Правильный шестигранник | |
---|---|
(Нажмите здесь, чтобы повернуть модель) | |
Тип | Платоново твердое тело |
короткий номер | 4 = |
Элементы | F = 6, E = 12 V = 8 (χ = 2) |
Лица по сторонам | 6 {4} |
Обозначение Конвея | C |
Символы Шлефли | {4,3} |
t {2,4} или {4} × {} tr {2,2} или {} × {} × {} | |
Конфигурация лица | V3.3.3.3 |
Символ Wythoff | 3 | 2 4 |
Диаграмма Кокстера | |
Симметрия | O h , B 3 , [4,3], (* 432) |
Группа вращения | О , [4,3] + , (432) |
Рекомендации | U 06 , C 18 , W 3 |
Характеристики | правильный , выпуклый зоноэдр |
Двугранный угол | 90 ° |
4.4.4 ( фигура вершины ) | Октаэдр ( двойственный многогранник ) |
Сеть |
В геометрии , A куба [1] представляет собой трехмерный твердый объект , ограниченный шести квадратных граней, граней или сторон, с тремя встречи в каждой вершине .
Куб - единственный правильный шестигранник и одно из пяти Платоновых тел . У него 6 граней, 12 ребер и 8 вершин.
Куб также представляет собой квадратный параллелепипед , равносторонний кубоид и правый ромбоэдр . Это правильная квадратная призма в трех ориентациях и тригональный трапецоэдр в четырех ориентациях.
Куб двойственная к октаэдру . Он имеет кубическую или октаэдрическую симметрию .
Куб - единственный выпуклый многогранник, у которого все грани квадратные .
Ортогональные проекции
Куб имеет четыре специальных ортогональных проекций , по центру, на вершины, ребра, грани и нормальной к ее вершине фигуры . Первая и третья соответствуют плоскостям Кокстера А 2 и В 2 .
В центре | Лицо | Вершина |
---|---|---|
Самолеты Кокстера | В 2 | А 2 |
Проективная симметрия | [4] | [6] |
Наклонные взгляды |
Сферическая черепица
Куб также можно представить в виде сферической плитки и спроецировать на плоскость через стереографическую проекцию . Эта проекция является конформной , сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые на сфере проецируются как дуги окружности на плоскость.
Ортографическая проекция | Стереографическая проекция |
---|
Декартовы координаты
Для куба с центром в начале координат, с ребрами, параллельными осям, и с длиной ребра, равной 2, декартовы координаты вершин равны
- (± 1, ± 1, ± 1)
в то время как внутренняя часть состоит из всех точек ( x 0 , x 1 , x 2 ) с −1 < x i <1 для всех i .
Уравнение в
В аналитической геометрии поверхность куба с центром ( x 0 , y 0 , z 0 ) и длиной ребра 2a является геометрическим местом всех точек ( x , y , z ) таких, что
Куб также можно рассматривать как предельный случай трехмерного суперэллипсоида, поскольку все три показателя стремятся к бесконечности.
Формулы
Для куба с длиной ребра :
площадь поверхности | объем | ||
диагональ лица | диагональ пространства | ||
радиус описанной сферы | радиус касательной к краям сферы | ||
радиус вписанной сферы | углы между гранями (в радианах ) |
Поскольку объем куба - это третья степень его сторон , третьи степени называются кубами по аналогии с квадратами и вторыми степенями.
Куб имеет самый большой объем среди кубоидов (прямоугольных блоков) с заданной площадью поверхности . Кроме того, куб имеет самый большой объем среди кубоидов с таким же общим линейным размером (длина + ширина + высота).
Точка в пространстве
Для куба, описывающая сфера которого имеет радиус R , и для данной точки в его 3-мерном пространстве с расстояниями d i от восьми вершин куба, мы имеем: [2]
Удвоение куба
Удвоение куба , или проблема Делиана , была проблемой, поставленной древнегреческими математиками, использовавшей только циркуль и линейку, чтобы начать с длины ребра данного куба и построить длину ребра куба с удвоенной длиной ребра. объем исходного куба. Они не смогли решить эту проблему, и в 1837 году Пьер Ванцель доказал, что это невозможно, потому что кубический корень из 2 не является конструктивным числом .
Равномерная окраска и симметрия
Куб имеет три одинаковых раскраски, названных цветами квадратных граней вокруг каждой вершины: 111, 112, 123.
Куб имеет четыре класса симметрии, которые могут быть представлены вершинно-транзитивной раскраской граней. Наивысшая октаэдрическая симметрия O h имеет все грани одного цвета. Двугранный симметрии D 4h исходит из куба , являющегося призма, причем все четыре стороны быть того же цвета. Призматические подмножества D 2d имеют ту же окраску, что и предыдущее, а D 2h имеет чередующиеся цвета для его сторон, всего три цвета, попарно соединенные противоположными сторонами. Каждая форма симметрии имеет свой символ Wythoff .
Имя | Правильный шестигранник | Квадратная призма | Прямоугольная трапеция | Прямоугольный кубоид | Ромбическая призма | Тригональный трапецоэдр |
---|---|---|---|---|---|---|
Диаграмма Кокстера | ||||||
Символ Шлефли | {4,3} | {4} × {} rr {4,2} | с 2 {2,4} | {} 3 трлн {2,2} | {} × 2 {} | |
Символ Wythoff | 3 | 4 2 | 4 2 | 2 | 2 2 2 | | |||
Симметрия | О ч [4,3] (* 432) | D 4h [4,2] (* 422) | Д 2д [4,2 + ] (2 * 2) | D 2h [2,2] (* 222) | D 3d [6,2 + ] (2 * 3) | |
Порядок симметрии | 24 | 16 | 8 | 8 | 12 | |
Изображение (равномерная окраска) | (111) | (112) | (112) | (123) | (112) | (111), (112) |
Геометрические отношения
У куба одиннадцать сетей (одна показана выше): то есть есть одиннадцать способов сгладить полый куб, разрезав семь ребер. [3] Чтобы раскрасить куб так, чтобы никакие две смежные грани не имели одинаковый цвет, потребуется как минимум три цвета.
Куб - это ячейка единственной регулярной мозаики трехмерного евклидова пространства . Он также уникален среди Платоновых тел тем, что имеет грани с четным числом сторон, и, следовательно, это единственный член этой группы, который является зоноэдром (каждая грань имеет точечную симметрию).
Куб можно разрезать на шесть одинаковых квадратных пирамид . Если эти квадратные пирамиды затем прикрепить к граням второго куба, получится ромбический додекаэдр (с парами копланарных треугольников, объединенных в ромбические грани).
Другие размеры
Аналог куба в четырехмерном евклидовом пространстве имеет особое название - тессеракт или гиперкуб . Более точно, гиперкуб (или n- мерный куб или просто n -куб) является аналогом куба в n- мерном евклидовом пространстве, а тессеракт - это гиперкуб четвертого порядка. Гиперкуб также называется многогранником меры .
Есть аналоги куба и в более низких измерениях: точка в измерении 0, отрезок прямой в одном измерении и квадрат в двух измерениях.
Связанные многогранники
Фактор куба по антиподальному отображению дает проективный многогранник - полукуб .
Если исходный куб имеет длину ребра 1, его двойственный многогранник ( октаэдр ) имеет длину ребра.
Куб является частным случаем в различных классах общих многогранников:
Имя | Равные длины кромок? | Равные углы? | Прямые углы? |
---|---|---|---|
Куб | да | да | да |
Ромбоэдр | да | да | Нет |
Кубоид | Нет | да | да |
Параллелепипед | Нет | да | Нет |
четырехугольный шестигранник | Нет | Нет | Нет |
Вершины куба можно сгруппировать в две группы по четыре, каждая из которых образует правильный тетраэдр ; в более общем смысле это называется полукубом . Эти два вместе образуют правильное соединение , stella octangula . Их пересечение образует правильный октаэдр. Симметрии правильного тетраэдра соответствуют симметрии куба, который отображает каждый тетраэдр в себя; другие симметрии куба отображают их друг в друга.
Один такой правильный тетраэдр имеет объем 1/3куба. Оставшееся пространство состоит из четырех равных неправильных тетраэдров объемом 1/6 куба каждый.
Выпрямленные куб является кубооктаэдром . Если срезать меньшие углы, мы получим многогранник с шестью восьмиугольными гранями и восемью треугольными. В частности, мы можем получить правильные восьмиугольники ( усеченный куб ). Ромбокубооктаэдр получается путем отрезания обоих углов и краев , чтобы правильное количество.
Куб можно вписать в додекаэдр так, чтобы каждая вершина куба была вершиной додекаэдра, а каждое ребро было диагональю одной из граней додекаэдра; взятие всех таких кубиков дает правильное соединение из пяти кубиков.
Если два противоположных угла куба усечь на глубине трех вершин, непосредственно связанных с ними, получится неправильный октаэдр. Восемь из этих неправильных октаэдров могут быть присоединены к треугольным граням правильного октаэдра, чтобы получить кубооктаэдр.
Куб топологически связан с серией сферических многогранников и мозаик с фигурами вершин порядка 3 .
* n 32 изменение симметрии правильных мозаик: { n , 3} | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Сферический | Евклидово | Компактная гиперболия. | Paraco. | Некомпактный гиперболический | |||||||
{2,3} | {3,3} | {4,3} | {5,3} | {6,3} | {7,3} | {8,3} | {∞, 3} | {12i, 3} | {9i, 3} | {6i, 3} | {3i, 3} |
Кубооктаэдр - один из семейства однородных многогранников, связанных с кубом и правильным октаэдром.
Однородные октаэдрические многогранники | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Симметрия : [4,3], (* 432) | [4,3] + (432) | [1 + , 4,3] = [3,3] (* 332) | [3 + , 4] (3 * 2) | |||||||
{4,3} | т {4,3} | г {4,3} г {3 1,1 } | т {3,4} т {3 1,1 } | {3,4} {3 1,1 } | rr {4,3} s 2 {3,4} | tr {4,3} | sr {4,3} | ч {4,3} {3,3} | ч 2 {4,3} т {3,3} | с {3,4} с {3 1,1 } |
знак равно | знак равно | знак равно | знак равно или же | знак равно или же | знак равно | |||||
Двойники к однородным многогранникам | ||||||||||
V4 3 | V3.8 2 | В (3,4) 2 | V4.6 2 | V3 4 | V3.4 3 | V4.6.8 | V3 4 .4 | V3 3 | V3.6 2 | V3 5 |
Куб топологически связан как часть последовательности правильных мозаик, простирающейся в гиперболическую плоскость : {4, p}, p = 3,4,5 ...
* n 42 изменение симметрии правильных мозаик: {4, n } | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Сферический | Евклидово | Компактный гиперболический | Паракомпакт | ||||||||
{4,3} | {4,4} | {4,5} | {4,6} | {4,7} | {4,8} ... | {4, ∞} |
При двугранной симметрии Dih 4 куб топологически связан серией однородных многогранников и мозаик 4.2n.2n, простирающихся в гиперболическую плоскость:
* n 42 мутация симметрии усеченных мозаик: 4.2 n .2 n | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Симметрия * n 42 [n, 4] | Сферический | Евклидово | Компактный гиперболический | Paracomp. | |||||||
* 242 [2,4] | * 342 [3,4] | * 442 [4,4] | * 542 [5,4] | * 642 [6,4] | * 742 [7,4] | * 842 [8,4] ... | * ∞42 [∞, 4] | ||||
Усеченные фигуры | |||||||||||
Конфиг. | 4.4.4 | 4.6.6 | 4.8.8 | 4.10.10 | 4.12.12 | 4.14.14 | 4.16.16 | 4.∞.∞ | |||
цифры n-kis | |||||||||||
Конфиг. | V4.4.4 | V4.6.6 | V4.8.8 | V4.10.10 | V4.12.12 | V4.14.14 | V4.16.16 | V4.∞.∞ |
Все эти фигуры обладают октаэдрической симметрией .
Куб является частью последовательности ромбических многогранников и мозаик с симметрией [ n , 3] группы Кокстера . Куб можно рассматривать как ромбический шестигранник, в котором ромбы представляют собой квадраты.
Изменения симметрии двойственных квазирегулярных мозаик: V (3.n) 2 | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
* n32 | Сферический | Евклидово | Гиперболический | ||||||||
* 332 | * 432 | * 532 | * 632 | * 732 | * 832 ... | * ∞32 | |||||
Черепица | |||||||||||
Конф. | В (3,3) 2 | В (3,4) 2 | В (3,5) 2 | В (3,6) 2 | В (3,7) 2 | V (3.8) 2 | V (3.∞) 2 |
Куб представляет собой квадратную призму :
Имя призмы | Дигональная призма | (Тригональная) Треугольная призма | (Тетрагональная) Квадратная призма | Пятиугольная призма | Шестиугольная призма | Семиугольная призма | Восьмиугольная призма | Эннеагональная призма | Десятиугольная призма | Шестиугольная призма | Додекагональная призма | ... | Апейрогональная призма |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Изображение многогранника | ... | ||||||||||||
Сферическое мозаичное изображение | Плоское мозаичное изображение | ||||||||||||
Конфигурация вершины. | 2.4.4 | 3.4.4 | 4.4.4 | 5.4.4 | 6.4.4 | 7.4.4 | 8.4.4 | 9.4.4 | 10.4.4 | 11.4.4 | 12.4.4 | ... | ∞.4.4 |
Диаграмма Кокстера | ... |
Как тригональный трапецоэдр , куб относится к семейству гексагональной диэдральной симметрии.
Однородные шестиугольные двугранные сферические многогранники | ||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Симметрия : [6,2] , (* 622) | [6,2] + , (622) | [6,2 + ], (2 * 3) | ||||||||||||
{6,2} | т {6,2} | г {6,2} | т {2,6} | {2,6} | rr {6,2} | tr {6,2} | sr {6,2} | с {2,6} | ||||||
Дуалы к униформе | ||||||||||||||
V6 2 | V12 2 | V6 2 | V4.4.6 | V2 6 | V4.4.6 | V4.4.12 | V3.3.3.6 | V3.3.3.3 |
Соединение трех кубиков | Соединение пяти кубиков |
В однородных сотах и полихорах
Он представляет собой элемент 9 из 28 выпуклых однородных сот :
Кубические соты | Усеченные квадратные призматические соты | Плоские квадратные призматические соты | Удлиненные треугольные призматические соты | Гиро-удлиненные треугольные призматические соты |
Сотовые соты кубической формы | Соты с усеченными кубами | Усеченные кубические соты | Бегунковые чередующиеся кубические соты | |
Это также элемент пяти четырехмерных однородных полихор :
Тессеракт | Собранный 16-элементный | Бегущий тессеракт | Cantitruncated 16-элементный | Усеченный 16-элементный |
Кубический граф
Кубический граф | |
---|---|
Названный в честь | 3 квартал |
Вершины | 8 |
Края | 12 |
Радиус | 3 |
Диаметр | 3 |
Обхват | 4 |
Автоморфизмы | 48 |
Хроматическое число | 2 |
Характеристики | Гамильтониан , регулярный , симметричный , дистанционно-регулярный , дистанционно-транзитивный , 3-вершинно-связанный , двудольный , плоский граф |
Таблица графиков и параметров |
Скелет куба (вершины и ребра) образуют граф , с 8 вершинами и 12 ребрами. Это частный случай графа гиперкуба . [4] Это один из 5 Платоновых графов , каждый из которых является скелетом своего Платонового тела .
Расширением является трехмерный k -арный граф Хэмминга , который при k = 2 является кубическим графом. Графы такого типа встречаются в теории параллельной обработки в компьютерах.
Смотрите также
- Тессеракт
- Трапецоэдр
Рекомендации
- ^ Английский куб из старофранцузского <латинского cubus <греческого κύβος ( kubos ), что означает «куб, игральная кость, позвонок». В свою очередь от ПИЕ * кеу (б) - «согнуть, повернуть».
- ^ Парк, Пу-Сун. «Расстояния регулярных многогранников», Forum Geometricorum 16, 2016, 227-232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf Архивировано 10 октября 2016 г. в Wayback Machine
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "Куб" . MathWorld .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Кубический граф» . MathWorld .
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Куб» . MathWorld .
- Куб: интерактивная модель многогранника *
- Объем куба , с интерактивной анимацией
- Куб (сайт Роберта Уэбба)
Семья | А п | B n | I 2 (p) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Правильный многоугольник | Треугольник | Квадратный | п-угольник | Шестиугольник | Пентагон | |||||||
Равномерный многогранник | Тетраэдр | Октаэдр • Куб | Демикуб | Додекаэдр • Икосаэдр | ||||||||
Равномерный полихорон | Пентахорон | 16 ячеек • Тессеракт | Demitesseract | 24-элементный | 120 ячеек • 600 ячеек | |||||||
Равномерный 5-многогранник | 5-симплекс | 5-ортоплекс • 5-куб. | 5-полукуб | |||||||||
Равномерный 6-многогранник | 6-симплекс | 6-ортоплекс • 6-куб. | 6-полукуб | 1 22 • 2 21 | ||||||||
Равномерный 7-многогранник | 7-симплекс | 7-ортоплекс • 7-куб | 7-полукруглый | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
Равномерный 8-многогранник | 8-симплекс | 8-ортоплекс • 8-куб. | 8-полукруглый | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
Равномерный 9-многогранник | 9-симплекс | 9-ортоплекс • 9-куб | 9-полукруглый | |||||||||
Равномерный 10-многогранник | 10-симплекс | 10-ортоплекс • 10-куб | 10-полукуб | |||||||||
Равномерное n - многогранник | n - симплекс | n - ортоплекс • n - куб | n - demicube | 1 к2 • 2 к1 • к 21 | n - пятиугольный многогранник | |||||||
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений |