Многообразие
В математике многообразие — это топологическое пространство , которое локально напоминает евклидово пространство вблизи каждой точки. Точнее, n - мерное многообразие, или сокращенно n - многообразие , представляет собой топологическое пространство, обладающее тем свойством, что каждая точка имеет окрестность , гомеоморфную открытому подмножеству n - мерного евклидова пространства.
Одномерные многообразия включают линии и окружности , но не восьмерки . Двумерные многообразия также называют поверхностями . Примеры включают плоскость , сферу и тор , а также бутылку Клейна и реальную проективную плоскость .
Понятие многообразия занимает центральное место во многих разделах геометрии и современной математической физики , поскольку оно позволяет описывать сложные структуры в терминах хорошо понятных топологических свойств более простых пространств. Многообразия естественным образом возникают как наборы решений систем уравнений и как графики функций. Эта концепция имеет приложения в компьютерной графике, учитывая необходимость связывания изображений с координатами (например, компьютерная томография ).
Коллекторы могут быть оснащены дополнительной конструкцией. Одним из важных классов многообразий являются дифференцируемые многообразия ; их дифференцируемая структура позволяет проводить вычисления . Риманова метрика на многообразии позволяет измерять расстояния и углы . Симплектические многообразия служат фазовыми пространствами в гамильтоновом формализме классической механики , в то время как четырехмерные лоренцевы многообразия моделируют пространство -время в общей теории относительности .
После линии окружность является простейшим примером топологического многообразия. Топология игнорирует изгиб, поэтому маленький кусочек круга рассматривается так же, как маленький кусочек линии. Рассмотрим, например, верхнюю часть единичного круга x 2 + y 2 = 1, где координата y положительна (обозначена желтой дугой на рисунке 1 ). Любая точка этой дуги может быть однозначно описана своей координатой x . Итак, проекция на первую координату — это непрерывное и обратимое отображение из верхней дуги в открытый интервал (−1, 1):
Такие функции вместе с открытыми областями, которые они отображают, называются диаграммами . Точно так же есть диаграммы для нижней (красная), левой (синяя) и правой (зеленая) частей круга:
