определяет параллельное транспортное отображение P γ : E x → E x . Это отображение одновременно и линейно, и обратимо, и поэтому определяет элемент общей линейной группы GL ( E x ). Вгруппа голономии, основанная на x , определяется как
Ограниченная группа голономии основана на х является подгруппойисходящие от стягиваемых петель γ .
Если М будет подключен , то группа голономии зависит от Basepoint х только до сопряжения в GL ( K , R ). Явно, если γ - путь от x до y в M , то
Выбор различных отождествлений E x с R k также дает сопряженные подгруппы. Иногда, особенно в общих или неформальных обсуждениях (например, ниже), можно отказаться от ссылки на базовую точку, понимая, что определение подходит до спряжения.
Некоторые важные свойства группы голономии включают:
- является связной подгруппой Ли в GL ( k , R ).
- является компонентом идентичности из
- Существует естественный сюръективный групповой гомоморфизм куда это фундаментальная группа из М , который посылает гомотопический класск классу
- Если M является односвязной , то
- Является плоским (т.е. имеет исчезающую кривизну) тогда и только тогда, когда тривиально.
Голономия связи в главном пучке
Параллельно проводится определение голономии связностей на главных расслоениях. Пусть G является группа Ли и P основного G расслоения над гладким многообразием М , который паракомпактный . Пусть ω является соединение на P . Для кусочно-гладкой петли γ : [0,1] → M, основанной на x в M и точке p в слое над x , связность определяет единственный горизонтальный подъем такой, что Конечная точка горизонтального подъема, , в общем случае будет не p, а некоторой другой точкой p · g в слое над x . Определим отношение эквивалентности ~ на Р , говоря , что р ~ д , если они могут быть соединены с помощью кусочно - гладкой горизонтальной путь в P .
Группа голономии ω, базирующаяся в p , тогда определяется как
Ограниченная группа голономии основана на р является подгруппаисходящие от горизонтальных подъемов стягиваемых петель γ .
Если М и Р являются соединены , то группа голономии зависит от Basepoint р только до сопряжения в G . Явно, если q - любая другая выбранная базовая точка голономии, то существует единственный g ∈ G такой, что q ∼ p · g . При этом значении г ,
В частности,
Более того, если p ~ q, то Как и выше, иногда опускается ссылка на базовую точку группы голономии, понимая, что определение подходит до сопряжения.
Некоторые важные свойства групп голономии и ограниченной голономии включают:
- связная подгруппа Ли в G .
- является компонентом идентичности из
- Существует естественный сюръективный групповой гомоморфизм
- Если M является односвязным то
- ω плоский (т.е. имеет исчезающую кривизну) тогда и только тогда, когда тривиально.
Пакеты голономии
Пусть M - связное гладкое паракомпактное многообразие, а P - главное G -расслоение со связностью ω, как указано выше. Пусть p ∈ P - произвольная точка главного расслоения. Пусть H ( p ) - множество точек в P, которые можно соединить с p горизонтальной кривой. Тогда можно показать, что H ( p ) с очевидным отображением проекции является главным расслоением над M со структурной группойЭто главное расслоение называется расслоением голономии (через p ) связности. Связность ω ограничивается связностью на H ( p ), поскольку ее параллельные транспортные отображения сохраняют H ( p ). Таким образом, H ( p ) - это редуцированный пучок для связности. Более того, поскольку ни одно подрасслоение H ( p ) не сохраняется при параллельном переносе, это минимальное такое сокращение. [1]
Как и с группами голономии, голономия расслоение также трансформирует эквивариантно в окружающей главном расслоении P . Более подробно, если q ∈ P - другая выбранная базовая точка для голономии, то существует единственный g ∈ G такой, что q ∼ p g (поскольку по предположению M линейно связно). Следовательно, H ( q ) = H ( p ) g. Как следствие, индуцированные связности на расслоениях голономии, соответствующие разному выбору базовой точки, совместимы друг с другом: их параллельные транспортные отображения будут отличаться в точности одним и тем же элементом g .
Монодромия
Расслоение голономии H ( p ) является главным расслоением для а значит, также допускает действие ограниченной группы голономии (которая является нормальной подгруппой полной группы голономии). Дискретная группаназывается группой монодромии связности; он действует на фактор-расслоении Есть сюръективный гомоморфизм и что действует на Это действие фундаментальной группы является представлением монодромии фундаментальной группы. [2]
Локальная и инфинитезимальная голономия
Если π: P → M является главным расслоением, а ω является соединением в Р , то голономия со может быть ограничена к волокну на открытом подмножество M . Действительно, если U является связным открытым подмножеством М , то со ограничивает , чтобы дать соединение в расслоении π -1 U над U . Голономию (соответственно ограниченную голономию) этого расслоения будем обозначать через (соотв. ) Для каждого р с П ( р ) ∈ U .
Если U ⊂ V - два открытых множества, содержащие π ( p ), то имеется очевидное включение
Локальная группа голономии в точке р определяется
для любого семейства вложенных связных открытых множеств U k с.
Локальная группа голономии обладает следующими свойствами:
- Это связная подгруппа Ли ограниченной группы голономии
- Каждая точка p имеет такую окрестность V , чтоВ частности, локальная группа голономии зависит только от точки p , а не от выбора последовательности U k, используемой для ее определения.
- Локальная голономия эквивариантна относительно сдвига на элементах структурной группы G из Р ; т.е.для всех г ∈ G . (Заметим, что по свойству 1 группа локальной голономии является связной подгруппой Ли группы G , поэтому присоединенная группа корректно определена.)
Локальная группа голономии плохо себя ведет как глобальный объект. В частности, его размер может не быть постоянным. Однако справедлива следующая теорема:
- Если размерность локальной группы голономии постоянна, то локальная и ограниченная голономия согласуются:
Теорема Амвросия – Зингера
Теорема Амброуза – Зингера (принадлежащая Уоррену Амброузу и Исадору М. Сингеру ( 1953 )) связывает голономию связности в главном расслоении с формой кривизны связности. Чтобы сделать эту теорему правдоподобной, рассмотрим знакомый случай аффинной связности (или связности в касательном расслоении - например, связности Леви-Чивиты). Искривление возникает при движении вокруг бесконечно малого параллелограмма.
Более подробно, если σ: [0, 1] × [0, 1] → M - поверхность в M, параметризованная парой переменных x и y , то вектор V может перемещаться вокруг границы σ: сначала вдоль ( x , 0), затем по (1, y ), затем ( x , 1) в отрицательном направлении, а затем (0, y ) обратно в исходную точку. Это частный случай петли голономии: на вектор V действует элемент группы голономии, соответствующий поднятию границы σ. Кривизна входит явно, когда параллелограмм сокращается до нуля, путем пересечения границы меньших параллелограммов за [0,x ] × [0, y ]. Это соответствует взятию производной от параллельных транспортных карт при x = y = 0:
где R - тензор кривизны . [3] Итак, грубо говоря, кривизна дает бесконечно малую голономию над замкнутым контуром (бесконечно малый параллелограмм). Более формально кривизна - это дифференциал действия голономии в единице группы голономии. Другими словами, Р ( Х , Y ) является элементом алгебры Ли из
В общем, рассмотрят голономию связности в главном расслоении Р → M над P со структурной группой G . Пусть г обозначит алгебру Ли G , то форма кривизны связности является г - значной 2-формы на P . Теорема Амброуза – Зингера гласит: [4]
- Алгебра Ли натянута на все элементы g видапоскольку q пробегает все точки, которые могут быть соединены с p горизонтальной кривой ( q ~ p ), а X и Y - горизонтальные касательные векторы в q .
В качестве альтернативы теорему можно переформулировать в терминах расслоения голономии: [5]
- Алгебра Ли - подпространство в g, порожденное элементами видагде q ∈ H ( p ), а X и Y - горизонтальные векторы в точке q .
Риманова голономия
Голономия в риманова многообразия ( М , г ) является только группа голономии связности Леви-Чивита на касательном расслоении к М . «Общее» n - мерное риманово многообразие имеет голономию O ( n ) или SO ( n ), если оно ориентируемо . Многообразия, группы голономии которых являются собственными подгруппами в O ( n ) или SO ( n ), обладают особыми свойствами.
Одним из самых ранних фундаментальных результатов о римановой голономии является теорема Бореля и Лихнеровича (1952) , в которой утверждается, что ограниченная группа голономии является замкнутой подгруппой Ли в O ( n ). В частности, он компактный .
Приводимая голономия и разложение де Рама
Пусть x ∈ M - произвольная точка. Тогда группа голономии Hol ( М ) действует на касательном пространстве Т х М . Это действие может быть либо неприводимым как представление группы, либо приводимым в том смысле, что существует разбиение T x M на ортогональные подпространства T x M = T ′ x M ⊕ T ″ x M , каждое из которых инвариантно относительно действия Хол ( М ). В последнем случае M называется приводимым .
Предположим, что M - приводимое многообразие. Допуская изменение точки x , связки T ′ M и T ″ M, образованные сокращением касательного пространства в каждой точке, являются гладкими распределениями, которые интегрируемы в смысле Фробениуса . В интегральные многообразия этих распределений являются вполне геодезическими подмногообразиями. Итак, M локально декартово произведение M ′ × M ″ . (Локальный) изоморфизм де Рама следует, продолжая этот процесс до тех пор, пока не будет достигнута полная редукция касательного пространства: [6]
- Пусть M - односвязное риманово многообразие, [7] и T M = T (0) M ⊕ T (1) M ⊕ ⋯ ⊕ T ( k ) M - полная редукция касательного расслоения под действием группы голономии . Предположим, что T (0) M состоит из векторов, инвариантных относительно группы голономии (т. Е. Таких, что представление голономии тривиально). Тогда локально M изометрично произведению
- где V 0 открытое множество в евклидовом пространстве , и каждый V я является интегральным многообразием для Т ( я ) М . Кроме того, Hol ( M ) распадается как прямое произведение групп голономии каждого M i .
Если, кроме того, M предполагается геодезически полным , то теорема верна глобально, и каждое M i является геодезически полным многообразием. [8]
Классификация Бергера
В 1955 г. М. Бергер дал полную классификацию возможных групп голономии для односвязных римановых многообразий, которые являются неприводимыми (не локально пространством произведения) и несимметричными (не локально римановым симметрическим пространством ). Список Бергера выглядит следующим образом:
Хол ( г ) | тусклый ( M ) | Тип коллектора | Комментарии |
---|---|---|---|
SO ( n ) | п | Ориентируемый коллектор | - |
U ( n ) | 2 п | Кэлерово многообразие | Kähler |
СУ ( п ) | 2 п | Многообразие Калаби – Яу | Риччи-бемоль , Келер |
Sp ( n ) · Sp (1) | 4 п | Кватернион-Кэлерово многообразие | Эйнштейн |
Sp ( п ) | 4 п | Гиперкэлерово многообразие | Риччи-бемоль , Келер |
G 2 | 7 | Коллектор G 2 | Риччи-квартира |
Отжим (7) | 8 | Коллектор Spin (7) | Риччи-квартира |
Многообразия с голономией Sp ( n ) · Sp (1) одновременно изучались в 1965 году Эдмондом Бонаном и Вивиан Йох Крейнс, и они построили параллельную 4-форму.
Многообразия с голономией G 2 или Spin (7) были впервые введены Эдмоном Бонаном в 1966 году, который построил все параллельные формы и показал, что эти многообразия являются Риччи-плоскими.
(Первоначальный список Бергера также включал возможность Spin (9) как подгруппы SO (16). Римановы многообразия с такой голономией позже независимо друг от друга показали Д. Алексеевским и Браун-Греем, что они обязательно локально симметричны, т. Е. Локально изометричны относительно Кэли плоскость Р 4 / Spin (9) или локально плоская. См . ниже) в настоящее время известно , что все эти возможности возникают в голономиях групп риманова многообразия. Последние два исключительных случая найти труднее всего. См G 2 коллектора и отжима (7) многообразие .
Заметим, что Sp ( n ) ⊂ SU (2 n ) ⊂ U (2 n ) ⊂ SO (4 n ), поэтому каждое гиперкэлерово многообразие является многообразием Калаби – Яу , каждое многообразие Калаби – Яу является кэлеровым многообразием , а каждое кэлерово многообразие является ориентируемым .
Странный список выше объясняется доказательством Саймонса теоремы Бергера. Простое и геометрическое доказательство теоремы Бергера было дано Карлосом Э. Олмосом в 2005 году. Сначала показано, что если риманово многообразие не является локально симметричным пространством и приведенная голономия действует неприводимо на касательном пространстве, то оно действует транзитивно на единице сфера. Группы Ли, действующие транзитивно на сферах, известны: они состоят из приведенного выше списка вместе с двумя дополнительными случаями: группа Spin (9), действующая на R 16 , и группа T · Sp ( m ), действующая на R 4 m.. Наконец, проверяется, что первый из этих двух дополнительных случаев встречается только как группа голономии для локально симметричных пространств (которые локально изоморфны проективной плоскости Кэли ), а второй вообще не встречается как группа голономии.
Первоначальная классификация Бергера также включала неположительно определенную псевдориманову метрическую нелокально симметричную голономию. Этот список состоял из SO ( p , q ) подписи ( p , q ), U ( p , q ) и SU ( p , q ) подписи (2 p , 2 q ), Sp ( p , q ) и Sp ( p , q ) · Sp (1) подписи (4 p , 4 q ), SO ( n , C ) подписи ( n , n ), SO ( n, H ) подписи (2 n , 2 n ), разбиение G 2 подписи (4, 3), G 2 ( C ) подписи (7, 7), Spin (4, 3) подписи (4, 4) , Spin (7, C ) подписи (7,7), Spin (5,4) подписи (8,8) и, наконец, Spin (9, C ) подписи (16,16). Расщепленный и комплексифицированный спин (9) обязательно являются локально симметричными, как указано выше, и их не должно было быть в списке. Комплексифицированные голономии SO ( n , C ), G 2 ( C ) и Spin (7, C) могут быть реализованы из комплексифицирующих вещественно-аналитических римановых многообразий. Последний случай, многообразия с голономией, содержащиеся в SO ( n , H ), были показаны Р. Маклином как локально плоские. [ необходима цитата ]
Симметрические пространства, которые локально изометричны однородные пространства G / H имеют локальную голономию изоморфную Н . Они тоже полностью засекречены .
Наконец, в статье Бергера перечислены возможные группы голономии многообразий только с аффинной связностью без кручения ; это обсуждается ниже.
Специальная голономия и спиноры
Многообразия со специальной голономией характеризуются наличием параллельных спиноров , то есть спинорных полей с исчезающей ковариантной производной. [9] В частности, имеют место следующие факты:
- Hol (ω) ⊂ U (n) тогда и только тогда, когда M допускает ковариантно постоянное (или параллельное ) проективное чисто спинорное поле.
- Если M - спиновое многообразие , то Hol (ω) ⊂ SU (n) тогда и только тогда, когда M допускает по крайней мере два линейно независимых параллельных чистых спинорных поля. Фактически параллельное чисто спинорное поле определяет каноническую редукцию структурной группы к SU ( n ).
- Если M - семимерное спиновое многообразие, то M несет нетривиальное параллельное спинорное поле тогда и только тогда, когда голономия содержится в G 2 .
- Если M - восьмимерное спиновое многообразие, то M несет нетривиальное параллельное спинорное поле тогда и только тогда, когда голономия содержится в Spin (7).
Унитарные и специальные унитарные голономии часто изучаются в связи с теорией твисторной , [10] , а также в изучении почти комплексных структур . [9]
Приложения
Теория струн
Римановы многообразия со специальной голономией играют важную роль в компактификациях теории струн .[11] Это связано с тем, что специальные многообразия голономии допускают ковариантно постоянные (параллельные) спиноры и, таким образом, сохраняют некоторую часть исходной суперсимметрии . Наиболее важными являются компактификации на многообразиях Калаби – Яу с SU (2) или SU (3) голономией. Также важны компактификации на многообразиях G 2 .
Машинное обучение
Вычисление голономии римановых многообразий было предложено как способ изучения структуры многообразий данных в машинном обучении , в частности, в контексте обучения многообразию . Поскольку группа голономии содержит информацию о глобальной структуре многообразия данных, ее можно использовать для определения того, как многообразие данных может разложиться на продукт подмногообразий. Голономия не может быть вычислена точно из-за эффектов конечной выборки, но можно построить численное приближение, используя идеи теории спектральных графов, аналогичные векторным диффузионным картам. Результирующий алгоритм, программа оценки компонентов геометрического многообразия ( GeoManCEr) дает численное приближение к разложению де Рама, которое можно применить к реальным данным. [12]
Аффинная голономия
Группы аффинной голономии - это группы, возникающие как голономии аффинных связностей без кручения ; те, которые не являются римановыми или псевдоримановыми группами голономии, также известны как неметрические группы голономии. Теорема де Рама о разложении неприменима к аффинным группам голономии, поэтому полная классификация недоступна. Однако классификация неприводимых аффинных голономий по-прежнему является естественной.
На пути к своей классификации римановых групп голономии Бергер разработал два критерия, которым должна удовлетворять алгебра Ли группы голономии аффинной связности без кручения, которая не является локально симметричной : один из них, известный как первый критерий Бергера , является следствием теоремы Амброуза – Зингера, что кривизна порождает алгебру голономии; другой, известный как второй критерий Бергера , исходит из требования, что соединение не должно быть локально симметричным. Бергер представил список групп, действующих несводимо и удовлетворяющих этим двум критериям; это можно интерпретировать как список возможностей для неприводимых аффинных голономий.
Позднее было показано, что список Бергера неполон: дополнительные примеры были найдены Р. Брайантом (1991) и К. Чи, С. Меркуловым и Л. Шваххёфером (1996). Иногда это называют экзотическими холономиями . Поиск примеров в конечном итоге привел к полной классификации неприводимых аффинных голономий Меркулова и Шваххёфера (1999), при этом Брайант (2000) показал, что каждая группа в их списке встречается как группа аффинной голономии.
Классификация Меркулова – Шваххёфера была значительно прояснена благодаря связи между группами в списке и некоторыми симметрическими пространствами, а именно эрмитовыми симметрическими пространствами и кватернионно-кэлеровыми симметрическими пространствами . Это соотношение особенно очевидно в случае сложных аффинных голономий, как продемонстрировал Шваххёфер (2001).
Пусть V - конечномерное комплексное векторное пространство, H ⊂ Aut ( V ) - неприводимая полупростая комплексная связная подгруппа Ли, а K ⊂ H - максимальная компактная подгруппа.
- Если есть неприводимые эрмиты симметричного пространство вида G / (U (1) · К ), то оба Н и С * · Н не являются симметричными неприводимым аффинными голономии групп, где V касательное представление K .
- Если существует неприводимое кватернионно-кэлерово симметрическое пространство вида G / (Sp (1) · K ), то H является несимметричной неприводимой аффинной группой голономии, как и C * · H, если dim V = 4. Здесь комплексифицированное касательное представление Sp (1) · к является с 2 ⊗ V и Н сохраняет сложную симплектическую форму на V .
Эти два семейства дают все несимметричные неприводимые комплексные аффинные группы голономии, за исключением следующих:
Используя классификацию эрмитовых симметрических пространств, первое семейство дает следующие комплексные аффинные группы голономии:
где Z C либо тривиально, либо группа C *.
Используя классификацию кватернионно-кэлеровых симметрических пространств, второе семейство дает следующие комплексные симплектические группы голономии:
(Во второй строке Z C должно быть тривиальным, если n = 2.)
Из этих списков можно наблюдать аналог результата Саймонса о том, что римановы группы голономии действуют транзитивно на сферах: все представления комплексной голономии являются предоднородными векторными пространствами . Концептуальное доказательство этого факта не известно.
Классификация неприводимых реальных аффинных голономий может быть получена путем тщательного анализа с использованием приведенных выше списков и того факта, что реальные аффинные голономии усложняются до сложных.
Этимология
Есть похожее слово « голоморфный », которое было введено двумя учениками Коши , Брио (1817–1882) и Буке (1819–1895), и происходит от греческого ὅλος ( holos ), означающего «цельный», и μορφή ( morphē ), что означает «форма» или «внешний вид». [13] Этимология «голономии» разделяет первую часть с «голоморфной» ( holos ). О второй части:
«Чрезвычайно трудно найти этимологию голономии (или голономии) в сети. Я нашел следующее (благодаря Джону Конвею из Принстона): « Я считаю, что впервые он был использован Пуансо в его анализе движения твердого тела. тело. В этой теории система называется "голономной", если в определенном смысле можно восстановить глобальную информацию из локальной информации, поэтому значение "закон целостности" вполне уместно. неголономный, потому что один, идущий по разным путям к одной и той же точке, может привести его в разные ориентации. Однако, возможно, было бы слишком упрощенно сказать, что «голономия» означает «целостный закон». Корень «nom» имеет много переплетены значения в греческом языке, и, возможно, чаще относится к «счету».Оно происходит от того же индоевропейского корня, что и наше слово «число». '"
- С. Голвала, [14]
См. Νόμος ( номос ) и -номи .
Примечания
- ^ Kobayashi & Номидз +1963 , §II.7
- ^ Sharpe 1997 , §3.7
- Перейти ↑ Spivak 1999 , p. 241
- ^ Штернберг 1964 , теорема VII.1.2
- ^ Kobayashi & Номидз 1963 , Том I, §II.8
- ^ Kobayashi & Номидз , §IV.5
- ^ Эта теорема обобщается на неодносвязные многообразия, но утверждение более сложное.
- ^ Kobayashi, Номидз & §IV.6
- ^ a b Лоусон и Микелсон 1989 , §IV.9–10
- ^ Баум 1991
- ^ Губсер, С., Губсер С .; и другие. (ред.), Специальная голономия в теории струн и M-теории+ Губсер, Стивен С. (2004), Струны, браны и дополнительные измерения, TASI 2001. Лекции, прочитанные в школе TASI 2001, Боулдер, Колорадо, США, 4–29 июня 2001 г. , River Edge, NJ: World Scientific, стр. 197–233, arXiv : hep-th / 0201114 , ISBN 978-981-238-788-2.
- ^ Пфау, Дэвид; Хиггинс, Ирина; Ботев, Александр; Раканьер, Себастьян (2020), «Распутывание путём подпространственной диффузии», « Достижения в системах обработки нейронной информации» , arXiv : 2006.12982
- ^ Маркушевич, AI 2005
- ^ Golwala 2007 , стр. 65-66
Ссылки
- Агрикола, Илка (2006), "Лекции Срни о неинтегрируемых геометриях с кручением", Arch. Математика. , 42 : 5–84, arXiv : math / 0606705
- Амвросий, Уоррен ; Певец, Isadore (1953), "Теорема о голономии", Труды Американского математического общества , 75 (3): 428-443, DOI : 10,2307 / 1990721 , JSTOR 1990721
- Баум, Х .; Фридрих, Th .; Grunewald, R .; Кат, И. (1991), Твисторы и спиноры Киллинга на римановых многообразиях , Teubner-Texte zur Mathematik, 124 , BG Teubner, ISBN 9783815420140
- Бергер, Марсель (1953), "Sur les groupes d'holonomie homogènes des varétés affeines et des varétés riemanniennes" , Bull. Soc. Математика. France , 83 : 279–330, MR 0079806 , архивировано с оригинала 04.10.2007.
- Бессе, Артур Л. (1987), многообразия Эйнштейна , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Результаты в математике и смежных областях (3)], 10 , Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-15279-8
- Бонан, Эдмонд (1965), «Четвертичная структура, преобразующая различные различия», CR Acad. Sci. Париж , 261 : 5445–8.
- Бонан, Эдмон (1966), "Sur les varétés riemanniennes à groupe d'holonomie G2 ou Spin (7)", CR Acad. Sci. Париж , 320 : 127–9].
- Борель, Арман ; Лихнерович, Андре (1952), "Группы холономии различных римских культур", Les Comptes rendus de l'Académie des Sciences , 234 : 1835–7, MR 0048133
- Брайант, Роберт Л. (1987), "Метрика с исключительной голономией", Анналы математики , 126 (3): 525-576, DOI : 10,2307 / 1971360 , JSTOR 1971360.
- Брайант, Роберт Л. (1991), "Две экзотические голономии в четырехмерном измерении, геометрии путей и твисторная теория", Amer. Математика. Soc. Proc. Symp. Чистая математика. Труды Симпозиумов в чистой математике, 53 : 33-88, DOI : 10,1090 / pspum / 053/1141197 , ISBN 9780821814925
- Брайант, Роберт Л. (2000), «Последние достижения в теории голономии», Astérisque , Séminaire Bourbaki 1998–1999, 266 : 351–374, arXiv : math / 9910059
- Картана, Эли (1926), "Sur ипе Classe remarquable d'ESPACES де Римана", Bulletin де ла Société Mathematique де Франс , 54 : 214-264, DOI : 10,24033 / bsmf.1105 , ISSN 0037-9484 , MR 1504900
- Картан, Эли (1927), "Sur une classe remarquable d'espaces de Riemann", Bulletin de la Société Mathématique de France , 55 : 114–134, doi : 10.24033 / bsmf.1113 , ISSN 0037-9484
- Чи, Куо-Шин; Меркулов, Сергей А .; Schwachhöfer, Lorenz J. (1996), "О неполноте списка Бергера представлений голономии", Invent. Математика. , 126 (2): 391–411, arXiv : dg-da / 9508014 , Bibcode : 1996InMat.126..391C , doi : 10.1007 / s002220050104
- Голвала, С. (2007), Конспект лекций по классической механике для физики 106ab (PDF)
- Джойс, Д. (2000), Компактные многообразия со специальной голономией , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850601-0
- Кобаяши, С .; Номидзу К. (1963), Основы дифференциальной геометрии, т. 1 и 2 (новая редакция), Wiley-Interscience (опубликовано в 1996 г.), ISBN 978-0-471-15733-5
- Kraines, Вивиан Йох (1965), "Топология кватернионных многообразий", Bull. Амер. Математика. Soc. , 71, 3, 1 (3): 526-7, DOI : 10,1090 / s0002-9904-1965-11316-7.
- Лоусон, HB; Michelsohn, ML. (1989), Спиновая геометрия , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08542-5
- Лихнерович, Андре (2011) [1976], Глобальная теория связностей и групп голономии , Springer, ISBN 9789401015523
- Маркушевич, AI (2005) [1977], Сильверман, Ричард А. (ред.), Теория функций комплексной переменной (2-е изд.), Американское математическое общество , с. 112, ISBN 978-0-8218-3780-1
- Меркулов, Сергей А .; Schwachhöfer, Lorenz J. (1999), "Классификация неприводимых голономий аффинных связностей без кручения", Annals of Mathematics , 150 (1): 77–149, arXiv : math / 9907206 , doi : 10.2307 / 121098 , JSTOR 121098 ; "Приложение", Ann. математики. , 150 (3): 1177-9, 1999, Arxiv : математика / 9911266 , DOI : 10,2307 / 121067 , JSTOR 121067 . .
- Олмос, C. (2005), "Геометрическое доказательство теоремы Berger голономии", Annals математики , 161 (1): 579-588, DOI : 10,4007 / annals.2005.161.579
- Шарп, Ричард В. (1997), Дифференциальная геометрия: Обобщение Картаном программы Эрлангена Кляйна , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94732-7, Руководство по ремонту 1453120
- Schwachhöfer, Лоренц J. (2001), "Связь с неприводимыми голономиями представлений", достижениями в области математики , 160 (1): 1-80, да : 10.1006 / aima.2000.1973
- Симмонс, Джеймс (1962), "О транзитивности систем голономий", Annals математики , 76 (2): 213-234, DOI : 10,2307 / 1970273 , JSTOR 1970273 , МР 0148010
- Спивак, Майкл (1999), Комплексное введение в дифференциальную геометрию , II , Хьюстон, Техас: Опубликовать или погибнуть, ISBN 978-0-914098-71-3
- Штернберг, С. (1964), Лекции по дифференциальной геометрии , Челси, ISBN 978-0-8284-0316-0
Дальнейшее чтение
- Литература о многообразиях специальной голономии , библиография Фредерика Витта.