Икосаэдр имеет 60 вращение (или сохраняющее ориентацию) симметрии, и порядок симметрии 120 в том числе преобразований , которые сочетают в себе отражение и вращение. Додекаэдра имеет тот же набор симметрий, так как она является двойной икосаэдра.
Помимо двух бесконечных серий призматической и антипризматической симметрии, вращательной икосаэдрической симметрии или киральной икосаэдрической симметрии киральных объектов и полной икосаэдрической симметрии или ахиральной икосаэдрической симметрии есть дискретные точечные симметрии (или, что эквивалентно, симметрии на сфере ) с наибольшими группами симметрии .
Ребра сферического соединения из пяти октаэдров представляют 15 зеркальных плоскостей в виде больших цветных кругов. Каждый октаэдр своими краями может представлять 3 ортогональные зеркальные плоскости.
Pyritohedral симметрия является индекс 5 подгруппой икосаэдрической симметрии, с 3 ортогональными зелеными линиями отражения и 8 красных порядка 3 гирационных точек. Существует 5 различных ориентаций пиритоэдрической симметрии.
Группа содержит 5 версий T h с 20 версиями D 3 (10 осей, по 2 на каждую ось) и 6 версий D 5 .
В полная группа икосаэдра я ч имеет порядок 120. Он имеетIкачественормальной подгруппыизиндекса2. ГруппаI ч изоморфнаI×Z2, илиA5×Z2, синверсией в центресоответствующего элементу (идентичности, -1), гдеZ2записывается мультипликативно.
I h действует на соединение пяти кубов и соединение пяти октаэдров , но −1 действует как тождество (поскольку кубы и октаэдры центрально-симметричны). Он действует на соединение десяти тетраэдров : I действует на две хиральные половины ( соединения пяти тетраэдров ), а -1 меняет местами две половинки. Примечательно, что он не действует как S 5 , и эти группы не изоморфны; подробности см. ниже.
В группу входят 10 версий D 3d и 6 версий D 5d (симметрии типа антиприз).
I также изоморфен PSL 2 (5), но I h не изоморфен SL 2 (5).
Изоморфизм I с A 5
Полезно подробно описать, как выглядит изоморфизм между I и A 5 . В следующей таблице, перестановки Р я и Q я действовать от 5 до 12 элементов , соответственно, в то время как матрицы поворота M я являемся элементами I . Если P k является продуктом взятия перестановки P i и применения к ней P j , то для тех же значений i , j и k также верно, что Q k является произведением взятия Q i и применения Q j , а также, что предварительное умножение вектора на M k аналогично предварительному умножению этого вектора на M i и последующему предварительному умножению этого результата на M j , то есть M k = M j × M i . Поскольку все перестановки P i представляют собой 60 четных перестановок 12345, взаимно однозначное соответствие делается явным, следовательно, и изоморфизм.
Матрица вращения
Перестановка 5 на 1 2 3 4 5
Перестановка 12 на 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
знак равно
знак равно
= (3 4 5)
= (1 11 8) (2 9 6) (3 5 12) (4 7 10)
= (3 5 4)
= (1 8 11) (2 6 9) (3 12 5) (4 10 7)
= (2 3) (4 5)
= (1 12) (2 8) (3 6) (4 9) (5 10) (7 11)
= (2 3 4)
= (1 2 3) (4 5 6) (7 9 8) (10 11 12)
= (2 3 5)
= (1 7 5) (2 4 11) (3 10 9) (6 8 12)
= (2 4 3)
= (1 3 2) (4 6 5) (7 8 9) (10 12 11)
= (2 4 5)
= (1 10 6) (2 7 12) (3 4 8) (5 11 9)
= (2 4) (3 5)
= (1 9) (2 5) (3 11) (4 12) (6 7) (8 10)
= (2 5 3)
= (1 5 7) (2 11 4) (3 9 10) (6 12 8)
= (2 5 4)
= (1 6 10) (2 12 7) (3 8 4) (5 9 11)
= (2 5) (3 4)
= (1 4) (2 10) (3 7) (5 8) (6 11) (9 12)
= (1 2) (4 5)
= (1 3) (2 4) (5 8) (6 7) (9 10) (11 12)
= (1 2) (3 4)
= (1 5) (2 7) (3 11) (4 9) (6 10) (8 12)
= (1 2) (3 5)
= (1 12) (2 10) (3 8) (4 6) (5 11) (7 9)
= (1 2 3)
= (1 11 6) (2 5 9) (3 7 12) (4 10 8)
= (1 2 3 4 5)
= (1 6 5 3 9) (4 12 7 8 11)
= (1 2 3 5 4)
= (1 4 8 6 2) (5 7 10 12 9)
= (1 2 4 5 3)
= (1 8 7 3 10) (2 12 5 6 11)
= (1 2 4)
= (1 7 4) (2 11 8) (3 5 10) (6 9 12)
= (1 2 4 3 5)
= (1 2 9 11 7) (3 6 12 10 4)
= (1 2 5 4 3)
= (2 3 4 7 5) (6 8 10 11 9)
= (1 2 5)
= (1 9 8) (2 6 3) (4 5 12) (7 11 10)
= (1 2 5 3 4)
= (1 10 5 4 11) (2 8 9 3 12)
= (1 3 2)
= (1 6 11) (2 9 5) (3 12 7) (4 8 10)
= (1 3 4 5 2)
= (2 5 7 4 3) (6 9 11 10 8)
= (1 3 5 4 2)
= (1 10 3 7 8) (2 11 6 5 12)
= (1 3) (4 5)
= (1 7) (2 10) (3 11) (4 5) (6 12) (8 9)
= (1 3 4)
= (1 9 10) (2 12 4) (3 6 8) (5 11 7)
= (1 3 5)
= (1 3 4) (2 8 7) (5 6 10) (9 12 11)
= (1 3) (2 4)
= (1 12) (2 6) (3 9) (4 11) (5 8) (7 10)
= (1 3 2 4 5)
= (1 4 10 11 5) (2 3 8 12 9)
= (1 3 5 2 4)
= (1 5 9 6 3) (4 7 11 12 8)
= (1 3) (2 5)
= (1 2) (3 5) (4 9) (6 7) (8 11) (10 12)
= (1 3 2 5 4)
= (1 11 2 7 9) (3 10 6 4 12)
= (1 3 4 2 5)
= (1 8 2 4 6) (5 10 9 7 12)
= (1 4 5 3 2)
= (1 2 6 8 4) (5 9 12 10 7)
= (1 4 2)
= (1 4 7) (2 8 11) (3 10 5) (6 12 9)
= (1 4 3 5 2)
= (1 11 4 5 10) (2 12 3 9 8)
= (1 4 3)
= (1 10 9) (2 4 12) (3 8 6) (5 7 11)
= (1 4 5)
= (1 5 2) (3 7 9) (4 11 6) (8 10 12)
= (1 4) (3 5)
= (1 6) (2 3) (4 9) (5 8) (7 12) (10 11)
= (1 4 5 2 3)
= (1 9 7 2 11) (3 12 4 6 10)
= (1 4) (2 3)
= (1 8) (2 10) (3 4) (5 12) (6 7) (9 11)
= (1 4 2 3 5)
= (2 7 3 5 4) (6 11 8 9 10)
= (1 4 2 5 3)
= (1 3 6 9 5) (4 8 12 11 7)
= (1 4 3 2 5)
= (1 7 10 8 3) (2 5 11 12 6)
= (1 4) (2 5)
= (1 12) (2 9) (3 11) (4 10) (5 6) (7 8)
= (1 5 4 3 2)
= (1 9 3 5 6) (4 11 8 7 12)
= (1 5 2)
= (1 8 9) (2 3 6) (4 12 5) (7 10 11)
= (1 5 3 4 2)
= (1 7 11 9 2) (3 4 10 12 6)
= (1 5 3)
= (1 4 3) (2 7 8) (5 10 6) (9 11 12)
= (1 5 4)
= (1 2 5) (3 9 7) (4 6 11) (8 12 10)
= (1 5) (3 4)
= (1 12) (2 11) (3 10) (4 8) (5 9) (6 7)
= (1 5 4 2 3)
= (1 5 11 10 4) (2 9 12 8 3)
= (1 5) (2 3)
= (1 10) (2 12) (3 11) (4 7) (5 8) (6 9)
= (1 5 2 3 4)
= (1 3 8 10 7) (2 6 12 11 5)
= (1 5 2 4 3)
= (1 6 4 2 8) (5 12 7 9 10)
= (1 5 3 2 4)
= (2 4 5 3 7) (6 10 9 8 11)
= (1 5) (2 4)
= (1 11) (2 10) (3 12) (4 9) (5 7) (6 8)
Обычно путают группы
Все следующие группы имеют порядок 120, но не изоморфны:
S 5 , симметричная группа на 5 элементах
I h , полная группа икосаэдра (тема этой статьи, также известная как H 3 )
2 I , бинарная группа икосаэдра
Они соответствуют следующим коротким точным последовательностям (последняя из которых не разделяется) и произведению
В словах,
является нормальной подгруппой в
является фактором , из, который является прямым продуктом
является фактор - группа из
Обратите внимание, что имеет исключительное неприводимое трехмерное представление (как группа вращений икосаэдра), но не имеет неприводимого трехмерного представления, соответствующего полной группе икосаэдра, не являющейся симметрической группой.
Они также могут быть связаны с линейными группами над конечным полем с пятью элементами, которые непосредственно показывают подгруппы и накрывающие группы; ни одна из них не является полной группой икосаэдров:
проективная специальная линейная группа , см здесь для доказательства;
проективная общая линейная группа ;
специальная линейная группа .
Классы сопряженности
120 симметрий делятся на 10 классов сопряженности.
классы сопряженности
я
дополнительные классы I h
личность, порядок 1
12-кратное вращение на ± 72 °, порядок 5, вокруг 6 осей через центры граней додекаэдра
12-кратное вращение на ± 144 °, порядок 5, вокруг 6 осей через центры граней додекаэдра
20-кратное вращение на ± 120 °, порядок 3, вокруг 10 осей через вершины додекаэдра
15-кратный поворот на 180 °, порядок 2, вокруг 15 осей через середины ребер додекаэдра
центральная инверсия, порядок 2
12 × вращательное отражение на ± 36 °, порядка 10, вокруг 6 осей через центры граней додекаэдра
12 × вращательное отражение на ± 108 °, порядка 10, вокруг 6 осей через центры граней додекаэдра
20 × вращательное отражение на ± 60 °, порядок 6, вокруг 10 осей через вершины додекаэдра
15-кратное отражение, порядок 2, в 15 плоскостях, проходящих через ребра додекаэдра
Подгруппы полной группы симметрии икосаэдра
Отношения подгруппы
Отношения киральных подгрупп
Каждая строка в следующей таблице представляет один класс сопряженных (т. Е. Геометрически эквивалентных) подгрупп. Колонка «Мульт». (кратность) дает количество различных подгрупп в классе сопряженности. Расшифровка цветов: зеленый = группы, образованные отражениями, красный = хиральные (сохраняющие ориентацию) группы, которые содержат только вращения.
Группы описываются геометрически в терминах додекаэдра. Аббревиатура «hts (край)» означает «полутоновый поворот, меняющий местами этот край с его противоположным краем», и аналогично для «грань» и «вершина».
Schön.
Coxeter
Сфера.
HM
Состав
Цикл.
Заказ
Индекс
Mult.
Описание
Я ч
[5,3]
* 532
53 2 / м
А 5 × Z 2
120
1
1
полная группа
Д 2ч
[2,2]
* 222
М-м-м
Dih 2 × Dih 1 = Dih 1 3
8
15
5
фиксация двух противоположных краев, возможно, их поменять местами
C 5v
[5]
* 55
5м
Dih 5
10
12
6
исправление лица
C 3v
[3]
* 33
3м
Dih 3 = S 3
6
20
10
фиксация вершины
C 2v
[2]
* 22
2мм
Dih 2 = Dih 1 2
4
30
15
закрепление края
C s
[]
*
2 или м
Dih 1
2
60
15
отражение, меняющее местами две конечные точки ребра
Т ч
[ 3+ , 4]
3 * 2
м 3
А 4 × Z 2
24
5
5
пиритоэдрическая группа
D 5d
[ 2+ , 10]
2 * 5
10 кв.м.
Dih 10 = Z 2 × Dih 5
20
6
6
фиксация двух противоположных граней, возможно, их поменять местами
D 3d
[ 2+ , 6]
2 * 3
3 мес.
Dih 6 = Z 2 × Dih 3
12
10
10
фиксируя две противоположные вершины, возможно, поменяв их местами
D 1d = C 2h
[ 2+ , 2]
2 *
2 / м
Dih 2 = Z 2 × Dih 1
4
30
15
половина поворота вокруг середины края, плюс центральная инверсия
С 10
[ 2+ , 10+ ]
5 ×
5
Z 10 = Z 2 × Z 5
10
12
6
повороты лица плюс центральная инверсия
S 6
[ 2+ , 6+ ]
3 ×
3
Z 6 = Z 2 × Z 3
6
20
10
вращения вокруг вершины плюс центральная инверсия
S 2
[2 + , 2 + ]
×
1
Z 2
2
60
1
центральная инверсия
я
[5,3] +
532
532
А 5
60
2
1
все вращения
Т
[3,3] +
332
332
А 4
12
10
5
вращения содержащегося тетраэдра
D 5
[2,5] +
522
522
Dih 5
10
12
6
вращения вокруг центра лица и hts (лицо)
D 3
[2,3] +
322
322
Dih 3 = S 3
6
20
10
вращения вокруг вершины и hts (вершина)
D 2
[2,2] +
222
222
Dih 2 = Z 2 2
4
30
15
половина поворота вокруг середины края и hts (край)
С 5
[5] +
55
5
Z 5
5
24
6
вращения вокруг центра лица
C 3
[3] +
33
3
Z 3 = A 3
3
40
10
вращения вокруг вершины
C 2
[2] +
22
2
Z 2
2
60
15
пол-оборота вокруг середины края
C 1
[] +
11
1
Z 1
1
120
1
тривиальная группа
Стабилизаторы Vertex
Стабилизаторы противоположной пары вершин можно интерпретировать как стабилизаторы оси, которую они порождают.
стабилизаторы вершин в I задают циклические группы C 3
стабилизаторы вершин в I h дают группы диэдра D 3
стабилизаторы противоположной пары вершин в I дают группы диэдра D 3
стабилизаторы противоположной пары вершин в I h дают
Стабилизаторы кромки
Стабилизаторы противоположной пары ребер можно интерпретировать как стабилизаторы прямоугольника, который они создают.
стабилизаторы ребер в I задают циклические группы Z 2
стабилизаторы ребер в I h дают четыре группы Клейна
стабилизаторы пары ребер I дают Klein четыре-группы ; их 5, которые задаются поворотом на 180 ° по 3 перпендикулярным осям.
стабилизаторы пары ребер в I h дают; их 5, они задаются отражениями в 3 перпендикулярных осях.
Стабилизаторы лица
Стабилизаторы противоположной пары граней можно интерпретировать как стабилизаторы создаваемой ими антипризмы .
стабилизаторы граней в I даю циклические группы C 5
стабилизаторы граней в I h дают диэдральные группы D 5
стабилизаторы противоположной пары граней в I дают диэдральные группы D 5
стабилизаторы противоположной пары граней в I h дают
Стабилизаторы многогранников
Для каждого из них есть 5 сопряженных копий, и действие сопряжения дает карту, действительно изоморфизм, .
стабилизаторы вписанных тетраэдров в I являются копией T
стабилизаторы вписанных тетраэдров в I h являются копией T
стабилизаторы вписанных кубов (или противоположной пары тетраэдров или октаэдров) в I являются копией T
стабилизаторы вписанных кубов (или противоположной пары тетраэдров или октаэдров) в I h являются копией T h
Генераторы группы Кокстера
Полная группа симметрии икосаэдра [5,3] () порядка 120 имеет генераторы, представленные матрицами отражения R 0 , R 1 , R 2 ниже, с соотношениями R 0 2 = R 1 2 = R 2 2 = (R 0 × R 1 ) 5 = (R 1 × R 2 ) 3 = (R 0 × R 2 ) 2 = Идентичность. Группа [5,3] + () порядка 60 порождается любыми двумя поворотами S 0,1 , S 1,2 , S 0,2 . Rotoreflection порядка 10 порождается V 0,1,2 , произведение всех 3 -х отражений. Здесьобозначает золотое сечение .
[5,3],
Размышления
Вращения
Rotoreflection
Имя
R 0
R 1
R 2
S 0,1
S 1,2
S 0,2
В 0,1,2
Группа
Заказ
2
2
2
5
3
2
10
Матрица
(1,0,0) сущ.
п
(0,1,0) п
ось
ось
ось
Фундаментальный домен
Фундаментальные области для группы вращения икосаэдра и полной группы икосаэдра задаются следующим образом:
Икосаэдрическая группа вращения I
Полная группа икосаэдра I h
Грани триаконтаэдра Дисьякиса являются основной областью
В триаконтаэдре дисьякиса одна полная грань является фундаментальной областью; другие твердые тела с такой же симметрией могут быть получены путем регулировки ориентации граней, например, сглаживания выбранных подмножеств граней для объединения каждого подмножества в одну грань или замены каждой грани несколькими гранями или изогнутой поверхности.
Многогранники с икосаэдрической симметрией
Киральные многогранники
Класс
Символы
Картина
Архимедов
ср {5,3}
Каталонский
V3.3.3.3.5
Полная симметрия икосаэдра
Платоново твердое тело
Многогранники Кеплера – Пуансо
Архимедовы тела
{5,3}
{5 / 2,5}
{5 / 2,3}
т {5,3}
т {3,5}
г {3,5}
р-р {3,5}
тр {3,5}
Платоново твердое тело
Многогранники Кеплера – Пуансо
Каталонские твердые вещества
{3,5} знак равно
{5,5 / 2} знак равно
{3,5 / 2} знак равно
V3.10.10
V5.6.6
V3.5.3.5
V3.4.5.4
V4.6.10
Другие объекты с икосаэдрической симметрией
Примеры симметрии икосаэдра
Капсид аденовируса
Додекаборат ион [B 12 H 12 ] 2-
Поверхности Барта
Структура вируса и капсид
В химии додекаборат- ион ([B 12 H 12 ] 2- ) и молекула додекаэдрана (C 20 H 20 )
Жидкие кристаллы с икосаэдрической симметрией
Для промежуточной материальной фазы, называемой жидкими кристаллами, существование икосаэдрической симметрии было предложено Х. Клейнертом и К. Маки [2], и ее структура была впервые подробно проанализирована в этой статье. См. Обзорную статью здесь . В алюминии структура икосаэдра была экспериментально обнаружена через три года после этого Дэном Шехтманом , что принесло ему Нобелевскую премию в 2011 году.
Связанные геометрии
Икосаэдральная симметрия эквивалентно проективной специальной линейной группе PSL (2,5) и является группой симметрии модулярной кривой X (5), а в более общем смысле PSL (2, p ) является группой симметрии модулярной кривой X ( p ). Модульная кривая X (5) геометрически представляет собой додекаэдр с острием в центре каждой многоугольной грани, что демонстрирует группу симметрии.
Эта геометрия и связанная с ней группа симметрии изучались Феликсом Клейном как группы монодромии поверхности Белого - римановой поверхности с голоморфным отображением на сферу Римана, разветвленной только в точках 0, 1 и бесконечности ( функция Белого ) - точки возврата - это точки, лежащие над бесконечностью, а вершины и центры каждого ребра лежат над 0 и 1; степень покрытия (количество листов) равна 5.
Это возникло в результате его попыток дать геометрическое обоснование того, почему икосаэдрическая симметрия возникла при решении уравнения пятой степени , с теорией, изложенной в знаменитом ( Klein 1888 ); современное изложение дано в ( Tóth 2002 , Раздел 1.6, Дополнительная тема: Теория Икосаэдра Кляйна, стр. 66 ).
Исследования Кляйна продолжились его открытием симметрий 7-го и 11-го порядка в ( Klein & 1878 / 79b ).ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFKlein1878 / 79b ( справка )и ( Klein 1879 ) (и связанные покрытия степени 7 и 11) и детские рисунки , первая из которых дала квартику Клейна , ассоциированная геометрия которой имеет разбиение на 24 семиугольника (с куспидом в центре каждого).
Аналогичная геометрия имеет место для PSL (2, n ) и более общих групп для других модулярных кривых.
Более экзотично, существуют особые связи между группами PSL (2,5) (порядок 60), PSL (2,7) (порядок 168) и PSL (2,11) (порядок 660), которые также допускают геометрическую интерпретацию - PSL (2,5) - симметрии икосаэдра (род 0), PSL (2,7) квартики Клейна (род 3) и PSL (2,11) поверхности бакибола (род 70). Эти группы образуют « троицу » в смысле Владимира Арнольда , что дает основу для различных отношений; подробности см. в троицах .
Существует тесная связь с другими Платоновыми телами .
Смотрите также
Тетраэдрическая симметрия
Октаэдрическая симметрия
Бинарная группа икосаэдра
Икозианское исчисление
Рекомендации
↑ Сэр Уильям Роуэн Гамильтон (1856 г.), «Меморандум о новой системе корней единства» (PDF) , Philosophical Magazine , 12 : 446
^Кляйнерт, Х. и Маки, К. (1981). «Структуры решетки в холестерических жидких кристаллах» (PDF) . Fortschritte der Physik . 29 (5): 219–259. DOI : 10.1002 / prop.19810290503 .
Кляйн, Ф. (1878). "Ueber die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen" [О преобразовании седьмого порядка эллиптических функций]. Mathematische Annalen . 14 (3): 428–471. DOI : 10.1007 / BF01677143 . S2CID 121407539 . Переведено на Леви, Сильвио, изд. (1999). Восьмеричный путь . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-66066-2. Руководство по ремонту 1722410 .
Клейн, Ф. (1879), "Преобразование матрицы Ueber elfter Ordnung дер elliptischen Functionen (На одиннадцатом преобразовании порядка эллиптических функций)" , Mathematische Annalen , 15 (3-4): 533-555, DOI : 10.1007 / BF02086276 , S2CID 120316938 , собранные как pp. 140–165 в Oeuvres, Tome 3CS1 maint: postscript ( ссылка )
Кляйн, Феликс (1888 г.), Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени , Trübner & Co., ISBN 0-486-49528-0пер . Джордж Гэвин МоррисCS1 maint: postscript ( ссылка )
Тот, Габор (2002), Конечные группы Мебиуса, минимальные погружения сфер и модули
Питер Р. Кромвель, Многогранники (1997), стр. 296
Симметрии вещей 2008, Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штрасс, ISBN 978-1-56881-220-5
Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
Н. В. Джонсон : геометрии и преобразования , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Глава 11: Конечные группы симметрии , 11.5 Сферические группы Кокстера
Внешние ссылки
Вайсштейн, Эрик В. «Икосаэдрическая группа» . MathWorld .
ПОДГРУППЫ W (H3) ( Подгруппы других групп Кокстера ) Гоц Пфайффер