Удвоение куба , также известное как проблема Делиана , является древней [1] геометрической проблемой. Учитывая край из куба , проблема требует строительства края второго куба , чей объем вдвое больше , чем первый. Как и в случае связанных с этим проблем квадрата круга и деления угла на три части, теперь известно, что удвоение куба невозможно, используя только циркуль и линейку , но даже в древние времена были известны решения, в которых использовались другие инструменты.
В египтянах , индусы , и особенно греки [2] были осведомлены о проблеме и сделали много попыток бесполезных в решении , что они видели , как упрямый , но решаемая задачу. [3] [4] Тем не менее, отсутствие решения на основе циркуля и линейки было окончательно доказано Пьером Ванцелем в 1837 году.
Выражаясь алгебраическими терминами, удвоение единичного куба требует построения отрезка длины x , где x 3 = 2 ; другими словами, x = 3 √ 2 , кубический корень из двух . Это связано с тем, что куб со стороной 1 имеет объем 1 3 = 1 , а куб с удвоенным объемом (объем 2) имеет длину стороны кубического корня, равного 2. Следовательно, невозможно удвоить куб. эквивалентно утверждению, что 3 √ 2 не является конструктивным числом . Это является следствием того факта, что координаты новой точки, построенной с помощью циркуля и линейки, являются корнями многочленов над полем, порожденным координатами предыдущих точек, не большей степени, чем квадратичная . Это означает , что степень от расширения поля , генерируемого конструктивной точкой должна быть степенью 2. удлинительного поля , генерируемые 3 √ 2 , тем не менее, имеет степени 3.
Доказательство невозможности
Начнем с отрезка единичной прямой, определяемого точками (0,0) и (1,0) на плоскости . Нам требуется построить отрезок прямой, определяемый двумя точками, разделенными расстоянием 3 √ 2 . Легко показать, что конструкции компаса и линейки позволили бы такому отрезку линии свободно перемещаться, чтобы коснуться начала координат , параллельно единичному отрезку прямой - так что эквивалентно мы можем рассмотреть задачу построения отрезка от (0,0) до ( 3 √ 2 , 0), что влечет за собой построение точки ( 3 √ 2 , 0).
Соответственно, инструменты циркуля и линейки позволяют нам создавать круги с центром в одной ранее определенной точке и проходящие через другую, а также создавать линии, проходящие через две ранее определенные точки. Любая вновь определенная точка возникает либо в результате пересечения двух таких кругов, как пересечение круга и линии, либо как пересечение двух прямых. Упражнение элементарной аналитической геометрии показывает, что во всех трех случаях координаты x и y вновь определенной точки удовлетворяют многочлену степени не выше квадратичной с коэффициентами, которые являются сложениями, вычитаниями, умножениями и делениями, включающими координаты ранее определенных точек (и рациональные числа). Пересчитаны в более абстрактной терминологии, новые х - и у -координаты имеют минимальные многочлены степени не 2 над подполом из ℝ порожденного предыдущих координат. Таким образом, степень от расширения поля , соответствующего каждому новой системы координат равно 2 или 1.
Итак, учитывая координату любой построенной точки, мы можем индуктивно двигаться в обратном направлении через координаты x и y точек в том порядке, в котором они были определены, до тех пор, пока мы не достигнем исходной пары точек (0,0) и (1, 0). Поскольку каждое расширение поля имеет степень 2 или 1, а также в качестве расширения поля над ℚ координат исходной пара точек, очевидно , степени 1, это следует из правила башни , что степень расширения поля над ℚ любой координатной построенной точки - степень двойки .
Теперь р ( х ) = х 3 - 2 = 0 Легко видеть, что неприводимые над ℤ - любая факторизация будет включать линейный множитель ( х - К ) для некоторого K ∈ ℤ , и поэтому к должно быть корень из р ( х ) ; но также k должно делить 2, то есть k = 1, 2, −1 или −2 , и ни один из них не является корнем p ( x ) . По лемме Гаусса , р ( х ) также неприводимым над ℚ , и, таким образом , минимальный многочлен над ℚ для 3 √ 2 . Расширение поля ℚ ( 3 √ 2 ): ℚ , следовательно, имеет степень 3. Но это не степень двойки , поэтому согласно вышеизложенному, 3 √ 2 не является координатой конструктивной точки и, следовательно, отрезком линии 3. √ 2 нельзя построить, и куб нельзя удвоить.
История
Проблема получила свое название от истории о гражданах Делоса , которые посоветовались с оракулом в Дельфах , чтобы узнать, как победить чуму, посланную Аполлоном . [5] Согласно Плутарху [6], именно граждане Делоса консультировались с оракулом в Дельфах , ища решение своих внутренних политических проблем в то время, которые усилили отношения между гражданами. Оракул ответил, что они должны удвоить размер жертвенника Аполлону, который был обычным кубом. Ответ показался делосцам странным, и они посоветовались с Платоном , который смог истолковать оракул как математическую задачу удвоения объема данного куба, объяснив, таким образом, оракул как совет Аполлона для жителей Делоса, чтобы они занимались своими делами. с изучением геометрии и математики, чтобы успокоить свои страсти. [7]
Согласно Плутарху , Платон дал задачу к Евдоксу и Архиту и Менехмам , который решил проблему с помощью механических средств, получив выговор от Платона для не решает проблему , используя чистую геометрию (Plut., Quaestiones convivales VIII.ii , 718ef). Возможно, поэтому в 350-х гг. До н. Э. Автор псевдоплатонического произведения « Сизиф» (388e) называет проблему нерешенной. [8] Однако другая версия этой истории (приписываемой Эратосфена по Евтокий ) говорит , что все три были найдены решения , но они были слишком абстрактны , чтобы иметь практическое значение. [9]
Значительным достижением в поиске решения проблемы стало открытие Гиппократом Хиосского, что это эквивалентно нахождению двух средних пропорциональных между отрезком линии и другим отрезком с удвоенной длиной. [10] В современных обозначениях это означает, что для заданных сегментов длиной a и 2 a дублирование куба эквивалентно нахождению сегментов длиной r и s так, чтобы
В свою очередь, это означает, что
Но Пьер Ванцель доказал в 1837 году, что кубический корень из 2 не является конструктивным ; то есть его нельзя построить с помощью линейки и циркуля .
Решения с помощью других средств, кроме компаса и линейки
Оригинальное решение Менехма включает пересечение двух конических кривых. Другие более сложные методы удвоения куба включают neusis , циссоиду Диокла , раковину Никомеда или линию Филона . Пандрозия , вероятно женщина-математик из Древней Греции, нашла численно точное приближенное решение, используя плоскости в трех измерениях, но была подвергнута резкой критике со стороны Паппа Александрийского за то, что он не предоставил надлежащего математического доказательства . [11] Архитас решил проблему в 4 веке до нашей эры, используя геометрическое построение в трех измерениях, определив определенную точку как пересечение трех поверхностей вращения.
В литературе по математическим чудакам ( псевдоматематике ) изобилуют ложные утверждения об удвоении куба с помощью циркуля и линейки .
Оригами также можно использовать для создания кубического корня из двух, складывая бумагу .
Использование отмеченной линейки
Существует простая конструкция neusis, использующая отмеченную линейку для длины, которая равна кубическому корню из 2-кратной другой длины. [12]
- Отметьте линейку заданной длины; в конечном итоге это будет GH.
- Постройте равносторонний треугольник ABC со стороной заданной длины.
- Снова увеличьте AB на равную величину до D.
- Продлите линию BC, образуя линию CE.
- Продлите линию DC, образуя линию CF
- Поместите отмеченную линейку так, чтобы она проходила через A, и один конец, G, отмеченной длины приходился на луч CF, а другой конец отмеченной длины, H, приходился на луч CE. Таким образом, GH - заданная длина.
Тогда AG - заданная длина, умноженная на 3 √ 2 .
В теории музыки
В теории музыки естественным аналогом удвоения является октава (музыкальный интервал, вызванный удвоением частоты тона), а естественный аналог куба делит октаву на три части, каждая с одинаковым интервалом . В этом смысле проблема удвоения куба решается основной третью в равном темпераменте . Это музыкальный интервал, составляющий ровно одну треть октавы. Он умножает частоту тона на 2 4 ⁄ 12 = 2.1 ⁄ 3 = 3 √ 2 , длина стороны куба Делиана. [13]
Рекомендации
- ↑ Он появляется в « Республике Платона»( ок. 380 г. до н.э. ) VII.530.
- ^ Guilbeau, Lucye (1930). «История решения кубического уравнения». Новости математики . 5 (4): 8–12. DOI : 10.2307 / 3027812 . JSTOR 3027812 .
- ^ Стюарт, Ян. Теория Галуа . п. 75.
- ^ Платоновская республика Книга VII «если весь город должен держать эти вещи почетно и принять единую инициативу и контролировать, они будут подчиняться, и решение постоянно искал и искренне станет ясно.»
- ^ Л. Жмуд Происхождение истории науки в классической античности , стр.84 , цитируя Плутарха и Теона Смирнского
- ^ Плутарх , De E apud Delphos 386.E.4
- ^ Плутарх , De Genio Socratis 579.B
- ^ Карл Вернер Мюллер, Die Kurzdialoge дер Приложение Platonica , Мюнхен:. Wilhelm Fink, 1975, стр 105-106
- ^ Кнорр, Уилбур Ричард (1986), Древняя традиция геометрических задач , Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, стр. 4 , ISBN 9780486675329.
- ^ TL Хит История греческой математики , Vol. 1]
- ^ Кнорр, Уилбур Ричард (1989). "Тексты Паппа о дублировании куба". Текстовые исследования в античной и средневековой геометрии . Бостон: Биркхойзер. С. 63–76 . DOI : 10.1007 / 978-1-4612-3690-0_5 .
- ^ Генрих Дёрри (1965). 100 великих задач элементарной математики . Дувр. п. 171. ISBN. 0486-61348-8.
- ^ Филлипс, Р.К. (октябрь 1905 г.), «Равномерная темперированная гамма», Musical Opinion and Music Trade Review , 29 (337): 41–42, ProQuest 7191936
Внешние ссылки
- СМИ, связанные с удвоением куба на Викискладе?
- "Дублирование куба" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Удвоение куба . Дж. Дж. О'Коннор и Э. Ф. Робертсон в архиве истории математики MacTutor.
- Удвоить куб - решение Archytas . Выдержка с разрешения из книги «История греческой математики» сэра Томаса Хита.
- Проблема Делиана решена. Либо это? в узлом .
- Удвоение куба, построение близости в виде анимации (сторона = 1,259921049894873)
- Видео математика: «2000 лет неразгаданности: почему невозможно удвоение кубов и квадратов окружностей?»