Часть серии по |
Классическая механика |
---|
В классической механики , вращение уравнения Эйлера являются векторное квазилинейный первого порядка обыкновенное дифференциальное уравнение , описывающее вращение твердого тела , с использованием вращающейся системе отсчета с его оси крепится к корпусу и параллельно тела главных осей инерции . Их общий вид:
где M - приложенные крутящие моменты , I - матрица инерции , а ω - угловая скорость вокруг главных осей.
В трехмерных главных ортогональных координатах они становятся:
где M k - компоненты приложенных крутящих моментов, I k - главные моменты инерции, а ω k - компоненты угловой скорости вокруг главных осей.
Мотивация и вывод [ править ]
Начиная от второго закона Ньютона , в инерциальной системе отсчета (индексируются «в»), то производная по времени от момента импульса L равна приложенный крутящий момент
где I in - тензор момента инерции, рассчитанный в инерциальной системе отсчета. Хотя этот закон универсально верен, он не всегда полезен при решении для движения обычного вращающегося твердого тела, поскольку и I in, и ω могут изменяться во время движения.
Поэтому перейдем к системе координат, закрепленной во вращающемся теле и выбранной так, чтобы ее оси были совмещены с главными осями тензора момента инерции . В этой системе отсчета по крайней мере тензор момента инерции постоянен (и диагонален), что упрощает вычисления. Как описано в моменте инерции , угловой момент L можно записать
где M k , I k и ω k такие же, как указано выше.
Во вращающейся системе отсчета производная по времени должна быть заменена на (см. Производную по времени во вращающейся системе отсчета )
где нижний индекс "rot" указывает, что он взят во вращающейся системе отсчета. Выражения для крутящего момента во вращающейся и инерциальной системах отсчета связаны соотношением
где Q - тензор вращения (не матрица вращения ), ортогональный тензор, связанный с вектором угловой скорости соотношением
для любого вектора v .
В общем случае подставляется L = Iω, а производные по времени берутся с учетом того, что тензор инерции, а также главные моменты не зависят от времени. Это приводит к общей векторной форме уравнений Эйлера
Если вращение главной оси
заменяется, а затем, взяв перекрестное произведение и используя тот факт, что главные моменты не меняются со временем, мы приходим к уравнениям Эйлера в компонентах в начале статьи.
Решения без крутящего момента [ править ]
Для равных нулю RHS есть нетривиальные решения: прецессия без крутящего момента . Обратите внимание: поскольку I является постоянным (потому что тензор инерции представляет собой диагональную матрицу 3 × 3 (см. Предыдущий раздел), потому что мы работаем во внутренней системе отсчета, или потому что крутящий момент управляет вращением вокруг той же оси, так что I не является меняется), тогда мы можем написать
где
- α называется угловым ускорением (или ускорением вращения ) вокруг оси вращения .
Однако, если I не является постоянным во внешней системе отсчета (т.е. тело движется и его тензор инерции не является постоянно диагональным), то мы не можем вынести I за пределы производной . В этом случае у нас будет прецессия без крутящего момента , так что I ( t ) и ω ( t ) изменяются вместе, так что их производная равна нулю. Это движение можно визуализировать с помощью конструкции Пуансо .
Обобщения [ править ]
Эти уравнения также можно использовать, если оси, в которых
не связаны с телом. Тогда ω следует заменить вращением осей вместо вращения тела. Однако по-прежнему требуется, чтобы выбранные оси оставались главными осями инерции. Эта форма уравнений Эйлера полезна для вращательно-симметричных объектов, которые позволяют свободно выбирать некоторые из главных осей вращения.
См. Также [ править ]
- Углы Эйлера
- Эффект Джанибекова
- Момент инерции
- Конструкция Пуансо
- Жесткий ротор
Ссылки [ править ]
- CA Truesdell, III (1991) Первый курс рациональной механики сплошной среды. Vol. 1: Общие концепции , 2-е изд., Academic Press. ISBN 0-12-701300-8 . Секты. I.8-10.
- CA Truesdell, III и RA Toupin (1960) Классические теории поля , в Энциклопедии физики С. Флюгге (ред.) . Vol. III / 1: Основы классической механики и теории поля , Springer-Verlag. Секты. 166–168, 196–197 и 294.
- Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. (1976) Механика , 3-е. изд., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (твердая обложка) и ISBN 0-08-029141-4 ( мягкая обложка ).
- Goldstein H. (1980) Classical Mechanics, 2nd ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9
- Symon KR. (1971) Mechanics, 3rd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7