Векторное пространство (также называется линейное пространство ) представляет собой совокупность объектов , называемых векторами , которые могут быть добавлен вместе и умножены ( «масштабируется») числами, называемыми скаляров . Скаляры часто считаются действительными числами , но существуют также векторные пространства со скалярным умножением на комплексные числа , рациональные числа или вообще любое поле . Операции сложения векторов и скалярного умножения должны удовлетворять определенным требованиям, называемым векторными аксиомами (перечисленными ниже в § Определение). Чтобы указать, что скаляры являются действительными или комплексными числами, часто используются термины « вещественное векторное пространство» и « комплексное векторное пространство» .
Определенные наборы евклидовых векторов являются общими примерами векторного пространства. Они представляют физические величины, такие как силы , где любые две силы (одного типа) могут быть добавлены, чтобы получить третье, а умножение вектора силы на действительный множитель является другим вектором силы. Таким же образом (но в более геометрическом смысле) векторы, представляющие смещения в плоскости или трехмерном пространстве, также образуют векторные пространства. Векторы в векторных пространствах не обязательно должны быть объектами в виде стрелок, как они представлены в упомянутых примерах: векторы рассматриваются как абстрактные математические объекты. с особыми свойствами, которые в некоторых случаях можно представить в виде стрелок.
Векторные пространства являются предметом линейной алгебры и хорошо характеризуются своей размерностью , которая, грубо говоря, определяет количество независимых направлений в пространстве. Бесконечномерные векторные пространства естественным образом возникают в математическом анализе как функциональные пространства , векторы которых являются функциями . Эти векторные пространства обычно наделены некоторой дополнительной структурой, такой как топология , которая позволяет рассматривать вопросы близости и непрерывности . Среди этих топологий чаще используются те, которые определены нормой или внутренним продуктом (снабженные понятиемрасстояние между двумя векторами). Это особенно касается банаховых пространств и гильбертовых пространств , которые являются фундаментальными в математическом анализе.
Исторически первые идеи, ведущие к векторным пространствам, восходят к аналитической геометрии 17-го века , матрицам , системам линейных уравнений и евклидовым векторам. Современная, более абстрактная трактовка, впервые сформулированная Джузеппе Пеано в 1888 году, охватывает более общие объекты, чем евклидово пространство , но большую часть теории можно рассматривать как расширение классических геометрических идей, таких как линии , плоскости и их многомерные аналоги.
Сегодня векторные пространства применяются в математике , науке и технике . Это подходящее линейно-алгебраическое понятие для работы с системами линейных уравнений . Они предлагают основу для расширения Фурье , которое используется в процедурах сжатия изображений , и они обеспечивают среду, которая может использоваться для методов решения уравнений в частных производных . Кроме того, векторные пространства предоставляют абстрактный, бескоординатный способ работы с геометрическими и физическими объектами, такими как тензоры . Это, в свою очередь, позволяет исследовать локальные свойства многообразийметодами линеаризации. Векторные пространства можно обобщить несколькими способами, что приведет к более продвинутым понятиям в геометрии и абстрактной алгебре .
Эта статья посвящена в основном конечномерным векторным пространствам. Однако многие принципы справедливы и для бесконечномерных векторных пространств.
Алгебраические структуры |
---|
Введение и определение [ править ]
Понятие векторного пространства сначала поясняется описанием двух конкретных примеров:
Первый пример: стрелки в плоскости [ править ]
Первый пример векторного пространства состоит из стрелок в фиксированной плоскости , начинающихся в одной фиксированной точке. Это используется в физике для описания сил или скоростей . Для любых двух таких стрелок, v и w , параллелограмм, охватываемый этими двумя стрелками, содержит одну диагональную стрелку, которая также начинается в начале координат. Эта новая стрелка называется суммой двух стрелок и обозначается v + w . [1]В частном случае двух стрелок на одной строке их сумма равна стрелке на этой строке, длина которой равна сумме или разнице длин, в зависимости от того, имеют ли стрелки одинаковое направление. Еще одна операция , которая может быть сделано со стрелками это масштабирование: учитывая любое положительное действительное число , стрелка , которая имеет то же направление, V , но расширены или усадке путем умножения его длины на , называется умножение на V по . Оно обозначается в ст . Когда отрицательный, v определяется как стрелка , указывающая в направлении , противоположном вместо этого.
Ниже показано несколько примеров: если a = 2 , результирующий вектор a w имеет то же направление, что и w , но растягивается до двойной длины w (правое изображение ниже). Эквивалентно 2 w - это сумма w + w . Более того, (−1) v = - v имеет противоположное направление и ту же длину, что и v (синий вектор направлен вниз на правом изображении).
Второй пример: упорядоченные пары чисел [ править ]
Второй ключевой пример векторного пространства - это пары действительных чисел x и y . (Порядок компонентов x и y имеет значение, поэтому такая пара также называется упорядоченной парой .) Такая пара записывается как ( x , y ) . Сумма двух таких пар и умножение пары на число определяется следующим образом:
а также
Первый приведенный выше пример сводится к этому, если стрелки представлены парой декартовых координат их конечных точек.
Определение [ править ]
В этой статье векторы выделены жирным шрифтом, чтобы отличать их от скаляров. [nb 1]
Векторное пространство над полем F - это множество V вместе с двумя операциями, которые удовлетворяют восьми аксиомам, перечисленным ниже. В дальнейшем, V × V обозначает декартово произведение из V с самим собой, а → обозначает отображение из одного набора к другому.
- Первая операция, называемая сложением векторов или просто сложением +: V × V → V , берет любые два вектора v и w и присваивает им третий вектор, который обычно записывается как v + w , и называется суммой этих двух векторов. (Результирующий вектор также является элементом множества V. )
- Вторая операция, называемая скалярным умножением ·: F × V → V,, берет любой скаляр a и любой вектор v и дает другой вектор a v . (Точно так же вектор a v является элементом множества V. Скалярное умножение не следует путать со скалярным произведением , также называемым внутренним произведением или скалярным произведением , которое является дополнительной структурой, присутствующей в некоторых конкретных, но не всех векторных пространствах. . Скалярное умножение - это умножение вектора наскаляр; другой - умножение двух векторов, дающее скаляр.)
Элементы V обычно называют векторами . Элементы F обычно называют скалярами . Общие символы для обозначения векторных пространств включают U , V и W . [1]
В двух приведенных выше примерах поле - это поле действительных чисел, а набор векторов состоит из плоских стрелок с фиксированной начальной точкой и пар действительных чисел соответственно.
Чтобы квалифицироваться как векторное пространство, множество V и операции сложения и умножения должны соответствовать ряду требований, называемых аксиомами . [2] Они перечислены в приведенной ниже таблице, где ¯u , V и W обозначают произвольные векторы в V , и а и б обозначают скаляры в F . [3] [4]
Аксиома | Имея в виду |
---|---|
Ассоциативность сложения | и + ( v + w ) = ( u + v ) + w |
Коммутативность сложения | и + v = v + u |
Идентификационный элемент дополнения | Там существует элемент 0 ∈ V , называется нулевой вектор , такой , что v + 0 = v для всех об ∈ V . |
Обратные элементы сложения | Для каждого v ∈ V существует элемент - v ∈ V , называемый аддитивным обратным к v , такой, что v + (- v ) = 0 . |
Совместимость скалярного умножения с умножением полей | a ( b v ) = ( ab ) v [nb 2] |
Элемент идентичности скалярного умножения | 1 v = v , где 1 обозначает мультипликативный идентичность в F . |
Дистрибутивность скалярного умножения по сложению векторов | а ( и + v ) = а и + а v |
Дистрибутивность скалярного умножения по сложению полей | ( a + b ) v = a v + b v |
Эти аксиомы обобщают свойства векторов, представленных в приведенных выше примерах. Действительно, результат сложения двух упорядоченных пар (как во втором примере выше) не зависит от порядка слагаемых:
- ( x v , y v ) + ( x w , y w ) = ( x w , y w ) + ( x v , y v ) .
Аналогично, в геометрическом примере векторов в виде стрелок v + w = w + v, поскольку параллелограмм, определяющий сумму векторов, не зависит от порядка векторов. Все остальные аксиомы можно проверить аналогичным образом в обоих примерах. Таким образом, игнорируя конкретную природу конкретного типа векторов, определение включает эти два и многие другие примеры в одно понятие векторного пространства.
Вычитание двух векторов и деление на (ненулевой) скаляр можно определить как
Когда скалярное поле F представляет собой действительные числа R , векторное пространство называется вещественным векторным пространством . Когда скалярное поле представляет собой комплексные числа C , векторное пространство называется комплексным векторным пространством . Эти два случая чаще всего используются в инженерии. Общее определение векторного пространства позволяет скалярам быть элементами любого фиксированного поля F . Понятие затем известный как F - векторное пространство или векторное пространство над F . Поле - это, по сути, набор чисел, обладающих сложением , вычитанием ,операции умножения и деления . [nb 3] Например, рациональные числа образуют поле.
В отличие от интуиции, проистекающей из векторов в плоскости и многомерных случаев, в общих векторных пространствах нет понятия близости , углов или расстояний . Чтобы иметь дело с такими вопросами, вводятся особые типы векторных пространств; подробнее см. § Векторные пространства с дополнительной структурой ниже.
Альтернативные формулировки и элементарные следствия [ править ]
Вектор сложение и умножение являются операциями, удовлетворяющие закрывающего свойство: у + v и v в V для всех а в F , и у , v в V . В некоторых более старых источниках эти свойства упоминаются как отдельные аксиомы. [5]
На языке абстрактной алгебры первые четыре аксиомы эквивалентны требованию, чтобы набор векторов был абелевой группой при сложении. Остальные аксиомы дают этой группе в F - модуль структуру. Другими словами, существует кольцевой гомоморфизм f из поля F в кольцо эндоморфизмов группы векторов. Тогда скалярное умножение a v определяется как ( f ( a )) ( v ) . [6]
Есть ряд прямых следствий аксиом векторного пространства. Некоторые из них вытекают из элементарной теории групп , приложенной к аддитивной группе векторов: например, нулевой вектор 0 из V и присадка обратного - v любого вектора V являются уникальными. Дальнейшие свойства следуют за счет использования также дистрибутивный закон для скалярного умножения, например v равен 0 , если и только если равен 0 или v равен 0 .
История [ править ]
Векторные пространства происходят из аффинной геометрии через введение координат в плоскости или трехмерном пространстве. Примерно в 1636 году французские математики Рене Декарт и Пьер де Ферма основали аналитическую геометрию , идентифицировав решения уравнения двух переменных с точками на плоской кривой . [7] Чтобы получить геометрические решения без использования координат, Больцано в 1804 году ввел определенные операции с точками, линиями и плоскостями, которые являются предшественниками векторов. [8] Мебиус (1827 г.) ввел понятие барицентрических координат . Беллавитис (1833)ввел понятие двойной точки, т. е. ориентированного отрезка, один из концов которого является началом, а другой - целью. [9] векторы были пересмотрены с представлением комплексных чисел по Аргана и Гамильтона и зарождения кватернионов последней. [10] Они являются элементами в R 2 и R 4 ; Обработка их с помощью линейных комбинаций восходит к Лагеру в 1867 году, который также определил системы линейных уравнений .
В 1857 году Кэли ввел матричную запись, которая позволяет согласовывать и упрощать линейные карты . Примерно в то же время Грассман изучил барицентрическое исчисление, начатое Мёбиусом. Он представлял себе наборы абстрактных объектов, наделенных операциями. [11] В его работе присутствуют концепции линейной независимости и размерности , а также скалярные произведения . На самом деле работа Грассмана 1844 года выходит за рамки векторных пространств, поскольку его рассмотрение умножения также привело его к тому, что сегодня называют алгебрами . Итальянский математик Пеанобыл первым, кто дал современное определение векторных пространств и линейных отображений в 1888 году [12].
Важным событием векторных пространств связано со строительством функциональных пространств по Анри Лебега . Позднее это было формализовано Банахом и Гильбертом , примерно в 1920 году. [13] В то время алгебра и новая область функционального анализа начали взаимодействовать, особенно с такими ключевыми понятиями, как пространства p -интегрируемых функций и гильбертовы пространства . [14] Также в это время были выполнены первые исследования, касающиеся бесконечномерных векторных пространств.
Примеры [ править ]
Координатное пространство [ править ]
Простейшим примером векторного пространства над полем F является само поле, снабженное его стандартным сложением и умножением. В более общем смысле, все n -элементы (последовательности длины n )
- ( a 1 , a 2 , ..., a n )
элементов F образуют векторное пространство, которое обычно обозначается F n и называется координатным пространством . [15] Случай n = 1 представляет собой упомянутый выше простейший пример, в котором поле F также рассматривается как векторное пространство над самим собой. Случай F = R и n = 2 обсуждался во введении выше.
Комплексные числа и другие расширения полей [ править ]
Набор комплексных чисел C , то есть чисел, которые могут быть записаны в форме x + iy для действительных чисел x и y, где i - мнимая единица , образуют векторное пространство над действительными числами с помощью обычного сложения и умножения: ( x + iy ) + ( a + ib ) = ( x + a ) + i ( y + b ) и c ⋅ ( x + iy ) = ( c⋅ x ) + i ( c ⋅ y ) для действительных чисел x , y , a , b и c . Различные аксиомы векторного пространства вытекают из того факта, что одни и те же правила выполняются для арифметики комплексных чисел.
Фактически, пример комплексных чисел по существу такой же (то есть он изоморфен ) векторному пространству упорядоченных пар действительных чисел, упомянутых выше: если мы думаем о комплексном числе x + i y как о представлении упорядоченной пары ( x , y ) на комплексной плоскости, то мы видим, что правила сложения и скалярного умножения точно соответствуют тем, что в предыдущем примере.
В более общем смысле , расширения полей обеспечивают еще один класс примеров векторных пространств, в частности , в алгебре и алгебраической теории чисел : поле Р , содержащий меньшее поле Е представляет собой Е -векторного пространство, с помощью данных операций умножения и сложения на F . [16] Например, комплексные числа представляют собой векторное пространство над R , а расширение поля является векторным пространством над Q .
Функциональные пространства [ править ]
Функции из любого фиксированного множества Ω в поле F также образуют векторные пространства, выполняя точечное сложение и скалярное умножение. То есть сумма двух функций f и g - это функция ( f + g ), заданная формулой
- ( е + д ) ( ш ) = е ( ш ) + д ( ш ) ,
и аналогично для умножения. Такие функциональные пространства встречаются во многих геометрических ситуациях, когда Ω является действительной прямой или интервал , или другие подмножества из R . Многие понятия в топологии и анализе, такие как непрерывность , интегрируемость или дифференцируемость , хорошо подходят для линейности: суммы и скалярные кратные функции, обладающие таким свойством, все еще обладают этим свойством. [17] Следовательно, множество таких функций - векторные пространства. Более подробно они изучаются с помощью методов функционального анализа , см. Ниже . [требуется пояснение ]Алгебраические ограничения также приводят к векторным пространствам:векторное пространство F [x] задаетсяполиномиальными функциями:
- е ( х ) = р 0 + г 1 х + ... г п -1 х п -1 + г п х п , где коэффициенты г 0 , ..., г п в F . [18]
Линейные уравнения [ править ]
Системы однородных линейных уравнений тесно связаны с векторными пространствами. [19] Например, решения
а + 3 б + c = 0 4 а + 2 б + 2 с = 0
задаются тройками с произвольными a , b = a / 2 и c = −5 a / 2 . Они образуют векторное пространство: суммы и скалярные кратные таких троек по-прежнему удовлетворяют тем же отношениям трех переменных; таким образом, они тоже являются решениями. Матрицы могут использоваться для объединения нескольких линейных уравнений, как указано выше, в одно векторное уравнение, а именно
- А х = 0 ,
где - матрица, содержащая коэффициенты данных уравнений, x - вектор ( a , b , c ) , A x - матричное произведение , а 0 = (0, 0) - нулевой вектор. Аналогичным образом решения однородных линейных дифференциальных уравнений образуют векторные пространства. Например,
- f ′ ′ ( x ) + 2 f ′ ( x ) + f ( x ) = 0.
дает f ( x ) = a e - x + bx e - x , где a и b - произвольные постоянные, а e x - естественная экспоненциальная функция .
Основа и размер [ править ]
Базы позволяют представлять векторы последовательностью скаляров, называемых координатами или компонентами . Базис - это набор B = { b i } i ∈ I векторов b i , для удобства часто индексируемый некоторым индексным набором I , который охватывает все пространство и является линейно независимым . «Охват всего пространства» означает, что любой вектор v может быть выражен как конечная сумма (называемая линейной комбинацией ) базовых элементов:
( 1 )
где к скаляры, называемые координаты (или компоненты) вектора V относительно базиса B , а б я K ( K = 1, ..., п ) элементы B . Линейная независимость означает, что координаты a k однозначно определены для любого вектора в векторном пространстве.
Например, векторы координат e 1 = (1, 0,…, 0) , e 2 = (0, 1, 0,…, 0) , чтобы e n = (0, 0,…, 0, 1) , образуют базис F n , называемый стандартным базисом , поскольку любой вектор ( x 1 , x 2 ,…, x n ) может быть однозначно выражен как линейная комбинация этих векторов:
- ( x 1 , x 2 ,…, x n ) = x 1 (1, 0,…, 0) + x 2 (0, 1, 0,…, 0) + ⋯ + x n (0,…, 0, 1) = х 1 е 1 + х 2 е 2 + ⋯ + х п е н .
Соответствующие координаты x 1 , x 2 , … , x n являются просто декартовыми координатами вектора.
Каждое векторное пространство имеет основу. Это следует из леммы Цорна , эквивалентной формулировки аксиомы выбора . [20] Учитывая другие аксиомы теории множеств Цермело – Френкеля , существование базисов эквивалентно выбранной аксиоме. [21] ультрафильтр лемма , которая слабее , чем аксиома выбора, следует , что все базисы данного векторного пространства имеют одинаковое число элементов, или количество элементов (см Размер теоремы для векторных пространств ). [22] Она называется размерностью векторного пространства и обозначается dim V. Если пространство покрыто конечным числом векторов, приведенные выше утверждения могут быть доказаны без такого фундаментального вклада теории множеств. [23]
Размерность координатного пространства F n равна n в соответствии с показанным выше базисом. Размерность кольца многочленов F [ x ], введенная выше [ требуется пояснение ], является счетно бесконечной , базисом является 1 , x , x 2 , ... А тем более , размерность более общих функциональных пространств, таких как пространство функций на некотором (ограниченном или неограниченном) интервале бесконечно. [nb 4] При подходящих предположениях регулярности участвующих коэффициентов размерность пространства решений однороднойобыкновенное дифференциальное уравнение равно степени уравнения. [24] Например, пространство решений для приведенного выше уравнения [ требуется пояснение ] генерируется посредством e - x и xe - x . Эти две функции линейно независимы над R , поэтому размерность этого пространства равна двум, как и степень уравнения.
Расширение поля над рациональными числами Q можно рассматривать как векторное пространство над Q (определяя сложение векторов как сложение полей, определяя скалярное умножение как умножение полей на элементы Q , и в противном случае игнорируя умножение полей). Размерность (или степень ) расширения поля Q ( α ) над Q зависит от α . Если α удовлетворяет некоторому полиномиальному уравнению
Линейные карты и матрицы [ править ]
Связь двух векторных пространств может быть выражена линейной картой или линейным преобразованием . Это функции, которые отражают структуру векторного пространства, то есть сохраняют суммы и скалярное умножение:
- и е ( · v ) = · F ( v ) для всех V и W в V , все в F . [27]
Изоморфизм является линейным отображением F : V → W таким образом, что существует обратное отображение г : W → V , который представляет собой карту таким образом, что два возможных композиции F ∘ г : W → W и г ∘ F : V → V является карты идентичности . Эквивалентно, f одновременно взаимно однозначно ( инъективно ) и на ( сюръективно ). [28] Если существует изоморфизм между V и W , эти два пространства называются изоморфными ; тогда они по существу идентичны как векторные пространства, поскольку все тождества, хранящиеся в V , через f переносятся в аналогичные в W , и наоборот, через g .
Например, векторные пространства «стрелки на плоскости» и «упорядоченные пары чисел» во введении изоморфны: плоская стрелка v, исходящая из начала некоторой (фиксированной) системы координат, может быть выражена как упорядоченная пара, учитывая x - и y - компоненты стрелки, как показано на изображении справа. И наоборот, если дана пара ( x , y ) , стрелка, идущая по x вправо (или влево, если x отрицательна), и y вверх (вниз, если y отрицательна) поворачивает стрелку v назад .
Линейные отображения V → W между двумя векторными пространствами образуют векторное пространство Hom F ( V , W ) , также обозначаемое L ( V , W ) . [29] Пространство линейных отображений из V в F называется двойственным векторным пространством и обозначается V ∗ . [30] С помощью инъективного естественного отображения V → V ∗∗ любое векторное пространство может быть вложено в его двумерное; отображение является изоморфизмом тогда и только тогда, когда пространство конечномерно. [31]
После выбора базиса V линейные отображения f : V → W полностью определяются путем задания изображений базисных векторов, потому что любой элемент V однозначно выражается как их линейная комбинация. [32] Если тусклый V = тусклый W , A соответствие 1-к-1 между фиксированными основаниями V и W приводит к линейной карте , которая отображает любой базисный элемент V до соответствующего базисного элемента W . Это изоморфизм по самому своему определению. [33]Следовательно, два векторных пространства изоморфны, если их размерности совпадают, и наоборот. Другой способ выразить это состоит в том, что любое векторное пространство полностью классифицируется (с точностью до изоморфизма) своей размерностью, одним числом. В частности, любое n -мерное F- векторное пространство V изоморфно F n . Однако не существует «канонического» или предпочтительного изоморфизма; на самом деле изоморфизм φ : F n → V эквивалентен выбору базиса V путем отображения стандартного базиса F n в V через φ. Свобода выбора удобной основы особенно полезна в бесконечномерном контексте; см. ниже . [ требуется разъяснение ]
Матрицы [ править ]
Матрицы - полезное понятие для кодирования линейных карт. [34] Они записаны как прямоугольный массив скаляров, как на изображении справа. Любая матрица A размером m на n порождает линейное отображение из F n в F m следующим образом:
- , где означает суммирование ,
или, используя матричное умножение матрицы A на вектор координат x :
- х ↦ А х .
Кроме того, после выбора основы V и W , любое линейное отображение F : V → W однозначно представлено матрицей посредством этого задания. [35]
Определитель Det ( ) из квадратной матрицы А является скаляром , что говорит ассоциированное отображение является ли изоморфизм или нет: быть поэтому достаточно и необходимо, чтобы определитель отличен от нуля. [36] Линейная трансформация R п , соответствующий реальному п матрицу с размерностью п матрицы сохраняет ориентацию , если и только если ее определитель является положительным.
Собственные значения и собственные векторы [ править ]
Эндоморфизмы , линейные отображения f : V → V , особенно важны, поскольку в этом случае векторы v можно сравнить с их образом при f , f ( v ) . Любой ненулевой вектор v , удовлетворяющий Л V = п ( V ) , где λ является скаляром, называется собственным вектором из F с собственным значением λ . [nb 5] [37] Эквивалентно, v является элементом ядраразности f - λ · Id (где Id - тождественное отображение V → V ) . Если V конечномерно, это можно перефразировать с помощью определителей: f, имеющее собственное значение λ , эквивалентно
- det ( f - λ · Id) = 0 .
По изложив определение определителя, выражение на левой стороне можно увидеть , чтобы быть полиномиальной функцией в Х , называется характеристический полином из F . [38] Если поле F достаточно велико, чтобы содержать нуль этого многочлена (что автоматически происходит для алгебраически замкнутого F , такого как F = C ), любое линейное отображение имеет по крайней мере один собственный вектор. Векторное пространство V может иметь или не иметь собственный базис , базис, состоящий из собственных векторов. Это явление определяется канонической формой карты Иордана . [39][nb 6] Набор всех собственных векторов, соответствующих конкретному собственному значению f, образует векторное пространство, известное как собственное подпространство, соответствующее собственному значению (и f ), о котором идет речь. Для достижения спектральной теоремы , соответствующего утверждения в бесконечномерном случае, необходим аппарат функционального анализа, см. Ниже . [ требуется разъяснение ]
Основные конструкции [ править ]
В дополнение к приведенным выше конкретным примерам существует ряд стандартных линейных алгебраических конструкций, которые дают векторные пространства, связанные с заданными. В дополнение к определениям, данным ниже, они также характеризуются универсальными свойствами , которые определяют объект X путем задания линейных отображений из X в любое другое векторное пространство.
Подпространства и частные пространства [ править ]
Непустое подмножество W векторного пространства V , замкнутое относительно сложения и умножения (и , следовательно , содержит 0 -вектор V ) называется линейное подпространство в V , или просто подпространство в V , когда окружающее пространство однозначно векторное пространство. [40] [nb 7] Подпространства V являются векторными пространствами (над одним и тем же полем) сами по себе. Пересечение всех подпространств, содержащих данный набор векторов S , называется его оболочкой , и это наименьшее подпространство в Vсодержащее множество S . Выраженный в терминах элементов, пролет является подпространство , состоящее из всех линейных комбинаций элементов из S . [41]
Линейное подпространство размерности 1 - это векторная линия . Линейное подпространство размерности 2 - это векторная плоскость . Линейное подпространство, которое содержит все элементы, кроме одного из базиса объемлющего пространства, является векторной гиперплоскостью . Таким образом, в векторном пространстве конечной размерности n векторная гиперплоскость является подпространством размерности n - 1 .
Аналог подпространств - факторные векторные пространства . [42] Для любого подпространства W ⊂ V фактор-пространство V / W (" V по модулю W ") определяется следующим образом: как множество оно состоит из v + W = { v + w : w ∈ W }, где v произвольный вектор в V . Сумма двух таких элементов v 1 + W и v 2 + W равна( V 1 + v 2 ) + W , и скалярное умножение задается в · ( V + W ) = ( с · об ) + W . Ключевым моментом в этом определении является то , что v 1 + W = v 2 + W , если и только если разность v 1 и v 2 лежит в W . [nb 8] Таким образом, фактор-пространство «забывает» информацию, содержащуюся в подпространстве W.
Ядро кег ( е ) линейного отображения F : V → W состоит из векторов V , которые отображаются на 0 в Вт . [43] Ядро и образ im ( f ) = { f ( v ): v ∈ V } являются подпространствами в V и W соответственно. [44] Существование ядер и образов является частью утверждения, что категория векторных пространств (над фиксированным полем F ) являетсяабелева категория , то есть совокупность математических объектов и сохраняющих структуру отображений между ними ( категория ), которая ведет себя так же, как категория абелевых групп . [45] Из-за этого многие утверждения, такие как первая теорема об изоморфизме (также называемая теоремой ранга – недействительности в терминах, связанных с матрицами)
- V / ker ( f ) ≡ im ( f ).
а вторая и третья теоремы об изоморфизме могут быть сформулированы и доказаны способом, очень похожим на соответствующие утверждения для групп .
Важным примером является ядро линейного отображения x ↦ A x для некоторой фиксированной матрицы A , как указано выше . [ Требуется уточнение ] Ядро этого отображения является подпространство векторов х таким , что х = 0 , который является в точности множества решений системы однородных линейных уравнений , принадлежащих к А . Это понятие распространяется также на линейные дифференциальные уравнения
- , где коэффициенты a i также являются функциями от x .
На соответствующей карте
- ,
что производные от функции F появляются линейно (в отличие от F '' ( х ) 2 , к примеру). Поскольку дифференцирование является линейной процедурой (то есть ( f + g ) ′ = f ′ + g ′ и ( c · f ) ′ = c · f ′ для константы c ), это сопоставление является линейным и называется линейным дифференциальным оператором . В частности, решения дифференциального уравнения D ( f ) = 0образуют векторное пространство (над R или C ).
Прямой продукт и прямая сумма [ править ]
Прямое произведение векторных пространств и прямая сумма векторных пространств два способ объединения индексированного семейства векторных пространств в новое векторном пространство.
Прямое произведение семейства векторных пространств V я состою из множества всех кортежей ( v я ) я ∈ I , которые определяют для каждого индекса I в некоторых множестве индексов I элемент V я из V я . [46] Сложение и скалярное умножение выполняется покомпонентно. Вариантом этой конструкции является прямая сумма (также называемая копроизведением и обозначаемая ), где разрешены только кортежи с конечным числом ненулевых векторов. Если набор индексов I конечно, эти две конструкции согласуются, но в целом они разные.
Тензорный продукт [ править ]
Тензорное произведение V ⊗ F W , или просто V ⊗ Вт , из двух векторных пространств V и W является одним из центральных понятий полилинейнога алгебры , которая занимается простирающимися понятиями , такими как линейные карты до нескольких переменных. Отображение g : V × W → X называется билинейным, если g линейно по обеим переменным v и w . Иными словами, при фиксированном w отображение v ↦ g ( v, w ) линейно в указанном выше смысле, а также при фиксированном v .
Тензорное произведение - это конкретное векторное пространство, которое является универсальным получателем билинейных отображений g следующим образом. Он определяется как векторное пространство, состоящее из конечных (формальных) сумм символов, называемых тензорами
- v 1 ⊗ вес 1 + v 2 ⊗ вес 2 + ⋯ + v n ⊗ вес n ,
в соответствии с правилами
- a · ( v ⊗ w ) = ( a · v ) ⊗ w = v ⊗ ( a · w ), где a - скаляр,
- ( v 1 + v 2 ) ⊗ w = v 1 ⊗ w + v 2 ⊗ w , и
- v ⊗ ( вес 1 + вес 2 ) знак равно v ⊗ вес 1 + v ⊗ вес 2 . [47]
Эти правила гарантируют, что отображение f из V × W в V ⊗ W, которое отображает набор ( v , w ) в v ⊗ w, является билинейным. Универсальность утверждает, что для любого векторного пространства X и любого билинейного отображения g : V × W → X существует единственное отображение u , показанное на диаграмме пунктирной стрелкой, состав которого с f равен g: u ( v ⊗ w ) = g ( v , w ) . [48] Это называется универсальным свойством тензорного произведения, экземпляра метода, широко используемого в продвинутой абстрактной алгебре, для косвенного определения объектов путем указания карт из этого объекта или в этот объект.
Векторные пространства с дополнительной структурой [ править ]
С точки зрения линейной алгебры векторные пространства полностью понятны, поскольку любое векторное пространство с точностью до изоморфизма характеризуется своей размерностью. Однако векторные пространства сами по себе не предлагают основы для решения вопроса, который имеет решающее значение для анализа, сходится ли последовательность функций к другой функции. Точно так же линейная алгебра не приспособлена для работы с бесконечными сериями , поскольку операция сложения позволяет добавить только конечное количество членов. Следовательно, потребности функционального анализа требуют рассмотрения дополнительных структур.
Векторное пространство может иметь частичный порядок ≤, при котором можно сравнивать некоторые векторы. [49] Например, n -мерное вещественное пространство R n можно упорядочить, сравнивая его векторы покомпонентно. Упорядоченные векторные пространства , например пространства Рисса , являются фундаментальными для интегрирования Лебега , которое основывается на способности выразить функцию как разность двух положительных функций.
- е = е + - е - ,
где f + обозначает положительную часть f, а f - отрицательную часть. [50]
Нормированные векторные пространства и внутренние пространства продукта [ править ]
«Измерение» векторов осуществляется путем указания нормы , данных, измеряющих длину векторов, или внутреннего произведения , которое измеряет углы между векторами. Нормы и внутренние продукты обозначены и , соответственно. Из данных внутреннего продукта следует, что длины векторов также могут быть определены путем определения связанной нормы . Векторные пространства, наделенные такими данными, называются нормированными векторными пространствами и внутренними пространствами продукта соответственно. [51]
Координатное пространство F n можно снабдить стандартным скалярным произведением :
В R 2 это отражает общее понятие угла между двумя векторами x и y по закону косинусов :
Из-за этого два удовлетворяющих вектора называются ортогональными . В пространстве Минковского используется важный вариант стандартного скалярного произведения : R 4, наделенный произведением Лоренца.
- [52]
В отличие от стандартного скалярного произведения, он не является положительно определенным : также принимает отрицательные значения, например, для . Выделение четвертой координаты, соответствующей времени , а не трем пространственным измерениям, делает ее полезной для математической обработки специальной теории относительности .
Топологические векторные пространства [ править ]
Вопросы сходимости рассматриваются путем рассмотрения векторных пространств V, несущих совместимую топологию , структуру, которая позволяет говорить о близости элементов друг к другу . [53] [54] Совместимость здесь означает, что сложение и скалярное умножение должны быть непрерывными отображениями . Грубо говоря, если x и y в V и a в F изменяются на ограниченную величину, то также изменяются x + y и a x . [nb 9] Чтобы иметь смысл указывать величину изменения скаляра, поле Fтакже должен нести топологию в этом контексте; обычно выбирают действительные или комплексные числа.
В таких топологических векторных пространствах можно рассматривать серии векторов. Бесконечная сумма
обозначает предел из соответствующих конечных частичных сумм последовательности ( F I ) я ∈ N элементов V . Например, f i может быть (действительным или комплексным) функциями, принадлежащими некоторому функциональному пространству V , и в этом случае ряд является функциональным рядом . Режим сходимости рядов зависит от топологии , налагаемой на функциональном пространстве. В таких случаях два ярких примера - поточечная сходимость и равномерная сходимость .
Способ гарантировать существование пределов некоторых бесконечных серий состоит в том, чтобы ограничить внимание пространствами, в которых любая последовательность Коши имеет предел; такое векторное пространство называется полным . Грубо говоря, векторное пространство является полным при условии, что оно содержит все необходимые ограничения. Например, векторное пространство многочленов на единичном интервале [0,1], снабженное топологией равномерной сходимости , не является полным, потому что любую непрерывную функцию на [0,1] можно равномерно аппроксимировать последовательностью многочленов, Аппроксимационная теорема Вейерштрасса . [55] Напротив, пространство всех непрерывных функций на [0,1] с одинаковой топологией полно. [56]Норма порождает топологию, определяя, что последовательность векторов v n сходится к v тогда и только тогда, когда
Банаховы и гильбертовы пространства - это полные топологические векторные пространства, топологии которых задаются, соответственно, нормой и скалярным произведением. Их исследование - ключевой элемент функционального анализа - сосредоточено на бесконечномерных векторных пространствах, поскольку все нормы конечномерных топологических векторных пространств порождают одно и то же понятие сходимости. [57] Изображение справа показывает эквивалентность 1-норме и ∞-нормы на R 2 : в качестве единицы «шарики» заключить друг с другом, а последовательность сходится к нулю в одной норме , если и только если оно так же в другая норма. В бесконечномерном случае, однако, обычно будут неэквивалентные топологии, что делает изучение топологических векторных пространств более богатым, чем изучение векторных пространств без дополнительных данных.
С концептуальной точки зрения все понятия, относящиеся к топологическим векторным пространствам, должны соответствовать топологии. Например, вместо того, чтобы рассматривать все линейные отображения (также называемые функционалами ) V → W , требуется, чтобы отображения между топологическими векторными пространствами были непрерывными. [58] В частности, (топологическое) дуальное пространство V ∗ состоит из непрерывных функционалов V → R (или к C ). Основная теорема Хана – Банаха касается разделения подпространств подходящих топологических векторных пространств непрерывными функционалами. [59]
Банаховы пространства [ править ]
Банаховы пространства , введенные Стефаном Банахом , являются полными нормированными векторными пространствами. [60]
Первым примером является векторное пространство, ℓ p {\displaystyle \ell ^{p}} состоящее из бесконечных векторов с действительными элементами , -норма которых задается формулой p {\displaystyle p}
- для и .
Топологии на бесконечномерном пространстве для разных неэквивалентны . Например, последовательность векторов , в которой есть первые компоненты и последующие , сходится к нулевому вектору для , но не для :
- , но
В более общем смысле, чем последовательности действительных чисел, функции наделены нормой, которая заменяет указанную выше сумму интегралом Лебега
Пространство интегрируемых функций в данной области (например, интервале), удовлетворяющее этой норме и снабженное этой нормой, называется пространствами Лебега , обозначается . [№ 10]
Эти пространства полны. [61] (если использовать интеграл Римана вместо этого, пространство не будет полным, что может рассматриваться в качестве основания для теории интегрирования Лебега. [Нб 11] ) Конкретно это означает , что для любой последовательности Лебегу функций , интегрируемых с , удовлетворяющего условие
существует функция, принадлежащая векторному пространству, такая, что
Наложение условий ограниченности не только на функцию, но и на ее производные приводит к пространствам Соболева . [62]
Гильбертовы пространства [ править ]
Полные внутренние пространства продукта известны как гильбертовые пространства в честь Дэвида Гильберта . [63] Гильбертово пространство L 2 (Ω) со скалярным произведением, задаваемым формулой
где обозначает комплексное сопряжение из г ( х ), [64] [NB 12] является ключевым случаем.
По определению в гильбертовом пространстве любая последовательность Коши сходится к пределу. И наоборот, не менее важно найти последовательность функций f n с желаемыми свойствами, которая приближает заданную предельную функцию. Ранний анализ под видом приближения Тейлора установил приближение дифференцируемых функций f полиномами. [65] По теореме Стоуна – Вейерштрасса любую непрерывную функцию на [ a , b ] можно сколь угодно точно аппроксимировать полиномом. [66] Подобный метод приближения тригонометрическими функциями обычно называютРазложение Фурье , которое широко применяется в технике, см. Ниже . [ требуется пояснение ] В более общем плане и более концептуально теорема дает простое описание того, какие «базовые функции» или, в абстрактных гильбертовых пространствах, каких базовых векторов достаточно для генерации гильбертова пространства H , в том смысле, что замыкание их span (то есть конечные линейные комбинации и их пределы) - это все пространство. Такой набор функций называется базисом из Н , его мощность известна как размерность пространства Гильберта . [№ 13]Теорема не только показывает подходящие базисные функции, достаточные для целей аппроксимации, но и вместе с процессом Грама – Шмидта позволяет построить базис из ортогональных векторов . [67] Такие ортогональные базисы являются обобщением координатных осей в конечномерном евклидовом пространстве в гильбертовом пространстве .
Решения различных дифференциальных уравнений можно интерпретировать в терминах гильбертовых пространств. Например, очень многие области физики и техники приводят к таким уравнениям, и часто решения с определенными физическими свойствами используются в качестве базисных функций, часто ортогональных. [68] В качестве примера из физики зависящее от времени уравнение Шредингера в квантовой механике описывает изменение физических свойств во времени с помощью уравнения в частных производных , решения которого называются волновыми функциями . [69] Определенные значения физических свойств, таких как энергия или импульс, соответствуют собственным значениям определенного (линейного)дифференциальный оператор и связанные с ним волновые функции называются собственными состояниями . Спектральная теорема разлагается линейный компактный оператор , действующий на функции в терминах этих функций и их собственных значений. [70]
Алгебры над полями [ править ]
Общие векторные пространства не обладают умножением между векторами. Векторное пространство, снабженное дополнительным билинейным оператором, определяющим умножение двух векторов, является алгеброй над полем . [71] Многие алгебры происходят из функций на каком-то геометрическом объекте: поскольку функции со значениями в данном поле могут быть умножены поточечно, эти объекты образуют алгебры. Теорема Стоуна – Вейерштрасса, например, опирается на банаховы алгебры, которые одновременно являются банаховыми пространствами и алгебрами.
Коммутативная алгебра широко использует кольца многочленов от одной или нескольких переменных, введенные выше . [ требуется пояснение ] Их умножение является коммутативным и ассоциативным . Эти кольца и их факторы составляют основу алгебраической геометрии , поскольку они являются кольцами функций алгебраических геометрических объектов . [72]
Другой важный пример - алгебры Ли , которые не являются ни коммутативными, ни ассоциативными, но их отсутствие ограничено ограничениями ( [ x , y ] обозначает произведение x и y ):
- [ x , y ] = - [ y , x ] ( антикоммутативность ) и
- [ x , [ y , z ]] + [ y , [ z , x ]] + [ z , [ x , y ]] = 0 ( тождество Якоби ). [73]
Примеры включают в себя векторное пространство п матрицы с размерностью п матрицы, с [ х , у ] = х - ух , то коммутатор двух матриц, и R 3 , снабженный поперечному продукта .
Тензорной алгебры T ( V ) представляет собой формальный способ добавления продуктов в любом векторном пространстве V , чтобы получить алгебру. [74] Как векторное пространство, оно натянуто на символы, называемые простыми тензорами.
- v 1 ⊗ v 2 ⊗ ⋯ ⊗ v n , где степень n меняется.
Умножение задается конкатенацией таких символов, наложением закона распределения при сложении и требованием, чтобы скалярное умножение коммутировало с тензорным произведением ⊗, почти так же, как с тензорным произведением двух векторных пространств, введенных выше . [ требуется пояснение ] В общем, нет никаких отношений между v 1 ⊗ v 2 и v 2 ⊗ v 1 . Принуждение двух таких элементов к равенству приводит к симметричной алгебре , тогда как принуждение v 1 ⊗ v 2 = - v 2⊗ v 1 дает внешнюю алгебру . [75]
Когда поле F указано явно, обычно используется термин F -алгебра.
Приложения [ править ]
Векторные пространства имеют множество приложений, поскольку они часто встречаются в обычных обстоятельствах, а именно там, где задействованы функции со значениями в каком-либо поле. Они обеспечивают основу для решения аналитических и геометрических задач или используются в преобразовании Фурье. Этот список не является исчерпывающим: существует гораздо больше приложений, например, в области оптимизации . Минимаксная теорема о теории игр с указанием о существовании уникального выигрыша , когда все игроки играют оптимально может быть сформулирована и доказана с использованием методов векторных пространств. [76] Теория представлений плодотворно переносит хорошее понимание линейной алгебры и векторных пространств в другие математические области, такие как теория групп . [77]
Распределения [ править ]
Распределение (или обобщенная функция ) представляет собой линейное отображение назначения номера каждой функции «тест» , как правило, гладкая функция с компактным носителем , непрерывным образом: в выше [ разъяснение необходимости ] терминология пространство распределений является (непрерывное ) двойственный к пробному функциональному пространству. [78] Последнее пространство наделено топологией, которая учитывает не только саму f , но и все ее высшие производные. Стандартный пример - результат интегрирования тестовой функции f по некоторой области Ω:
Когда Ω = { p } , множество, состоящее из одной точки, сводится к распределению Дирака , обозначенному δ , которое связывает пробной функции f ее значение в точке p : δ ( f ) = f ( p ). Распределения - мощный инструмент для решения дифференциальных уравнений. Поскольку все стандартные аналитические понятия, такие как производные, линейны, они естественным образом распространяются на пространство распределений. Следовательно, рассматриваемое уравнение может быть перенесено в пространство распределения, которое больше, чем базовое функциональное пространство, так что доступны более гибкие методы для решения уравнения. Например, функции Грина и фундаментальные решения обычно являются распределениями, а не собственными функциями, и затем могут использоваться для поиска решений уравнения с заданными граничными условиями. Затем в некоторых случаях можно доказать, что найденное решение действительно является истинной функцией, а решение исходного уравнения (например, с помощью теоремы Лакса – Милграма, следствие теоремы о представлении Рисса ). [79]
Фурье-анализ [ править ]
Преобразование периодической функции в сумму тригонометрических функций образует ряд Фурье , метод, широко используемый в физике и технике. [nb 14] [80] Основное векторное пространство - это обычно гильбертово пространство L 2 (0, 2π), для которого функции sin ( mx ) и cos ( mx ) (где m - целое число) образуют ортогональный базис. [81] разложение Фурье из L 2 функции F является
Коэффициенты a m и b m называются коэффициентами Фурье функции f и вычисляются по формулам [82]
- ,
С физической точки зрения функция представляется в виде суперпозиции из синусоидальных волн и коэффициенты дают информацию о функции в частотном спектре . [83] Также широко используется комплексная форма ряда Фурье. [82] Приведенные выше конкретные формулы являются следствием более общей математической двойственности, называемой двойственностью Понтрягина . [84] В применении к группе R это дает классическое преобразование Фурье; приложением в физике являются взаимные решетки , где основная группа представляет собой конечномерное реальное векторное пространство, снабженное дополнительными даннымирешетка, кодирующая положения атомов в кристаллах . [85]
Ряды Фурье используются для решения краевых задач в уравнениях с частными производными . [86] В 1822 году Фурье впервые применил этот метод для решения уравнения теплопроводности . [87] Дискретная версия ряда Фурье может использоваться в приложениях выборки, где значение функции известно только в конечном числе равноотстоящих точек. В этом случае ряд Фурье конечен и его значение равно выборочным значениям во всех точках. [88] Набор коэффициентов известен как дискретное преобразование Фурье (ДПФ) данной выборочной последовательности. ДПФ - один из ключевых инструментовцифровая обработка сигналов , область, приложения которой включают радар , кодирование речи , сжатие изображений . [89] Формат изображения JPEG представляет собой приложение тесно связанного дискретного косинусного преобразования . [90]
Быстрого преобразования Фурье представляет собой алгоритм для быстрого вычисления дискретного преобразования Фурье. [91] Он используется не только для вычисления коэффициентов Фурье, но, используя теорему о свертке , также для вычисления свертки двух конечных последовательностей. [92] Они, в свою очередь, применяются в цифровых фильтрах [93] и в качестве алгоритма быстрого умножения многочленов и больших целых чисел ( алгоритм Шёнхаге – Штрассена ). [94] [95]
Дифференциальная геометрия [ править ]
Касательная плоскость к поверхности в точке, естественно , векторное пространство, происхождение которого идентифицируется с точкой контакта. Касательная плоскость - это наилучшее линейное приближение или линеаризация поверхности в точке. [nb 15] Даже в трехмерном евклидовом пространстве, как правило, нет естественного способа задать основу для касательной плоскости, и поэтому оно воспринимается как абстрактное векторное пространство, а не как реальное координатное пространство. Касательное пространство является обобщением к многомерным дифференцируемых многообразий . [96]
Римановы многообразия - это многообразия, касательные пространства которых снабжены подходящим внутренним произведением . [97] Полученный из этого тензор кривизны Римана кодирует все кривизны многообразия в одном объекте, который находит применение , например, в общей теории относительности , где тензор кривизны Эйнштейна описывает материю и энергосодержание пространства-времени . [98] [99] Касательное пространство группы Ли может быть естественно задано структурой алгебры Ли и может использоваться для классификации компактных групп Ли . [100]
Обобщения [ править ]
Наборы векторных изображений [ править ]
Векторное расслоение является семейством векторных пространств параметризованных непрерывно в топологическом пространстве X . [96] Точнее, векторное расслоение над X - это топологическое пространство E, снабженное непрерывным отображением
- π: E → X
таким образом, что для каждого х в X , то слой π -1 ( х ) является векторным пространством. Случай dim V = 1 называется линейным расслоением . Для любого векторного пространства V проекция X × V → X превращает произведение X × V в «тривиальное» векторное расслоение . Векторные расслоения над X должны быть локально произведением X и некоторого (фиксированного) векторного пространства V : для каждого x в X, Существует окрестность U от х , таких , что сужение я на П -1 ( U ) изоморфно [NB 16] тривиального расслоения U × V → U . Несмотря на их локально тривиальный характер, векторные расслоения могут (в зависимости от формы лежащего в основе пространства X ) быть «скрученными» в целом (то есть расслоение не обязательно (глобально изоморфно) тривиальному расслоению X × V ). Например, ленту Мёбиуса можно рассматривать как линейное расслоение над окружностью S 1 (поотождествление открытых интервалов с реальной линией ). Однако он отличается от цилиндра S 1 × R , поскольку последний ориентируем, а первый - нет. [101]
Свойства определенных векторных пучков предоставляют информацию о лежащем в основе топологическом пространстве. Например, касательное расслоение состоит из набора касательных пространств, параметризованных точками дифференцируемого многообразия. Касательное расслоение окружности S 1 является глобально изоморфна S 1 × R , так как существует глобальное ненулевое векторное поле на S 1 . [NB 17 не] В противоположность этому , по теореме волосистой шара , нет (касательное) векторное поле на 2-сферы S 2 , всюду отлична от нуля. [102] K-теорияизучает классы изоморфизма всех векторных расслоений над некоторым топологическим пространством. [103] В дополнении к углублению топологического и геометрическое представления, она имеет чисто алгебраические последствия, такие как классификация конечномерных вещественные алгебр с делением : R , C , в кватернионах H и Октонионы O .
Котангенс расслоение дифференцируемого многообразия состоит, в каждой точке многообразия, двойственные касательного пространства, кокасательному пространство . Части этого пучка известны как дифференциальные одноформные .
Модули [ править ]
Модули для колец представляют собой то же самое, что векторные пространства для полей: те же аксиомы, примененные к кольцу R вместо поля F , дают модули. [104] Теория модулей по сравнению с теорией векторных пространств усложняется наличием кольцевых элементов, не имеющих мультипликативных инверсий . Например, модули не обязательно должны иметь базисы, как показывает Z -модуль (т. Е. Абелева группа ) Z / 2 Z ; те модули, которые это делают (включая все векторные пространства), называются свободными модулями . Тем не менее векторное пространство можно компактно определить как модуль над кольцомкоторое является полем , элементы которого называются векторами. Некоторые авторы используют термин векторное пространство для обозначения модулей над телом . [105] Алгебро-геометрическая интерпретация коммутативных колец через их спектр позволяет развивать такие концепции, как локально свободные модули , алгебраический аналог векторных расслоений.
Аффинные и проективные пространства [ править ]
Грубо говоря, аффинные пространства - это векторные пространства, происхождение которых не указано. [106] Точнее, аффинное пространство - это множество со свободным транзитивным действием векторного пространства . В частности, векторное пространство является аффинным пространством над собой по отображению
- V × V → V , ( v , a ) ↦ a + v .
Если W - векторное пространство, то аффинное подпространство - это подмножество W, полученное переносом линейного подпространства V на фиксированный вектор x ∈ W ; это пространство обозначаются й + V (это смежный класс из V в W ) и состоит из всех векторов вида х + V для об ∈ V . Важным примером является пространство решений системы неоднородных линейных уравнений
- А х = б
обобщая однородный случай, описанный выше , который можно найти, положив в этом уравнении b = 0 . [ требуется пояснение ] [107] Пространство решений - это аффинное подпространство x + V, где x - частное решение уравнения, а V - пространство решений однородного уравнения ( нулевое пространство A ).
Множество одномерных подпространств фиксированного конечномерного векторного пространства V называется проективным пространством ; его можно использовать для формализации идеи параллельных прямых, пересекающихся на бесконечности. [108] Грассманианы и многообразия флагов обобщают это, параметризуя линейные подпространства фиксированной размерности k и флаги подпространств соответственно.
См. Также [ править ]
- Вектор (математика и физика) , для списка различных видов векторов
|
|
|
Заметки [ править ]
- ^ Также распространено, особенно в физике, обозначать векторы стрелкой вверху: v → .
- ^ Эта и следующая аксиома относятся к двум различным операциям: скалярное умножение: b v ; и умножение полей: ab . Они не подтверждают ассоциативность какой-либо операции. Более формально, скалярное умножение является Моноид действия мультипликативной моноиде поля F на векторном пространстве V .
- ^ Некоторые авторы (например, Браун 1991 ) ограничивают внимание полями R или C , но большая часть теории остается неизменной для произвольного поля.
- ^ В функции индикатор интервалов (из которых существует бесконечное множество) линейно независимы, например.
- ^ Номенклатура происходит от немецкого " eigen ", что означает собственный или собственный.
- ^ См. Также разложение Жордана – Шевалле .
- ^ Обычно это происходит, когда векторное пространство также рассматривается как аффинное пространство . В этом случае линейное подпространство содержит нулевой вектор , а аффинное подпространство не обязательно содержит его.
- ^ Некоторые авторы (например, Roman 2005 ) выбратьчтобы начать с этим отношением эквивалентности и получить форму бетона V / W от этого.
- ^ Это требование означает, что топология порождает однородную структуру , Бурбаки 1989 , гл. II
- ^ Неравенство треугольника для обеспечивается неравенством Минковского . По техническим причинам в контексте функций необходимо идентифицировать функции, которые согласуются почти везде, чтобы получить норму, а не только полунорму .
- ^ "Многие функции в меры Лебега, будучи неограниченными, не могут быть интегрированы с классическим интегралом Римана. Таким образом, пространства функций, интегрируемых по Риману, не будут полными по норме, и ортогональное разложение к ним не применимо. Это показывает одно из преимущества интеграции Лебега », Дадли 1989 , §5.3, с. 125
- ^ При p ≠ 2 L p (Ω) не является гильбертовым пространством.
- ^ Базис гильбертова пространства - это не то же самое, что базис в смысле линейной алгебры выше . [ требуется пояснение ] Для различия последний называется базисом Гамеля .
- ^ Хотя ряд Фурье является периодическим, метод может быть применен к любому L 2 функции на отрезке, рассматривая функциюкоторая будетпрежнему периодически вне интервала. См. Kreyszig 1988 , p. 601
- ^ То есть ( BSE-3 2001 )плоскость, проходящая через точку контакта P, такая, что расстояние от точки P 1 на поверхности до плоскости бесконечно мало по сравнению с расстоянием от P 1 до P в предел, когда P 1 приближается к P по поверхности.
- ^ То есть существует гомеоморфизм π −1 ( U ) в V × U, который ограничивается линейными изоморфизмами между слоями.
- ^ Линейное расслоение, такое как касательное расслоение к S 1 , тривиально тогда и только тогда, когда существует сечение, которое нигде не обращается в нуль, см. Husemoller 1994 , следствие 8.3. Сечения касательного расслоения - это просто векторные поля .
Цитаты [ править ]
- ^ a b «Исчерпывающий список символов алгебры» . Математическое хранилище . 2020-03-25 . Проверено 23 августа 2020 .
- ^ Роман 2005 , гл. 1, стр. 27
- ^ «5: Векторные пространства» . Математика LibreTexts . 2016-02-29 . Проверено 23 августа 2020 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "Векторное пространство" . mathworld.wolfram.com . Проверено 23 августа 2020 .
- ^ ван дер Варден 1993 , гл. 19
- ^ Бурбаки 1998 , §II.1.1. Бурбаки называет гомоморфизмы групп f ( a ) гомотетиями .
- ↑ Бурбаки 1969 , гл. "Algèbre linéaire et algèbre multinéaire", стр. 78–91.
- ^ Больцано 1804 .
- ^ Dorier (1995)
- ^ Гамильтон 1853 .
- ^ Грассманн 2000 .
- ^ Пеано 1888 , гл. IX.
- Перейти ↑ Banach 1922 .
- ^ Dorier 1995 , Moore 1995 .
- ↑ Lang 1987 , гл. I.1
- ^ Lang 2002 , гл. V.1
- ↑ Lang 1993 , гл. XII.3., Стр. 335
- ↑ Lang 1987 , гл. IX.1
- ↑ Lang 1987 , гл. VI.3.
- ^ Роман 2005 , теорема 1.9, с. 43 год
- ^ Бласс 1984
- ^ Хальперн 1966 , стр. 670-673
- ^ Артин 1991 , теорема 3.3.13
- Перейти ↑ Braun 1993 , Th. 3.4.5, п. 291
- Перейти ↑ Stewart 1975 , Proposition 4.3, p. 52
- ^ Стюарт 1975 , теорема 6.5, стр. 74
- ^ Роман 2005 , гл. 2, стр. 45
- ↑ Lang 1987 , гл. IV.4, Следствие, с. 106
- ^ Lang 1987 , пример IV.2.6
- ↑ Lang 1987 , гл. VI.6
- ^ Халмош 1974 , стр. 28, Исх. 9
- ^ Ланг 1987 , теорема IV.2.1, стр. 95
- ^ Роман 2005 , Th. 2.5 и 2.6, п. 49
- ↑ Lang 1987 , гл. V.1
- ↑ Lang 1987 , гл. Т.3., Следствие, с. 106
- ^ Ланг 1987 , теорема VII.9.8, стр. 198
- ^ Роман 2005 , гл. 8, стр. 135–156
- ↑ Lang 1987 , гл. IX.4
- ^ Роман 2005 , гл. 8, стр. 140.
- ^ Роман 2005 , гл. 1, стр. 29
- ^ Роман 2005 , гл. 1, стр. 35 год
- ^ Роман 2005 , гл. 3, стр. 64
- ↑ Lang 1987 , гл. IV.3.
- ^ Роман 2005 , гл. 2, стр. 48
- ^ Мак-Лейн 1998
- ^ Роман 2005 , гл. 1. С. 31–32.
- ^ Lang 2002 , гл. XVI.1
- ^ Роман 2005 , Th. 14.3. См. Также лемму Йонеды .
- ↑ Schaefer & Wolff 1999 , стр. 204–205.
- ↑ Бурбаки 2004 , гл. 2, стр. 48
- ^ Роман 2005 , гл. 9
- ^ Naber 2003 , гл. 1.2
- ^ Тревес 1967
- ^ Бурбаки 1987
- ^ Kreyszig 1989 , §4.11-5
- ^ Kreyszig 1989 , §1.5-5
- ^ Шок 1966 , предложение III.7.2
- ^ Тревес 1967 , стр. 34–36
- ↑ Lang 1983 , Cor. 4.1.2, п. 69
- ^ Тревес 1967 , гл. 11
- ^ Тревес 1967 , теорема 11.2, стр. 102
- ↑ Evans 1998 , гл. 5
- ^ Тревес 1967 , гл. 12
- ^ Деннери & Krzywicki 1996 , с.190
- ^ Lang 1993 , Th. XIII.6, стр. 349
- ^ Lang 1993 , Th. III.1.1
- ^ Шоке 1966 , лемма III.16.11
- ^ Kreyszig 1999 , Глава 11
- Перейти ↑ Griffiths 1995 , Глава 1
- ↑ Lang 1993 , гл. XVII.3
- ^ Lang 2002 , гл. III.1, стр. 121
- ^ Эйзенбад 1995 , гл. 1.6
- ^ Варадараджан 1974
- ^ Lang 2002 , гл. XVI.7
- ^ Lang 2002 , гл. XVI.8
- ^ Luenberger 1997 , §7.13
- ^ См. Теорию представлений и представление групп .
- ^ Lang 1993 , гл. XI.1
- ↑ Evans 1998 , Th. 6.2.1
- ^ Folland 1992 , стр. 349 и далее
- ^ Гаске и Witomski 1999 , стр. 150
- ^ a b Гаске и Витомски 1999 , §4.5
- ^ Гаске и Witomski 1999 , стр. 57
- Перейти ↑ Loomis 1953 , Ch. VII
- ^ Эшкрофт & Мермин 1976 , гл. 5
- ^ Kreyszig 1988 , стр. 667
- ^ Фурье 1822
- ^ Гаске и Witomski 1999 , стр. 67
- ^ Ifeachor & Джервис 2001 , стр. 3-4, 11
- ^ Уоллес 1992
- ^ Ifeachor & Джервис 2001 , стр. 132
- ^ Гаске и Witomski 1999 , § 10.2
- ^ Ifeachor & Джервис 2001 , стр. 307-310
- ^ Гаске и Witomski 1999 , §10.3
- ^ Шёнхаге и Штрассен 1971
- ^ а б Спивак 1999 , гл. 3
- ↑ Jost 2005 . См. Также лоренцево многообразие .
- ↑ Misner, Thorne & Wheeler 1973 , гл. 1.8.7, п. 222 и гл. 2.13.5, п. 325
- ↑ Jost 2005 , гл. 3.1
- ^ Варадараджан 1974 , гл. 4.3, теорема 4.3.27
- ^ Kreyszig 1991 , §34, стр. 108
- ^ Айзенберг и Гай 1979
- ↑ Атия 1989
- ^ Артин 1991 , гл. 12
- ^ Grillet, Пьер Антуан. Абстрактная алгебра. Vol. 242. Springer Science & Business Media, 2007.
- ^ Мейер 2000 , пример 5.13.5, стр. 436
- ^ Meyer 2000 , упр 5.13.15-17, п. 442
- ^ Кокстер 1987
Ссылки [ править ]
Алгебра [ править ]
- Артин, Майкл (1991), алгебра , Prentice Hall , ISBN 978-0-89871-510-1
- Бласс, Андреас (1984), «Существование базисов подразумевает аксиому выбора», Теория аксиоматических множеств (Боулдер, Колорадо, 1983) , Contemporary Mathematics, 31 , Providence, RI: American Mathematical Society , pp. 31–33, MR 0763890
- Браун, Уильям А. (1991), Матрицы и векторные пространства , Нью-Йорк: М. Деккер, ISBN 978-0-8247-8419-5
- Ланг, Серж (1987), Линейная алгебра , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96412-6
- Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
- Mac Lane, Saunders (1999), Algebra (3-е изд.), Стр. 193–222, ISBN 978-0-8218-1646-2
- Мейер, Карл Д. (2000), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра , SIAM , ISBN 978-0-89871-454-8
- Роман, Стивен (2005), Продвинутая линейная алгебра , Тексты для выпускников по математике, 135 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-24766-3
- Шпиндлер, Карлхайнц (1993), Абстрактная алгебра с приложениями: Том 1: Векторные пространства и группы , CRC, ISBN 978-0-8247-9144-5
- van der Waerden, Bartel Leendert (1993), Алгебра (на немецком языке) (9-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-56799-8
Анализ [ править ]
- Бурбаки, Николас (1987), Топологические векторные пространства , Элементы математики, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-13627-9
- Бурбаки, Николас (2004), Интеграция I , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-41129-1
- Браун, Мартин (1993), Дифференциальные уравнения и их приложения: введение в прикладную математику , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97894-9
- BSE-3 (2001) [1994], "Касательная плоскость" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Шоке, Гюстав (1966), Топология , Бостон, Массачусетс: Academic Press
- Деннери, Филипп; Кшивицкий, Андре (1996), Математика для физиков , Courier Dover Publications, ISBN 978-0-486-69193-0
- Дадли, Ричард М. (1989), Реальный анализ и вероятность , Серия математики Уодсворта и Брукса / Коула, Пасифик Гроув, Калифорния: Уодсворт и Брукс / Продвинутые книги и программное обеспечение Коула, ISBN 978-0-534-10050-6
- Данэм, Уильям (2005), Галерея исчисления , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-09565-3
- Эванс, Лоуренс К. (1998), уравнения в частных производных , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-0772-9
- Фолланд, Джеральд Б. (1992), Анализ Фурье и его приложения , Брукс-Коул, ISBN 978-0-534-17094-3
- Гаске, Клод; Витомски, Патрик (1999), Анализ Фурье и приложения: фильтрация, численные вычисления, всплески , тексты в прикладной математике, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98485-8
- Ifeachor, Emmanuel C .; Джервис, Барри В. (2001), Цифровая обработка сигналов: практический подход (2-е изд.), Харлоу, Эссекс, Англия: Прентис-Холл (опубликовано в 2002 г.), ISBN 978-0-201-59619-9
- Кранц, Стивен Г. (1999), Панорама гармонического анализа , Математические монографии Каруса, Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, ISBN 978-0-88385-031-2
- Крейсциг, Эрвин (1988), Advanced Engineering Mathematics (6-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-85824-9
- Крейсциг, Эрвин (1989), Вводный функциональный анализ с приложениями , Библиотека Wiley Classics, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-50459-7, MR 0992618
- Лэнг, Серж (1983), реальный анализ , Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-14179-5
- Ланг, Серж (1993), Реальный и функциональный анализ , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94001-4
- Лумис, Линн Х. (1953), Введение в абстрактный гармонический анализ , Торонто-Нью-Йорк-Лондон: D. Van Nostrand Company, Inc., стр. X + 190, hdl : 2027 / uc1.b4250788
- Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Тревес, Франсуа (1967), Топологические векторные пространства, распределения и ядра , Бостон, Массачусетс: Academic Press
Исторические ссылки [ править ]
- Банах, Стефан (1922), «Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales (Об операциях в абстрактных множествах и их применении к интегральным уравнениям)» (PDF) , Fundamenta Mathematicae (на французском), 3 : 133– 181, DOI : 10,4064 / фм 3-1-133-181 , ISSN 0016-2736
- Больцано, Бернард (1804), Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie (Соображения некоторых аспектов элементарной геометрии) (на немецком языке)
- Bellavitis, Giuso (1833), "Sopra alcune applications di un nuovo metodo di geometria analitica", Il poligrafo giornale di scienze, lettre ed arti , Verona, 13 : 53–61.
- Бурбаки, Николя (1969), Éléments d'histoire des mathématiques (Элементы истории математики) (на французском языке), Париж: Герман
- Dorier, Жан-Люк (1995), "Общая схема генезиса теории векторного пространства" , Хистория Mathematica , 22 (3): 227-261, DOI : 10,1006 / hmat.1995.1024 , МР 1347828
- Фурье, Жан Батист Жозеф (1822), Аналитическая Теория Шалера (на французском языке), Chez Firmin Didot, père et fils
- Грассманн, Герман (1844), Die Lineale Ausdehnungslehre - Ein neuer Zweig der Mathematik (на немецком языке), О. Виганд, перепечатка: Grassmann, Hermann (2000), Kannenberg, LC (ed.), Extension Theory , переведено Канненбергом, Ллойдом К., Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2031-5
- Гамильтон, Уильям Роуэн (1853), Лекции по кватернионам , Королевская ирландская академия
- Мёбиус, Август Фердинанд (1827 г.), Der Barycentrische Calcul: ein neues Hülfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie (Барицентрическое исчисление: новая утилита для аналитического обращения с геометрией) (на немецком языке), заархивировано из оригинала 23 ноября 2006 г.
- Мур, Gregory H. (1995), "аксиоматизация линейной алгебры: 1875-1940гг", Historia Mathematica , 22 (3): 262-303, DOI : 10,1006 / hmat.1995.1025
- Пеано, Джузеппе (1888), Calcolo Geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann Preduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva (на итальянском языке), Турин
- Пеано, Г. (1901) Formulario mathematico : аксиомы vct через Интернет-архив
Дальнейшие ссылки [ править ]
- Эшкрофт, Нил ; Мермин, Н. Дэвид (1976), Физика твердого тела , Торонто: Thomson Learning, ISBN 978-0-03-083993-1
- Атья, Майкл Фрэнсис (1989), K-теория , Advanced Book Classics (2-е изд.), Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-09394-0, Руководство по ремонту 1043170
- Бурбаки, Николас (1998), Элементы математики: Алгебра I, главы 1-3 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-64243-5
- Бурбаки, Николас (1989), Общая топология. Главы 1-4 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-64241-1
- Кокстер, Гарольд Скотт Макдональд (1987), Проективная геометрия (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96532-1
- Айзенберг, Мюррей; Гай, Роберт (1979), "Доказательство теоремы волосистой шара", Американский Математический Месячный , 86 (7): 572-574, DOI : 10,2307 / 2320587 , JSTOR 2320587
- Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра , Тексты для выпускников по математике, 150 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94269-8, MR 1322960
- Голдрей, Дерек (1996), Классическая теория множеств: управляемое независимое исследование (1-е изд.), Лондон: Чепмен и Холл , ISBN 978-0-412-60610-6
- Гриффитс, Дэвид Дж. (1995), Введение в квантовую механику , Верхняя Сэдл-Ривер, Нью-Джерси: Прентис Холл , ISBN 978-0-13-124405-4
- Халмос, Пол Р. (1974), Конечномерные векторные пространства , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90093-3
- Халперн, Джеймс Д. (июнь 1966), "Основы в векторных пространств и аксиома выбора", Труды Американского математического общества , 17 (3): 670-673, DOI : 10,2307 / 2035388 , JSTOR 2035388
- Хьюз-Халлетт, Дебора; Маккаллум, Уильям Дж .; Глисон, Эндрю М. (2013), Исчисление: одно и многомерное (6-е изд.), John Wiley & Sons , ISBN 978-0470-88861-2
- Husemoller, Dale (1994), Fiber Bundles (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94087-8
- Йост, Юрген (2005), Риманова геометрия и геометрический анализ (4-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-25907-7
- Крейсциг, Эрвин (1991), Дифференциальная геометрия , Нью-Йорк: Dover Publications , стр. Xiv + 352, ISBN 978-0-486-66721-8
- Крейсциг, Эрвин (1999), Advanced Engineering Mathematics (8-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-15496-9
- Люенбергер, Дэвид (1997), Оптимизация методами векторного пространства , Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-18117-0
- Mac Lane, Saunders (1998), Категории для рабочего математика (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98403-2
- Миснер, Чарльз В .; Торн, Кип ; Уиллер, Джон Арчибальд (1973), Гравитация , WH Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0
- Набер, Грегори Л. (2003), Геометрия пространства-времени Минковского , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-43235-9, MR 2044239
- Schönhage, A .; Strassen, Volker (1971), "Schnelle Multiplikation großer Zahlen (Быстрое умножение больших чисел)", вычисления (на немецком языке ), 7 (3-4): 281-292, DOI : 10.1007 / bf02242355 , ISSN 0010-485X , S2CID 9738629
- Спивак, Майкл (1999), Комплексное введение в дифференциальную геометрию (том второй) , Хьюстон, Техас: опубликовать или погибнуть
- Стюарт, Ян (1975), Теория Галуа , Серия математики Чепмена и Холла , Лондон: Чепмен и Холл , ISBN 978-0-412-10800-6
- Варадараджан, VS (1974), Группы Ли, алгебры Ли и их представления , Прентис Холл , ISBN 978-0-13-535732-3
- Уоллес, Г.К. (февраль 1992 г.), «Стандарт сжатия неподвижных изображений JPEG» (PDF) , IEEE Transactions on Consumer Electronics , 38 (1): xviii – xxxiv, CiteSeerX 10.1.1.318.4292 , doi : 10.1109 / 30.125072 , ISSN 0098 -3063 , заархивировано из оригинального (PDF) 13 января 2007 г. , получено 25 октября 2017 г.
- Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Кембриджские исследования в области высшей математики. 38 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-55987-4. Руководство по ремонту 1269324 . OCLC 36131259 .
Внешние ссылки [ править ]
В Викиуке по линейной алгебре есть страница по теме: Вещественные векторные пространства |
В Викибуке Линейная алгебра есть страница по теме: Векторные пространства |
- "Векторное пространство" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]