Чередующиеся серии

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Поиск источников:  «Чередующиеся серии»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( январь 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , знакопеременный ряд является AN бесконечной серии вида

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} a_ {n}}$ или же ${\ Displaystyle \ сумма _ {п = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {п + 1} а_ {п}}$

с в _п > 0 для всех  п . Знаки общих терминов чередуются между положительными и отрицательными. Как и любой серия, знакопеременной ряд сходится тогда и только тогда , когда ассоциированная последовательность частичных сумм сходятся .

Примеры [ править ]

Геометрический ряд 1/2 - 1/4 + 1/8 - 1/16 + ⋯ суммируется до 1/3.

Переменный гармонический ряд имеет конечную сумму , но гармонический ряд не делает.

Серии Меркатора обеспечивает аналитическое выражение натурального логарифма :

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n + 1}} {n}} x ^ {n} \; = \; \ ln (1+ Икс).}$

Функции синуса и косинуса, используемые в тригонометрии, могут быть определены как чередующиеся ряды в исчислении, даже если они вводятся в элементарной алгебре как отношение сторон прямоугольного треугольника. По факту,

${\ displaystyle \ sin x = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac {x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!}}}$, а также

${\ displaystyle \ cos x = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac {x ^ {2n}} {(2n)!}}.}$

Когда переменный множитель (–1) ⁿ удаляется из этих рядов, можно получить гиперболические функции sinh и ch, используемые в исчислении.

Для целого или положительного индекса α функция Бесселя первого рода может быть определена знакопеременным рядом

${\ displaystyle J _ {\ alpha} (x) = \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {m}} {m! \, \ Gamma (m + \ alpha + 1)}} {\ left ({\ frac {x} {2}} \ right)} ^ {2m + \ alpha}}$   где Γ ( z ) - гамма-функция .

Если s - комплексное число , эта функция Дирихле формируется как чередующийся ряд

${\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots }$

что используется в аналитической теории чисел .

Тест чередующейся серии [ править ]

Теорема, известная как «тест Лейбница» или тест чередующихся серий, говорит нам, что чередующиеся ряды сходятся, если члены a _n монотонно сходятся к 0 .

Доказательство. Предположим, что последовательность сходится к нулю и монотонно убывает. Если нечетно и , мы получаем оценку с помощью следующего вычисления:${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m<n}$${\displaystyle S_{n}-S_{m}\leq a_{m}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}-S_{m}&=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\,a_{k}\,-\,\sum _{k=0}^{m}\,(-1)^{k}\,a_{k}\ =\sum _{k=m+1}^{n}\,(-1)^{k}\,a_{k}\\&=a_{m+1}-a_{m+2}+a_{m+3}-a_{m+4}+\cdots +a_{n}\\&=\displaystyle a_{m+1}-(a_{m+2}-a_{m+3})-(a_{m+4}-a_{m+5})-\cdots -a_{n}\leq a_{m+1}\leq a_{m}.\end{aligned}}}$

Поскольку монотонно убывает, члены отрицательные. Таким образом, мы имеем окончательное неравенство: . Точно так же можно показать, что . Поскольку сходится к , наши частичные суммы образуют последовательность Коши (т. Е. Ряд удовлетворяет критерию Коши ) и, следовательно, сходятся. Аргумент в пользу даже аналогичен.${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle -(a_{m}-a_{m+1})}$${\displaystyle S_{n}-S_{m}\leq a_{m}}$${\displaystyle -a_{m}\leq S_{n}-S_{m}}$${\displaystyle a_{m}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle S_{m}}$${\displaystyle m}$

Примерные суммы [ править ]

Приведенная выше оценка не зависит от . Таким образом, если приближается к 0 монотонно, оценка дает оценку погрешности для приближения бесконечных сумм частичными суммами:${\displaystyle n}$${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle \left|\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\,a_{k}\,-\,\sum _{k=0}^{m}\,(-1)^{k}\,a_{k}\right|\leq |a_{m+1}|.}$

Абсолютная конвергенция [ править ]

Серия сходится абсолютно, если она сходится.${\displaystyle \sum a_{n}}$ ${\displaystyle \sum |a_{n}|}$

Теорема: абсолютно сходящиеся ряды сходятся.

Доказательство: предположим, что он абсолютно сходится. Тогда сходится и, следовательно, также сходится. Поскольку ряд сходится при проверке сравнения . Следовательно, ряд сходится как разность двух сходящихся рядов .${\displaystyle \sum a_{n}}$${\displaystyle \sum |a_{n}|}$${\displaystyle \sum 2|a_{n}|}$${\displaystyle 0\leq a_{n}+|a_{n}|\leq 2|a_{n}|}$${\displaystyle \sum (a_{n}+|a_{n}|)}$${\displaystyle \sum a_{n}}$${\displaystyle \sum a_{n}=\sum (a_{n}+|a_{n}|)-\sum |a_{n}|}$

Условная конвергенция [ править ]

Ряд условно сходится, если сходится, но не сходится абсолютно.

Например, гармонический ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}},\!}$

расходится, а альтернативная версия

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}},\!}$

сходится по критерию знакопеременной серии .

Перестановки [ править ]

Для любого ряда мы можем создать новый ряд, изменив порядок суммирования. Ряд безусловно сходится, если любая перестановка создает ряд с той же сходимостью, что и исходный ряд. Абсолютно сходящиеся ряды сходятся безусловно . Но теорема о рядах Римана утверждает, что условно сходящиеся ряды можно переставить, чтобы создать произвольную сходимость. ^[1] Общий принцип состоит в том, что сложение бесконечных сумм коммутативно только для абсолютно сходящихся рядов.

Например, одно ложное доказательство того, что 1 = 0, использует несостоятельность ассоциативности для бесконечных сумм.

В качестве другого примера мы знаем, что

${\displaystyle \ln(2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots .}$

Но поскольку ряды не сходятся абсолютно, мы можем переставить члены, чтобы получить ряд для :${\displaystyle {\frac {1}{2}}\ln(2)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots \right)={\frac {1}{2}}\ln(2).\end{aligned}}}$

Серийное ускорение [ править ]

На практике численное суммирование переменного ряда может быть ускорено с использованием любого из множества методов последовательного ускорения . Одним из старейших методов является суммирование по Эйлеру , и существует множество современных методов, которые могут предложить еще более быструю сходимость.

См. Также [ править ]

• Серия Гранди
• Интеграл Норлунда – Райса

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Эрл Д. Рейнвилл (1967) Бесконечная серия , стр. 73–6, Macmillan Publishers .
• Вайсштейн, Эрик В. «Чередующиеся серии» . MathWorld .