Демпфирование

Классическая механика
Часть серии по
${\ displaystyle {\ textbf {F}} = {\ frac {d} {dt}} (м {\ textbf {v}})}$ Второй закон движения
История График Учебники
ветви Применяемый Небесный Континуум Динамика Кинематика Кинетика Статика Статистическая
Основы Ускорение Угловой момент Пара Принцип Даламбера Энергия кинетический потенциал Сила Точка зрения Инерциальная система отсчета Импульс Инерция / момент инерции Масса Механическая мощность Механическая работа Момент Импульс Космос Скорость Время Крутящий момент Скорость Виртуальная работа
Составы Законы движения Ньютона Аналитическая механика Лагранжева механика Гамильтонова механика Рутианская механика Уравнение Гамильтона – Якоби Уравнение движения Аппеля Механика Купмана – фон Неймана
Основные темы Коэффициент демпфирования Смещение Уравнения движения Законы движения Эйлера Фиктивная сила Трение Гармонический осциллятор Инерциальная / неинерциальная система отсчета Механика движения плоских частиц Движение ( линейное ) Закон всемирного тяготения Ньютона Законы движения Ньютона Относительная скорость Жесткое тело динамика Уравнения Эйлера Простые гармонические колебания Вибрация
Вращение Круговое движение Вращающаяся опорная рамка Центростремительная сила Центробежная сила реактивный Сила Кориолиса Маятник Тангенциальная скорость Скорость вращения Угловое ускорение / перемещение / частота / скорость
Ученые Кеплер Галилео Гюйгенс Ньютон Хоррокс Галлей Даниэль Бернулли Иоганн Бернулли Эйлер д'Аламбер Clairaut Лагранж Лаплас Гамильтон Пуассон Коши Раут Liouville Appell Гиббс Купман фон Нейман
Категории ► Классическая механика
v т е

Недемпфированная система пружина – масса с ζ <1

Демпфирование - это влияние внутри колебательной системы или на нее , которое снижает или предотвращает ее колебания. В физических системах затухание вызывается процессами, которые рассеивают энергию, запасенную в колебаниях. ^[1] Примеры включают вязкое сопротивление в механических системах, сопротивление в электронных генераторах , а также поглощение и рассеяние света в оптических генераторах . Демпфирование, не основанное на потерях энергии, может быть важным в других колебательных системах, например, в биологических системах и велосипедах . ^[2]

Коэффициент демпфирования - это безразмерная мера, описывающая, как колебания в системе затухают после возмущения. Многие системы демонстрируют колебательное поведение, когда они выходят из положения статического равновесия . Например, масса, подвешенная на пружине, может, если ее потянуть и отпустить, подпрыгнет вверх и вниз. При каждом отскоке система стремится вернуться в свое положение равновесия, но проскакивает его. Иногда потери (например, фрикционные ) демпфируют систему и могут вызывать постепенное затухание амплитуды колебаний до нуля или ослабление . Коэффициент затухания - это мера, описывающая, насколько быстро колебания затухают от одного отскока к другому.

Коэффициент демпфирования - это системный параметр, обозначаемый ζ (дзета), который может варьироваться от незатухающего ( ζ = 0 ), слабозатухающего ( ζ <1 ) до критически затухающего ( ζ = 1 ) до чрезмерного демпфирования ( ζ > 1 ).

Поведение колебательных систем часто представляет интерес в самых разных дисциплинах, включая технику управления , химическую инженерию , машиностроение , строительную инженерию и электротехнику . Физическая величина, которая колеблется, сильно варьируется и может быть колебанием высокого здания на ветру или скоростью электродвигателя , но нормализованный или безразмерный подход может быть удобным для описания общих аспектов поведения.

Случаи колебаний [ править ]

В зависимости от степени демпфирования система демонстрирует различные колебательные режимы.

Там, где система пружина-масса полностью без потерь, масса будет колебаться бесконечно, причем каждый отскок будет иметь одинаковую высоту с последним. Этот гипотетический случай называется незатухающим .
Если бы система имела большие потери, например, если бы эксперимент с пружиной и массой проводился в вязкой жидкости, масса могла бы медленно возвращаться в исходное положение, никогда не превышая ее. Этот случай называется сверхдемпфированием .
Обычно масса имеет тенденцию выходить за пределы своего исходного положения, а затем возвращаться, снова превышая ее. При каждом выбросе некоторая энергия в системе рассеивается, и колебания затухают до нуля. Этот случай называется недемпфированным .
Между случаями с избыточным и недостаточным демпфированием существует определенный уровень демпфирования, при котором система просто не сможет перескочить и не совершит ни одного колебания. Этот случай называется критическим затуханием . Ключевое различие между критическим демпфированием и избыточным демпфированием состоит в том, что при критическом демпфировании система возвращается в состояние равновесия за минимальное время.

Затухающая синусоида [ править ]

{\ Displaystyle у (т) = е ^ {- т} \ cdot \ соз (2 \ пи т)}

Затухать синусоидой или затухающая синусоида является синусоидальной функцией , амплитуда которого приближается к нулю при возрастании времени, соответствующем underdamped случае затухающих систем второго порядка, или underdamped дифференциальных уравнений второго порядка. ^[3] Затухающие синусоидальные волны обычно встречаются в науке и технике , когда гармонический осциллятор теряет энергию.быстрее, чем поставляется. Истинная синусоида, начинающаяся в момент времени = 0, начинается в начале координат (амплитуда = 0). Косинусоидальная волна начинается с максимального значения из-за разницы фаз от синусоидальной волны. Данная синусоидальная форма волны может иметь промежуточную фазу, имеющую как синусоидальную, так и косинусоидальную составляющие. Термин «затухающая синусоида» описывает все такие затухающие формы волны, независимо от их начальной фазы.

Наиболее распространенная форма затухания, которая обычно предполагается, - это форма, встречающаяся в линейных системах, которая представляет собой экспоненциальное затухание, в котором внешняя огибающая последовательных пиков представляет собой кривую экспоненциального затухания. Общее уравнение для экспоненциально затухающей синусоиды может быть представлено как:

{\ Displaystyle у (т) = А \ CDOT е ^ {- \ лямбда т} \ CDOT \ соз (\ омега т + \ фи)}

где:

{\ Displaystyle у (т)}

- мгновенная амплитуда в момент времени t ;

{\ displaystyle A}

- начальная амплитуда огибающей;

{\ displaystyle \ lambda}

- скорость убывания, обратная единицам времени независимой переменной t ;

{\ displaystyle \ phi}

- фазовый угол при t = 0;

{\ displaystyle \ omega}

- угловая частота .

К другим важным параметрам относятся:

Частота :, количество циклов в единицу времени. Он выражается в единицах обратного времени , или в герцах . ${\ Displaystyle е = \ омега / (2 \ пи)}$ ${\ displaystyle t ^ {- 1}}$
Постоянная времени :, время уменьшения амплитуды в e раз . ${\ Displaystyle \ тау = 1 / \ лямбда}$
Период полураспада - это время, необходимое для уменьшения огибающей экспоненциальной амплитуды в 2 раза. Оно равно приблизительно . ${\ displaystyle \ ln (2) / \ lambda}$ ${\ displaystyle 0.693 / \ lambda}$
Коэффициент демпфирования : безразмерная характеристика скорости затухания относительно частоты, приблизительно или точно . ${\ displaystyle \ zeta}$ ${\ displaystyle \ zeta = \ lambda / \ omega}$ ${\ displaystyle \ zeta = \ lambda / {\ sqrt {\ lambda ^ {2} + \ omega ^ {2}}} <1}$
Q-фактор : это еще одна безразмерная характеристика величины демпфирования; высокий Q указывает на медленное затухание относительно колебаний. ${\ Displaystyle Q = 1 / (2 \ zeta)}$

Определение коэффициента демпфирования [ править ]

Влияние изменения коэффициента демпфирования на систему второго порядка.

Коэффициент затухания является параметром, обычно обозначается г (дзета), ^[4] , который характеризует частотный отклик в виде обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка . Это особенно важно при изучении теории управления . Это также важно в гармоническом осцилляторе .

Коэффициент демпфирования представляет собой математическое средство выражения уровня демпфирования в системе относительно критического демпфирования. Для затухающего гармонического осциллятора с массой m , коэффициентом демпфирования c и жесткостью пружины k его можно определить как отношение коэффициента демпфирования в дифференциальном уравнении системы к критическому коэффициенту демпфирования:

{\ displaystyle \ zeta = {\ frac {c} {c_ {c}}},}

\zeta ={\frac {\text{actual damping}}{\text{critical damping}}},

где уравнение движения системы

m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+c{\frac {dx}{dt}}+kx=0

а соответствующий критический коэффициент демпфирования равен

c_{c}=2{\sqrt {km}}

или же

c_{c}=2m{\sqrt {\frac {k}{m}}}=2m\omega _{n}

где

\omega _{n}={\sqrt {\frac {k}{m}}}

- собственная частота системы.

Коэффициент демпфирования безразмерен и представляет собой отношение двух коэффициентов одинаковых единиц.

Вывод [ править ]

Используя собственную частоту гармонического осциллятора и определение коэффициента демпфирования выше, мы можем переписать это как: $\omega _{n}={\sqrt {\frac {k}{m}}}$

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+2\zeta \omega _{n}{\frac {dx}{dt}}+\omega _{n}^{2}x=0.

Это уравнение является более общим, чем просто система масса-пружина, а также применимо к электрическим цепям и другим областям. Это можно решить с помощью подхода.

x(t)=Ce^{st},\,

где C и s - комплексные константы, причем s удовлетворяет

s=-\omega _{n}\left(\zeta \pm i{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\right).

Два таких решения для двух значений s, удовлетворяющих уравнению, могут быть объединены для получения общих реальных решений с колебательными и затухающими свойствами в нескольких режимах:

Незатухающий: Это случай, когда соответствует незатухающему простому гармоническому осциллятору, и в этом случае решение выглядит так , как ожидалось. $\zeta =0$ $\exp(i\omega _{n}t)$
Недостаточно демпфированный: Если s - это пара комплексных значений, то каждый член комплексного решения представляет собой убывающую экспоненту в сочетании с колеблющейся частью, которая выглядит так . Этот случай имеет место и называется недостаточным демпфированием . $\exp \left(i\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}t\right)$ $\ 0\leq \zeta <1$
Сверхдемпфированный: Если s - пара действительных значений, то решение представляет собой просто сумму двух убывающих экспонент без колебаний. Этот случай имеет место и называется сверхдемпфированием . $\zeta >1$
Критически затухает: Случай, когда является границей между случаями сверхдемпфирования и недостаточного демпфирования, называется критически демпфированным . Это оказывается желательным результатом во многих случаях, когда требуется инженерное проектирование демпфирующего генератора (например, механизма закрытия двери). $\zeta =1$

Q- фактор и скорость распада [ править ]

Q - фактор , коэффициент демпфирования ζ , и экспоненциальной скорости распада α связаны таким образом, что ^[5]

\zeta ={\frac {1}{2Q}}={\alpha \over \omega _{n}}.

Когда система второго порядка имеет (то есть, когда система underdamped), она имеет два комплексно - сопряженных полюсов, каждый из которых имеет действительную часть из ; то есть параметр скорости затухания представляет собой скорость экспоненциального затухания колебаний. Более низкий коэффициент демпфирования подразумевает меньшую скорость затухания, и поэтому системы с очень слабым демпфированием колеблются в течение длительного времени. ^[6] Например, высококачественный камертон с очень низким коэффициентом демпфирования имеет длительные колебания, которые очень медленно затухают после удара молотком. $\zeta <1$ $-\alpha$ $\alpha$

Логарифмический декремент [ править ]

Для недостаточно затухающих колебаний коэффициент демпфирования также связан с логарифмическим декрементом . Коэффициент затухания может быть найден для любых двух пиков, даже если они не являются смежными. ^[7] Для соседних пиков: ^[8] $\delta$

\zeta ={\frac {\delta }{\sqrt {\delta ^{2}+(2\pi )^{2}}}}

где

\delta =\ln {\frac {x_{0}}{x_{1}}}

где x ₀ и x ₁ - амплитуды любых двух последовательных пиков.

Как показано на правом рисунке:

\qquad \delta =\ln {\frac {x_{1}}{x_{3}}}=\ln {\frac {x_{2}}{x_{4}}}=\ln {\frac {x_{1}-x_{2}}{x_{3}-x_{4}}}

где , - амплитуды двух последовательных положительных пиков и , - амплитуды двух последовательных отрицательных пиков. $x_{1}$ $x_{3}$ $x_{2}$ $x_{4}$

Процент превышения [ править ]

В теории управления , перерегулирование относится к выходу превышает его окончательное, стационарное значение. ^[9] Для пошагового ввода , то процент перерегулирование (РО) представляет собой максимальное значение минус значение шага , деленное на значение шага. В случае единичного шага перерегулирование - это просто максимальное значение реакции на скачок минус один.

Процент превышения (PO) связан с коэффициентом демпфирования ( ζ ) следующим образом:

\mathrm {PO} =100\exp \left({-{\frac {\zeta \pi }{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}\right)

И наоборот, коэффициент демпфирования ( ζ ), который приводит к заданному процентному превышению, определяется как:

\zeta ={\frac {-\ln \left({\frac {\rm {PO}}{100}}\right)}{\sqrt {\pi ^{2}+\ln ^{2}\left({\frac {\rm {PO}}{100}}\right)}}}

Ссылки [ править ]

^ Steidel (1971). Введение в механические колебания . Джон Вили и сыновья. п. 37. затухающий - термин, используемый при изучении вибрации для обозначения рассеяния энергии.
^ JP Meijaard; JM Papadopoulos; А. Руина и А. Л. Шваб (2007). «Линеаризованные уравнения динамики для баланса и управляемости велосипеда: эталон и обзор». Труды Королевского общества А . 463 (2084): 1955–1982. Bibcode : 2007RSPSA.463.1955M . DOI : 10.1098 / rspa.2007.1857 . S2CID 18309860 . возмущения наклона и поворота угасают, казалось бы, приглушенным образом. Однако система не имеет истинного демпфирования и сохраняет энергию. Энергия наклонных и рулевых колебаний передается на скорость движения, а не рассеивается.
^ Douglas C. Giancoli (2000). [ Физика для ученых и инженеров с современной физикой (3-е издание) ]. Прентис Холл. п. 387 ISBN 0-13-021517-1
^ Alciatore, David G. (2007). Введение в мехатронику и измерения (3-е изд.). Макгроу Хилл. ISBN 978-0-07-296305-2.
^ Уильям МакКи. Зиберт. Цепи, сигналы и системы . MIT Press.
↑ Мин Рао и Хаймин Цю (1993). Техника АСУ ТП: учебник для инженеров-химиков, механиков и электриков . CRC Press. п. 96. ISBN 978-2-88124-628-9.
^ https://www.brown.edu/Departments/Engineering/Courses/En4/Notes/vibrations_free_damped/vibrations_free_damped.htm
^ https://pm-engr.com/damping-evaluation-2/
^ Го, Benjamin C & Голнараги MF (2003). Системы автоматического управления (Восьмое изд.). Нью-Йорк: Уайли. п. §7.3 с. 236–237. ISBN 0-471-13476-7.

[1] Steidel (1971). Введение в механические колебания . Джон Вили и сыновья. п. 37. затухающий - термин, используемый при изучении вибрации для обозначения рассеяния энергии.

[MPRS-2] JP Meijaard; JM Papadopoulos; А. Руина и А. Л. Шваб (2007). «Линеаризованные уравнения динамики для баланса и управляемости велосипеда: эталон и обзор». Труды Королевского общества А . 463 (2084): 1955–1982. Bibcode : 2007RSPSA.463.1955M . DOI : 10.1098 / rspa.2007.1857 . S2CID 18309860 . возмущения наклона и поворота угасают, казалось бы, приглушенным образом. Однако система не имеет истинного демпфирования и сохраняет энергию. Энергия наклонных и рулевых колебаний передается на скорость движения, а не рассеивается.

[3] Douglas C. Giancoli (2000). [ Физика для ученых и инженеров с современной физикой (3-е издание) ]. Прентис Холл. п. 387 ISBN 0-13-021517-1

[4] Alciatore, David G. (2007). Введение в мехатронику и измерения (3-е изд.). Макгроу Хилл. ISBN 978-0-07-296305-2.

[Siebert-5] Уильям МакКи. Зиберт. Цепи, сигналы и системы . MIT Press.

[6] Мин Рао и Хаймин Цю (1993). Техника АСУ ТП: учебник для инженеров-химиков, механиков и электриков . CRC Press. п. 96. ISBN 978-2-88124-628-9.

[7] ttps://www.brown.edu/Departments/Engineering/Courses/En4/Notes/vibrations_free_damped/vibrations_free_damped.htm

[8] ttps://pm-engr.com/damping-evaluation-2/

[Kuo-9] Го, Benjamin C & Голнараги MF (2003). Системы автоматического управления (Восьмое изд.). Нью-Йорк: Уайли. п. §7.3 с. 236–237. ISBN 0-471-13476-7.