Полу-большие и полу-малые оси

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Большие и полу-малые оси»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( март 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение в шаблоне )

Большая полуось ( а ) и малая полуось ( б ) эллипса

Часть серии о
Астродинамика
Орбитальная механика
Орбитальные элементы Апсис Аргумент перицентра Эксцентриситет Наклон Средняя аномалия Орбитальные узлы Большая полуось Истинная аномалия
Типы двухчастичных орбит по эксцентриситету Круговая орбита Эллиптическая орбита Переходная орбита ( Переходная орбита Хомана Биэллиптическая переходная орбита ) Параболическая орбита Гиперболическая орбита Радиальная орбита Затухающая орбита
Уравнения Динамическое трение Скорость убегания Уравнение Кеплера Законы движения планет Кеплера Орбитальный период Орбитальная скорость Поверхностная гравитация Удельная орбитальная энергия Уравнение Vis-viva
Небесная механика
Гравитационные воздействия Барицентр Сфера холма Возмущения Сфера влияния
N-тела орбиты Лагранжевые точки ( Орбиты гало ) Орбиты Лиссажу Ляпуновские орбиты
Инженерия и эффективность
Предполетная инженерия Соотношение масс Доля полезной нагрузки Массовая доля топлива Уравнение ракеты Циолковского
Меры эффективности Помощь гравитации Эффект Оберта
v т е

В геометрии , то главная ось из эллипса является его длинным диаметром : а отрезок линии , которая проходит через центр и оба очагов , с концами в самых широких точках периметра . Большая полуось ( основные полуоси ) является самой длинной полудиаметр или одна половиной главной оси, и , таким образом , проходит от центра, через фокус , и по периметру. Ось полу-минор ( незначительные полуось ) эллипса или гиперболы отрезок , который находится под прямым угломс большой полуосью и имеет один конец в центре конического сечения. В частном случае круга длины полуосей равны радиусу круга.

Длина большой полуоси a эллипса связана с длиной малой полуоси b через эксцентриситет е и прямую полуось следующим образом:${\ displaystyle \ ell}$

${\ displaystyle {\ begin {align} b & = a {\ sqrt {1-e ^ {2}}}, \\\ ell & = a (1-e ^ {2}), \\ a \ ell & = Ь ^ {2}. \ end {выровнено}}}$

Большая полуось гиперболы - это, в зависимости от соглашения, плюс или минус половина расстояния между двумя ветвями. Таким образом, это расстояние от центра до любой вершины гиперболы.

Парабола может быть получена как предел последовательности эллипсов , где один фокус сохраняется фиксированными , как другие могут двигаться сколь угодно далека в одном направлении, сохраняя фиксированным. Таким образом, a и b стремятся к бесконечности, а быстрее, чем b .${\ displaystyle \ ell}$

Большая и малая оси являются осями симметрии кривой: в эллипсе малая ось является более короткой; в гиперболе это тот, который не пересекает гиперболу.

Эллипс

Уравнение эллипса:

${\ displaystyle {\ frac {(xh) ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {(yk) ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1,}$

где ( h ,  k ) - центр эллипса в декартовых координатах , в котором произвольная точка задается как ( x ,  y ).

Большая полуось среднего значения максимальных и минимальных расстояний и эллипса с фокуса - то есть расстояния от фокуса на концы главной оси: ^{[ править ]}${\ displaystyle r _ {\ text {max}}}$${\ displaystyle r _ {\ text {min}}}$

${\ displaystyle a = {\ frac {r _ {\ text {max}} + r _ {\ text {min}}} {2}}.}$

В астрономии эти крайние точки называют апсидами . ^[1]

Малая полуось эллипса - это среднее геометрическое этих расстояний:

${\ displaystyle b = {\ sqrt {r _ {\ text {max}} r _ {\ text {min}}}}.}$

Эксцентриситет эллипса определяется как

${\ displaystyle e = {\ sqrt {1 - {\ frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}}},}$

так

${\ displaystyle r _ {\ text {min}} = a (1-e), \ quad r _ {\ text {max}} = a (1 + e).}$

Теперь рассмотрим уравнение в полярных координатах , с одним фокусом в начале, а другой в направлении:${\ displaystyle \ theta = \ pi}$

${\ Displaystyle г (1 + е \ соз \ тета) = \ ell.}$

Среднее значение и для и равно${\ Displaystyle г = \ ell / (1-е)}$${\ Displaystyle г = \ ell / (1 + е)}$${\ displaystyle \ theta = \ pi}$${\ displaystyle \ theta = 0}$

${\ displaystyle a = {\ frac {\ ell} {1-e ^ {2}}}.}$

В эллипсе большая полуось - это среднее геометрическое расстояние от центра до любого фокуса и расстояние от центра до любой директрисы.

Малая полуось эллипса проходит от центра эллипса (точка на полпути между фокусами и на линии, проходящей между фокусами ) до края эллипса. Малая полуось - это половина малой оси. Малая ось - это самый длинный отрезок, перпендикулярный большой оси, который соединяет две точки на краю эллипса.

Малая полуось b связана с большой полуосью а через эксцентриситет е и прямую полуось :${\ displaystyle \ ell}$

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=a{\sqrt {1-e^{2}}},\\a\ell &=b^{2}.\end{aligned}}}$

Парабола может быть получена как предел последовательности эллипсов , где один фокус сохраняется фиксированными , как другие могут двигаться сколь угодно далека в одном направлении, сохраняя фиксированным. Таким образом, a и b стремятся к бесконечности, а быстрее, чем b .${\displaystyle \ell }$

Длину малой полуоси можно также найти по следующей формуле: ^[2]

${\displaystyle 2b={\sqrt {(p+q)^{2}-f^{2}}},}$

где f - расстояние между фокусами, p и q - расстояния от каждого фокуса до любой точки эллипса.

Гипербола

Большая полуось гиперболы составляет, в зависимости от соглашения, плюс или минус половина расстояния между двумя ветвями; если это в направлении оси х уравнение: ^{[ править ]}

${\displaystyle {\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1.}$

С точки зрения полу-латуса прямой кишки и эксцентриситета мы имеем

${\displaystyle a={\ell \over e^{2}-1}.}$

Поперечная ось гиперболы совпадает с большой осью. ^[3]

В гиперболе сопряженная ось или малая ось длины , соответствующая малой оси эллипса, может быть проведена перпендикулярно поперечной оси или большой оси, последняя соединяет две вершины (точки поворота) гиперболы с две оси, пересекающиеся в центре гиперболы. Концы малой оси лежат на высоте асимптот над / под вершинами гиперболы. Любая половина малой оси называется малой полуосью длиной b . Обозначая длину большой полуоси (расстояние от центра до вершины) как a , длины малой и большой полуосей появляются в уравнении гиперболы относительно этих осей следующим образом:${\displaystyle 2b}$${\displaystyle (0,\pm b)}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}$

Малая полуось - это также расстояние от одного из фокусов гиперболы до асимптоты. Часто называемый прицельным параметром , он важен в физике и астрономии и позволяет измерить расстояние, на которое частица не попадет в фокус, если ее путешествие не будет нарушено телом в фокусе. ^{[ необходима цитата ]}

Малая полуось и большая полуось связаны через эксцентриситет следующим образом:

${\displaystyle b=a{\sqrt {e^{2}-1}}.}$^[4]

Обратите внимание, что в гиперболе b может быть больше, чем a . ^[5]

Астрономия

Орбитальный период

В астродинамике период обращения T малого тела, вращающегося вокруг центрального тела по круговой или эллиптической орбите, равен: ^[1]

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}},}$

куда:

${\displaystyle \mu }$- стандартный гравитационный параметр центрального тела.

Обратите внимание, что для всех эллипсов с данной большой полуосью период обращения один и тот же, без учета их эксцентриситета.

Удельный момент ч небольшого тела на орбите центрального тела по круговой или эллиптической орбите ^[1]

${\displaystyle h={\sqrt {a\mu (1-e^{2})}},}$

куда:

a и определены выше,${\displaystyle \mu }$

В астрономии , то большая полуось является одним из наиболее важных элементов орбиты в качестве орбиты , наряду с ее орбитальным периодом . Для объектов Солнечной системы большая полуось связана с периодом орбиты третьим законом Кеплера (первоначально полученным эмпирическим путем): ^[1]

${\displaystyle T^{2}\propto a^{3},}$

где Т это период, а является большой полуосью. Эта форма оказывается упрощением общей формы задачи двух тел , определенной Ньютоном : ^[1]

${\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3},}$

где G - гравитационная постоянная , M - масса центрального тела, а m - масса движущегося по орбите тела. Обычно масса центрального тела настолько больше, чем масса вращающегося тела, что m можно не принимать во внимание. Сделав это предположение и используя типичные астрономические единицы, мы получили более простую форму, которую открыл Кеплер.

Путь движущегося по орбите тела вокруг центра масс и его путь относительно его первичного элемента являются эллипсами. ^[1] Большая полуось иногда используется в астрономии как расстояние от первичного к вторичному, когда отношение масс первичного к вторичному значению значительно ( ); таким образом, орбитальные параметры планет даны в гелиоцентрических терминах. Разницу между примоцентрическими и «абсолютными» орбитами лучше всего можно проиллюстрировать, взглянув на систему Земля – Луна. Отношение масс в этом случае равно${\displaystyle M\gg m}$81,300 59 . Характерное расстояние Земля – Луна, большая полуось геоцентрической лунной орбиты, составляет 384 400 км. (Учитывая эксцентриситет лунной орбиты e  = 0,0549, ее малая полуось составляет 383 800 км. Таким образом, орбита Луны почти круговая.) Барицентрическая лунная орбита, с другой стороны, имеет большую полуось 379 730 км, земную. встречная орбита, принимая разницу, 4670 км. Средняя барицентрическая орбитальная скорость Луны составляет 1,010 км / с, а у Земли - 0,012 км / с. Сумма этих скоростей дает геоцентрическую среднюю орбитальную скорость Луны 1,022 км / с; такое же значение можно получить, рассматривая только значение большой геоцентрической полуоси. ^{[ необходима цитата ]}

Среднее расстояние

Часто говорят, что большая полуось - это «среднее» расстояние между основным фокусом эллипса и движущимся по орбите телом. Это не совсем точно, потому что это зависит от того, что принимается за среднее значение.

• усреднение расстояния по эксцентрической аномалии действительно приводит к большой полуоси.
• усреднение по истинной аномалии (истинный орбитальный угол, измеренный в фокусе) приводит к малой полуоси .${\displaystyle b=a{\sqrt {1-e^{2}}}}$
• усреднение по средней аномалии (доля орбитального периода, прошедшего с перицентра, выраженная в виде угла) дает среднее значение по времени .${\displaystyle a\left(1+{\frac {e^{2}}{2}}\right)\,}$

Усредненное по времени значение обратной величины радиуса,, равно .${\displaystyle r^{-1}}$${\displaystyle a^{-1}}$

Энергия; вычисление большой полуоси из векторов состояния

В астродинамике большая полуось a может быть вычислена из векторов орбитального состояния :

${\displaystyle a=-{\frac {\mu }{2\varepsilon }}}$

для эллиптической орбиты и, в зависимости от соглашения, то же или

${\displaystyle a={\frac {\mu }{2\varepsilon }}}$

для гиперболической траектории и

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{|\mathbf {r} |}}}$

( удельная орбитальная энергия ) и

${\displaystyle \mu =GM,}$

( стандартный гравитационный параметр ), где:

v - орбитальная скорость от вектора скорости движущегося по орбите объекта,

r - декартов вектор положения орбитального объекта в координатах системы отсчета, относительно которой должны быть вычислены элементы орбиты (например, геоцентрическая экваториальная линия для орбиты вокруг Земли или гелиоцентрическая эклиптика для орбиты вокруг Солнца),

G - гравитационная постоянная ,

M - масса гравитирующего тела, а

${\displaystyle \varepsilon }$ - удельная энергия движущегося по орбите тела.

Обратите внимание, что для данного количества общей массы удельная энергия и большая полуось всегда одинаковы, независимо от эксцентриситета или соотношения масс. И наоборот, для данной полной массы и большой полуоси полная удельная орбитальная энергия всегда одинакова. Это утверждение всегда будет верным при любых условиях. ^{[ необходима цитата ]}

Полу-большая и полу-малая оси орбит планет

Орбиты планет всегда приводятся в качестве ярких примеров эллипсов ( первый закон Кеплера ). Однако минимальная разница между большой и малой полуосями показывает, что они практически круглые по внешнему виду. Эта разница (или отношение) основывается на эксцентриситете и вычисляется как , что для типичных эксцентриситетов планет дает очень маленькие результаты.${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {1}{\sqrt {1-e^{2}}}}}$

Причина предположения о выдающихся эллиптических орбитах, вероятно, кроется в гораздо большей разнице между афелием и перигелием. Эта разница (или соотношение) также основывается на эксцентриситете и рассчитывается как . Из-за большой разницы между афелием и перигелием второй закон Кеплера легко визуализировать. ${\displaystyle {\frac {r_{\text{a}}}{r_{\text{p}}}}={\frac {1+e}{1-e}}}$

использованная литература

внешние ссылки

• Большая и полу-малая оси эллипса с интерактивной анимацией