Метрика Керра

Часть цикла статей о
Общая теория относительности
${\ Displaystyle G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ nu}}$
Вступление История Математическая формулировка Тесты
Основные концепции Принцип относительности Теория относительности Общая ковариация Одновременность Относительность одновременности Относительное движение Мероприятие Точка зрения Инерциальная система отсчета Масса Инертная масса Рама отдыха Кадр с центром импульса Кривизна Геодезический Геон Принцип эквивалентности Масса в общей теории относительности Эквивалентность массы и энергии Инвариантный Инвариантная масса Симметрии пространства-времени Специальная теория относительности Двойная специальная теория относительности инвариант де Ситтера специальная теория относительности Масштаб относительности Скорость света Производная по времени Подходящее время Правильная длина Уменьшение длины Действия на расстоянии Принцип локальности Риманова геометрия Энергетическое состояние
Явления Гравитоэлектромагнетизм Проблема Кеплера Сила тяжести Гравитационное поле Гравитационный колодец Гравитационное линзирование Гравитационные волны Гравитационное красное смещение Красное смещение Синий сдвиг Замедление времени Гравитационное замедление времени Задержка Шапиро Гравитационный потенциал Гравитационное сжатие Гравитационный коллапс Перетаскивание кадра Геодезический эффект Видимый горизонт Горизонт событий Гравитационная сингулярность Обнаженная особенность Черная дыра Белая дыра Пространство-время Стрела времени Световой конус Мировая линия Трехмерное пространство Четырехмерное пространство Космос Время Многообразие Гладкий коллектор Риманово многообразие Пространство конфигурации Государственное пространство Фазовое пространство Гильбертово пространство Евклидово пространство Топологическое пространство Топологический дефект Диаграммы пространства-времени Пространство-время Минковского Скаляр Лоренца Замкнутая времениподобная кривая (CTC) Червоточина Червоточина Эллиса
Уравнения Формализмы Уравнения Линеаризованная гравитация Уравнения поля Эйнштейна Фридман Геодезические Матиссон – Папапетру – Диксон Гамильтон – Якоби – Эйнштейн Инвариант кривизны (общая теория относительности) Преобразование Лоренца Лоренцево многообразие Глобально гиперболическое многообразие Условия причинности Причинная структура Формализмы ADM БССН Ньюман – Пенроуз Постньютоновский Продвинутая теория Теория Бранса – Дике Гипотеза космической цензуры Теория Калуцы – Клейна Квантовая гравитация Супергравитация
Решения Релятивистский диск Шварцшильд ( интерьер ) Рейсснер-Нордстрём Гёдель Керр Керр – Ньюман Kasner Лемэтр – Толман Тауб-ОРЕХ Milne Робертсон – Уокер pp-волна van Stockum пыль Вейль – Льюис – Папапетру Вакуумный раствор
Теоремы Теорема Биркгофа Теорема Героха о расщеплении Теорема Гольдберга – Сакса. Теорема Лавлока Теорема об отсутствии волос Теоремы Пенроуза – Хокинга об особенностях Теорема положительной энергии
Ученые Эйнштейн Лоренц Гильберта Пуанкаре Шварцшильд де Ситтер Рейсснер Nordström Weyl Эддингтон Фридман Milne Цвикки Лемэтр Гёдель Уиллер Робертсон Bardeen Уокер Керр Чандрасекхар Элерс Пенроуз Хокинг Райчаудхури Тейлор Hulse van Stockum Тауб Новичок Яу Торн другие
v т е

Метрика Керра или Керра геометрия описывает геометрию пустого пространства - времени вокруг вращающейся незаряженной аксиально-симметричной черной дыры с квазисферическим горизонтом событий . Керр метрика является точным решением из уравнений поля Эйнштейна в общей теории относительности ; эти уравнения сильно нелинейны , что затрудняет поиск точных решений.

Обзор [ править ]

Метрика Керра является обобщением вращающегося тела метрики Шварцшильда , открытой Карлом Шварцшильдом в 1915 году и описывающей геометрию пространства-времени вокруг незаряженного сферически-симметричного невращающегося тела. Соответствующее решение для заряженного сферического невращающегося тела, метрика Рейсснера – Нордстрема , было обнаружено вскоре после этого (1916–1918). Однако точное решение для незаряженной вращающейся черной дыры, метрика Керра, оставалось нерешенным до 1963 года, когда его открыл Рой Керр . ^{[1] [2] : 69–81}Вскоре после этого в 1965 году было открыто естественное расширение заряженной вращающейся черной дыры, метрика Керра – Ньюмана . Эти четыре связанных решения можно резюмировать в следующей таблице:

где Q представляет собой электрический заряд тела, а J представляет его спиновый угловой момент .

Согласно метрике Керра, вращающееся тело должно демонстрировать перетаскивание кадра (также известное как прецессия Лензе – Тирринга ), характерное предсказание общей теории относительности. Первое измерение этого эффекта перетаскивания кадра было проведено в 2011 году в эксперименте Gravity Probe B. Грубо говоря, этот эффект предсказывает, что объекты, приближающиеся к вращающейся массе, будут увлечены для участия в ее вращении не из-за какой-либо приложенной силы или крутящего момента, которые можно почувствовать, а, скорее, из-за закрученной кривизны самого пространства-времени, связанного с вращающимися телами. . В случае вращающейся черной дыры на достаточно близком расстоянии все объекты - даже свет - должны вращаться вместе с черной дырой; область, в которой это выполняется, называетсяэргосфера .

У вращающихся черных дыр есть поверхности, на которых метрика, кажется, имеет явные особенности ; размер и форма этих поверхностей зависят от массы и углового момента черной дыры . Внешняя поверхность окружает эргосферу и имеет форму, похожую на сплюснутую сферу. Внутренняя поверхность отмечает горизонт событий ; объекты, попадающие внутрь этого горизонта, никогда больше не смогут общаться с миром за пределами этого горизонта. Тем не менее, ни одна поверхности является истинной особенностью, так как их очевидная особенность может быть устранена в другой системе координат ^{[ править ]}. Как отмечалось выше, объекты между этими двумя поверхностями должны вращаться вместе с вращающейся черной дырой; в принципе, эту особенность можно использовать для извлечения энергии из вращающейся черной дыры вплоть до ее энергии инвариантной массы Mc ² .

Эксперимент LIGO, впервые обнаруживший гравитационные волны, анонсированный в 2016 году, также обеспечил первое прямое наблюдение пары черных дыр Керра. ^[3]

Метрика [ править ]

Метрика Керра обычно выражается в одной из двух форм: форме Бойера – Линдквиста и форме Керра – Шильда. Он может быть легко получен из метрики Шварцшильда, используя алгоритм Ньюмена-Janis ^[4] с помощью Ньюмена-Пенроуз формализма (также известный как спин-коэффициентного формализм), ^[5] уравнения Эрнста , ^[6] или Эллипсоида преобразования координат. ^[7]

Координаты Бойера – Линдквиста [ править ]

Метрика Керра описывает геометрию пространства-времени в окрестности массы, вращающейся с угловым моментом . ^[8] Метрика (или, что эквивалентно, ее линейный элемент для собственного времени ) в координатах Бойера – Линдквиста равна ^{[9] [10]}${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle J}$

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&=-c^{2}d\tau ^{2}\\&=-\left(1-{\frac {r_{s}r}{\Sigma }}\right)c^{2}dt^{2}+{\frac {\Sigma }{\Delta }}dr^{2}+\Sigma d\theta ^{2}+\left(r^{2}+a^{2}+{\frac {r_{s}ra^{2}}{\Sigma }}\sin ^{2}\theta \right)\sin ^{2}\theta \ d\phi ^{2}-{\frac {2r_{s}ra\sin ^{2}\theta }{\Sigma }}cdt\,d\phi \end{aligned}}}$

( 1 )

где координаты - стандартные сжатые сфероидальные координаты , которые эквивалентны декартовым координатам ^{[11] [12]}${\displaystyle r,\theta ,\phi }$

${\displaystyle x={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}\sin \theta \cos \phi }$

( 2 )

${\displaystyle y={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}\sin \theta \sin \phi }$

( 3 )

${\displaystyle z=r\cos \theta ,}$

( 4 )

где - радиус Шварцшильда${\displaystyle r_{s}}$

${\displaystyle r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}},}$

( 5 )

и где для краткости масштабы длины и были введены как${\displaystyle a,\Sigma }$${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle a={\frac {J}{Mc}},}$

( 6 )

${\displaystyle \Sigma =r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta ,}$

( 7 )

${\displaystyle \Delta =r^{2}-r_{s}r+a^{2}.}$

( 8 )

Ключевой особенностью, которую следует отметить в приведенной выше метрике, является термин перекрестного произведения. Это означает, что существует связь между временем и движением в плоскости вращения, которая исчезает, когда угловой момент черной дыры стремится к нулю.${\displaystyle dt\,d\phi .}$

В нерелятивистском пределе, когда (или, что то же самое ) стремится к нулю, метрика Керра становится ортогональной метрикой для сжатых сфероидальных координат${\displaystyle M}$${\displaystyle r_{s}}$

${\displaystyle g\mathop {\longrightarrow } _{M\to 0}-c^{2}dt^{2}+{\frac {\Sigma }{r^{2}+a^{2}}}dr^{2}+\Sigma d\theta ^{2}+\left(r^{2}+a^{2}\right)\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$

( 9 )

Координаты Керра – Шильда [ править ]

Метрика Керра может быть выражена в форме «Керра – Шильда» с использованием определенного набора декартовых координат следующим образом. ^{[13] [14] [15]} Эти решения были предложены Керром и Шильдом в 1965 году.

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+fk_{\mu }k_{\nu }\!}$

( 10 )

${\displaystyle f={\frac {2GMr^{3}}{r^{4}+a^{2}z^{2}}}}$

( 11 )

${\displaystyle \mathbf {k} =(k_{x},k_{y},k_{z})=\left({\frac {rx+ay}{r^{2}+a^{2}}},{\frac {ry-ax}{r^{2}+a^{2}}},{\frac {z}{r}}\right)}$

( 12 )

${\displaystyle k_{0}=1.\!}$

( 13 )

Обратите внимание, что k - единичный вектор . Здесь M - постоянная масса вращающегося объекта, η - тензор Минковского , а a - постоянный параметр вращения вращающегося объекта. Понятно, что вектор направлен вдоль положительной оси z. Величина r не является радиусом, а скорее неявно определяется формулой${\displaystyle {\vec {a}}}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{r^{2}+a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{r^{2}}}=1}$

( 14 )

Обратите внимание, что величина r становится обычным радиусом R

${\displaystyle r\to R={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

когда параметр вращения a приближается к нулю. В этой форме решения единицы выбраны так, чтобы скорость света была равна единице ( c = 1). На больших расстояниях от источника (R >> а) эти уравнения сводятся к Эддингтона-Финкельштейна формы из метрики Шварцшильда .

В форме Керра – Шильда метрики Керра определитель метрического тензора всюду равен отрицательному, даже вблизи источника. ^[16]

Координаты солитона [ править ]

Поскольку метрика Керра (вместе с метрикой Керра-NUT ) аксиально-симметрична, ее можно преобразовать в форму, к которой можно применить преобразование Белинского – Захарова . Это означает, что черная дыра Керра имеет форму гравитационного солитона . ^[17]

Масса вращательной энергии [ править ]

Если полная энергия вращения черной дыры извлекается, например , с процессом Пенроуза , ^{[18] [19]} оставшаяся масса не может сжиматься меньше неприводимой масса. Следовательно, если черная дыра вращается со спином , ее полный эквивалент массы в несколько раз выше по сравнению с соответствующей черной дырой Шварцшильда, где равно . Причина этого в том, что для того, чтобы заставить статическое тело вращаться, к системе должна быть приложена энергия. Из-за эквивалентности массы и энергии эта энергия также имеет эквивалент массы, который добавляет к общей массе-энергии системы .${\displaystyle E_{\rm {rot}}=c^{2}\left(M-M_{\rm {irr}}\right)}$${\displaystyle a=M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M_{\rm {irr}}}$${\displaystyle M}$

Полный эквивалент массы (гравитирующая масса) тела (включая его вращательную энергию ) и его неприводимая масса связаны соотношением ^{[20] [21]}${\displaystyle M}$${\displaystyle M_{\rm {irr}}}$

${\displaystyle M_{\rm {irr}}={\sqrt {\frac {{\sqrt {M^{4}-{\frac {J^{2}c^{2}}{G^{2}}}}}+M^{2}}{2}}}\longrightarrow M=2{\sqrt {\frac {M_{\rm {irr}}^{4}}{4M_{\rm {irr}}^{2}-{\frac {a^{2}c^{4}}{G^{2}}}}}}.}$

Оператор волны [ править ]

Так как даже непосредственная проверка на Керра метрики включает в себя громоздкие вычисления, то контравариантные компоненты этого метрического тензора в координатах Бойер-Линдквист показаны ниже в выражении для квадрата с четырьмя градиентного оператора : ^[18]${\displaystyle g^{ik}}$

${\displaystyle g^{\mu \nu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}=-{\frac {1}{c^{2}\Delta }}\left(r^{2}+a^{2}+{\frac {r_{s}ra^{2}}{\Sigma }}\sin ^{2}\theta \right)\left({\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{2}-{\frac {2r_{s}ra}{c\Sigma \Delta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}{\frac {\partial }{\partial {t}}}+{\frac {1}{\Delta \sin ^{2}\theta }}\left(1-{\frac {r_{s}r}{\Sigma }}\right)\left({\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)^{2}+{\frac {\Delta }{\Sigma }}\left({\frac {\partial }{\partial r}}\right)^{2}+{\frac {1}{\Sigma }}\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)^{2}}$

( 15 )

Перетаскивание рамки [ править ]

Мы можем переписать метрику Керра ( 1 ) в следующем виде:

${\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=\left(g_{tt}-{\frac {g_{t\phi }^{2}}{g_{\phi \phi }}}\right)dt^{2}+g_{rr}dr^{2}+g_{\theta \theta }d\theta ^{2}+g_{\phi \phi }\left(d\phi +{\frac {g_{t\phi }}{g_{\phi \phi }}}dt\right)^{2}.}$

( 16 )

Эта метрика эквивалентна совместно вращающейся системе отсчета, которая вращается с угловой скоростью Ω, которая зависит как от радиуса r, так и от ширины θ, где Ω называется горизонтом Киллинга .

${\displaystyle \Omega =-{\frac {g_{t\phi }}{g_{\phi \phi }}}={\frac {r_{s}rac}{\Sigma \left(r^{2}+a^{2}\right)+r_{s}ra^{2}\sin ^{2}\theta }}.}$

( 17 )

Таким образом, инерциальная система отсчета увлекается вращающейся центральной массой, чтобы участвовать во вращении последней; это называется перетаскиванием кадра и было проверено экспериментально. ^[22]Качественно перетаскивание кадра можно рассматривать как гравитационный аналог электромагнитной индукции. «Фигуристка», движущаяся по орбите над экватором и вращающаяся в состоянии покоя относительно звезд, протягивает руки. Рука, протянутая к черной дыре, будет закручена во вращение. Рука, протянутая от черной дыры, будет закручена против вращения. Следовательно, ее вращение будет ускоряться в противоположном направлении по отношению к черной дыре. Это противоположно тому, что происходит в повседневной жизни. Если она уже вращается с определенной скоростью, когда она вытягивает руки, инерционные эффекты и эффекты перетаскивания кадра будут уравновешены, и ее вращение не изменится. По принципу эквивалентностигравитационные эффекты локально неотличимы от инерционных эффектов, поэтому эта скорость вращения, при которой, когда она вытягивает руки, ничего не происходит, является ее локальным ориентиром для отсутствия вращения. Эта рамка вращается относительно неподвижных звезд и вращается в противоположных направлениях относительно черной дыры. Полезная метафора - планетарная зубчатая передача, в которой черная дыра - солнечная шестерня, фигурист - планетарная шестерня, а внешняя вселенная - кольцевая шестерня. Это тоже можно интерпретировать через принцип Маха .

Важные поверхности [ править ]

Метрика Керра ( 1 ) имеет две физически релевантные поверхности, на которых она кажется сингулярной. Внутренняя поверхность соответствует горизонту событий, подобному тому, который наблюдается в метрике Шварцшильда ; это происходит там, где чисто радиальная составляющая метрики g _rr стремится к бесконечности. Решение квадратное уравнение ¹ / _{г р - р}  = 0 дает решение:

${\displaystyle r_{\rm {H}}^{\pm }={\frac {r_{s}\pm {\sqrt {r_{s}^{2}-4a^{2}}}}{2}}}$

что в натуральных единицах (что дает G  =  M  =  c  = 1) упрощается до:

${\displaystyle r_{\rm {H}}^{\pm }=1\pm {\sqrt {1-a^{2}}}}$

Другая очевидная особенность возникает, когда чисто временной компонент метрики g _tt меняет знак с положительного на отрицательный. Снова решение квадратного уравнения g _tt  = 0 дает решение:

${\displaystyle r_{\rm {E}}^{\pm }={\frac {r_{s}\pm {\sqrt {r_{s}^{2}-4a^{2}\cos ^{2}\theta }}}{2}}}$

или в натуральных единицах:

${\displaystyle r_{\rm {E}}^{\pm }=1\pm {\sqrt {1-a^{2}\cos ^{2}\theta }}}$

Из-за члена cos ² θ в квадратном корне эта внешняя поверхность напоминает сплюснутую сферу, которая касается внутренней поверхности на полюсах оси вращения, где ширина θ равна 0 или π ; пространство между этими двумя поверхностями называется эргосферой . В этом объеме чисто временная составляющая g _tt отрицательна, т. Е. Действует как чисто пространственная метрическая составляющая. Следовательно, частицы в этой эргосфере должны вращаться вместе с внутренней массой, если они хотят сохранить свой временноподобный характер. Движущаяся частица испытывает положительное собственное время на своей мировой линии , на своем пути в пространстве-времени.. Однако это невозможно в пределах эргосферы, где g _tt отрицательно, если только частица не вращается совместно с внутренней массой M с угловой скоростью не менее Ω . Таким образом, никакая частица не может вращаться против центральной массы внутри эргосферы.

Как и в случае с горизонтом событий в метрике Шварцшильда , кажущиеся сингулярности в r _H и r _E являются иллюзиями, созданными выбором координат (т. _Е. Они являются координатными сингулярностями ). Фактически, пространство-время может быть плавно продолжено через них соответствующим выбором координат.

Эргосфера и процесс Пенроуза [ править ]

Черная дыра в целом окружена поверхностью, называемой горизонтом событий, и расположена на радиусе Шварцшильда для невращающейся черной дыры, где скорость убегания равна скорости света. Внутри этой поверхности ни один наблюдатель / частица не может поддерживать постоянный радиус. Он вынужден падать внутрь, поэтому это иногда называют статическим пределом .

Вращающаяся черная дыра имеет тот же статический предел на своем горизонте событий, но за пределами горизонта событий есть дополнительная поверхность, названная «эргоповерхность», заданная формулой

${\displaystyle (r-M)^{2}=M^{2}-J^{2}\cos ^{2}\theta }$

в координатах Бойера – Линдквиста , которую можно интуитивно охарактеризовать как сферу, в которой «скорость вращения окружающего пространства» увлекается вместе со скоростью света. Внутри этой сферы перетаскивание больше скорости света, и любой наблюдатель / частица вынуждены вращаться вместе.

Область за пределами горизонта событий, но внутри поверхности, где скорость вращения равна скорости света, называется эргосферой (от греческого ergon, означающего работу ). Частицы, попадающие в эргосферу, вынуждены вращаться быстрее и тем самым приобретать энергию. Поскольку они все еще находятся за пределами горизонта событий, они могут покинуть черную дыру. Чистый процесс состоит в том, что вращающаяся черная дыра испускает энергичные частицы за счет своей собственной полной энергии. Возможность извлечения энергии спина из вращающейся черной дыры была впервые предложена математиком Роджером Пенроузом в 1969 году и поэтому называется процессом Пенроуза.. Вращающиеся черные дыры в астрофизике являются потенциальным источником большого количества энергии и используются для объяснения энергетических явлений, таких как гамма-всплески .

Особенности геометрии Керра [ править ]

Керр геометрия обладает многими отметить особенности: максимальное аналитическое продолжение включает в себя последовательность асимптотический плоских внешних областей, каждый из которых связанно с эргосферой , стационарными предельными поверхностями, горизонтами событий , горизонтами Кошей , замкнутыми кривыми времениподобных и кольцеобразной сингулярностью кривизны . Уравнение геодезической решается точно в замкнутой форме. Помимо двух векторных полей Киллинга (соответствующих сдвигу времени и осевой симметрии ), геометрия Керра допускает замечательный тензор Киллинга. Есть пара основных нулевых конгруэнций ( входящая и исходящая ). Тензор Вейля является алгебраически специальный , на самом деле он имеет Петров тип D . Глобальная структура известна. Топологически гомотопический тип пространства-времени Керра можно просто охарактеризовать как линию с кружками, прикрепленными к каждой целочисленной точке.

Отметим, что внутренняя геометрия Керра неустойчива по отношению к возмущениям во внутренней области. Эта нестабильность означает, что, хотя метрика Керра осесимметрична, черная дыра, созданная в результате гравитационного коллапса, может быть не такой. ^[11] Эта нестабильность также означает, что многие особенности геометрии Керра, описанные выше, могут отсутствовать внутри такой черной дыры. ^{[24] [25]}

Поверхность, на которой свет может вращаться вокруг черной дыры, называется фотонной сферой. Решение Керра имеет бесконечно много фотонных сфер , лежащих между внутренней и внешней. В невращающейся Шварцшильд раствор с а= 0, внутренняя и внешняя фотонные сферы вырождаются, так что существует только одна фотонная сфера с одним радиусом. Чем больше вращение черной дыры, тем дальше друг от друга движутся внутренняя и внешняя фотонные сферы. Луч света, движущийся в направлении, противоположном вращению черной дыры, будет вращаться вокруг дыры во внешней фотонной сфере. Луч света, движущийся в том же направлении, что и вращение черной дыры, будет вращаться по круговой орбите во внутренней фотонной сфере. Орбитальные геодезические с некоторым угловым моментом, перпендикулярным оси вращения черной дыры, будут вращаться на фотонных сферах между этими двумя крайностями. Поскольку пространство-время вращается, такие орбиты демонстрируют прецессию, поскольку есть сдвиг в переменной после завершения одного периода в переменной.${\displaystyle \phi \,}$${\displaystyle \theta \,}$

Уравнения траектории [ править ]

В уравнения движения для пробных частиц в пространстве - времени Керра определяются четырьмя константами движения . ^[26] Первый - это инвариантная масса пробной частицы, определяемая соотношением${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle -\mu ^{2}=p^{\alpha }g_{\alpha \beta }p^{\beta },}$

где - четырехмерный импульс частицы. Кроме того, существуют две константы движения, определяемые симметрией трансляции и вращения керровского пространства-времени: энергия и составляющая орбитального углового момента, параллельная спину черной дыры . ^{[18] [27]}${\displaystyle p^{\alpha }}$${\displaystyle E}$${\displaystyle L_{z}}$

${\displaystyle E=-p_{t}}$, а также

${\displaystyle L_{z}=-p_{\phi }}$

Используя теорию Гамильтона – Якоби , Брэндон Картер показал, что существует четвертая постоянная движения , ^[26], теперь называемая постоянной Картера . Он связан с полным угловым моментом частицы и определяется выражением${\displaystyle Q}$

${\displaystyle Q=p_{\theta }^{2}+\cos ^{2}\theta \left(a^{2}\left(\mu ^{2}-E^{2}\right)+\left({\frac {L_{z}}{\sin \theta }}\right)^{2}\right)}$.

Поскольку существует четыре (независимых) постоянных движения для степеней свободы, уравнения движения пробной частицы в пространстве-времени Керра интегрируемы .

Используя эти константы движения, можно записать уравнения траектории для пробной частицы (с использованием натуральных единиц G = M = c = 1), ^[26]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Sigma {\frac {dr}{d\lambda }}&=\pm {\sqrt {R(r)}}\\\Sigma {\frac {d\theta }{d\lambda }}&=\pm {\sqrt {\Theta (\theta )}}\\\Sigma {\frac {d\phi }{d\lambda }}&=-\left(aE-{\frac {L_{z}}{\sin ^{2}\theta }}\right)+{\frac {a}{\Delta }}P(r)\\\Sigma {\frac {dt}{d\lambda }}&=-a\left(aE\sin ^{2}\theta -L_{z}\right)+{\frac {r^{2}+a^{2}}{\Delta }}P(r)\end{aligned}}}$

с участием

${\displaystyle \Theta (\theta )=Q-\cos ^{2}\theta \left(a^{2}\left(\mu ^{2}-E^{2}\right)+{\frac {L_{z}^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)}$

${\displaystyle P(r)=E\left(r^{2}+a^{2}\right)-aL_{z}}$

${\displaystyle R(r)=P(r)^{2}-\Delta \left(\mu ^{2}r^{2}+(L_{z}-aE)^{2}+Q\right)}$

Где, - аффинный параметр такой, что . В частности, когда аффинный параметр связан с собственным временем прохождения .${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle {\frac {dx^{\alpha }}{d\lambda }}=p^{\alpha }}$${\displaystyle \mu >0}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \lambda =\tau /\mu }$

Из-за эффекта перетаскивания кадра наблюдатель с нулевым угловым моментом (ZAMO) вращается с угловой скоростью, которая определяется относительно координатного времени бухгалтера . ^[28] Локальная скорость пробной частицы измеряется относительно зонда, вращающегося с . Гравитационное замедление времени между фиксированным ZAMO и неподвижным наблюдателем вдали от массы равно${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle t}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\frac {t}{\tau }}={\sqrt {\frac {\left(a^{2}+r^{2}\right)^{2}-a^{2}\Delta \sin ^{2}\theta }{\Delta \ \Sigma }}}}$.

Симметрии [ править ]

Группа изометрий метрики Керра - это подгруппа десятимерной группы Пуанкаре, которая переводит двумерное множество особенности в себя. Он сохраняет переводы времени (одно измерение) и вращения вокруг своей оси вращения (одно измерение). Таким образом, он имеет два измерения. Как и группа Пуанкаре, она имеет четыре компонента связности: компонент тождества; компонент, меняющий местами время и долготу; компонент, отражающийся через экваториальную плоскость; и компонент, который делает и то, и другое.

В физике симметрии обычно связаны с сохраняющимися константами движения в соответствии с теоремой Нётер . Как показано выше, уравнения геодезических имеют четыре сохраняющихся величины: одна из которых вытекает из определения геодезической, а две из которых возникают из симметрии сдвига во времени и вращения геометрии Керра. Четвертая сохраняющаяся величина не возникает из-за симметрии в стандартном смысле и обычно называется скрытой симметрией.

Сверхэкстремальные решения Керра [ править ]

Расположение горизонта событий определяется большим корнем из . Когда (т. Е.) У этого уравнения нет (действительных) решений и нет горизонта событий. Без горизонтов событий, которые могли бы скрыть ее от остальной Вселенной, черная дыра перестает быть черной дырой и вместо этого будет голой сингулярностью . ^[29]${\displaystyle \Delta =0}$${\displaystyle r_{s}/2<a}$${\displaystyle GM^{2}<Jc}$

Черные дыры Керра как кротовые норы [ править ]

Хотя решение Керра кажется сингулярным в корнях Δ = 0, на самом деле это координатные особенности , и при соответствующем выборе новых координат решение Керра может быть плавно продолжено до значений, соответствующих этим корням. Больший из этих корней определяет местоположение горизонта событий, а меньший - местоположение горизонта Коши. Кривая (направленная в будущее, похожая на время) может начинаться снаружи и проходить через горизонт событий. После прохождения горизонта событий координата теперь ведет себя как координата времени, поэтому она должна уменьшаться, пока кривая не пройдет через горизонт Коши. ^[30]${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$

Область за горизонтом Коши имеет несколько удивительных особенностей. В координате снова ведет себя как пространственную координату и может свободно варьировать. Внутренняя область имеет симметрию отражения, так что кривая (направленная в будущее, похожая на время) может продолжаться по симметричному пути, который продолжается через второй горизонт Коши, через второй горизонт событий и выходит в новую внешнюю область, которая является изометрично исходной внешней области решения Керра. Затем кривая может уйти в бесконечность в новой области или войти в горизонт будущих событий новой внешней области и повторить процесс. Этот второй внешний вид иногда воспринимается как другая вселенная. С другой стороны, в решении Керра особенность представляет собой кольцо${\displaystyle r}$, и кривая может проходить через центр этого кольца. Область за пределами допускает замкнутые временные кривые. Поскольку траектории наблюдателей и частиц в общей теории относительности описываются временными кривыми, наблюдатели в этой области могут вернуться в свое прошлое. ^{[24] [25]} Это внутреннее решение вряд ли будет физическим и считается чисто математическим артефактом. ^[31]

Хотя ожидается, что внешняя область решения Керра будет стабильной и что все вращающиеся черные дыры в конечном итоге приблизятся к метрике Керра, внутренняя область решения кажется нестабильной, как карандаш, балансирующий на острие. ^{[32] [11]} Это связано с идеей космической цензуры .

Отношение к другим точным решениям [ править ]

Геометрия Керра представляет собой частный пример стационарного аксиально - симметричного вакуумного решения к уравнению Эйнштейна поля . Семейство всех стационарных осесимметричных вакуумных решений уравнения поля Эйнштейна - это вакуумы Эрнста .

Решение Керра также связано с различными невакуумными решениями, которые моделируют черные дыры. Например, электровакуум Керра – Ньюмана моделирует (вращающуюся) черную дыру, наделенную электрическим зарядом, а нулевая пыль Керра – Вайдьи моделирует (вращающуюся) дыру с падающим электромагнитным излучением.

Частный случай метрики Керра дает метрику Шварцшильда , которая моделирует невращающуюся черную дыру, которая статична и сферически симметрична в координатах Шварцшильда . (В этом случае каждый момент Героха, кроме массы, равен нулю.)${\displaystyle a=0}$

Интерьер геометрии Керры, или , вернее, ее часть, является локально изометрическим в вакуум Чандрасекхар-Ferrari К , пример встречных плоской волны модели. Это особенно интересно, потому что глобальная структура этого решения CPW сильно отличается от структуры геометрии Керра, и, в принципе, экспериментатор мог бы надеяться изучить геометрию (внешней части) внутренней части Керра, устроив столкновение две подходящие гравитационные плоские волны .

Мультипольные моменты [ править ]

Каждый асимптотически плоский вакуум Эрнста можно охарактеризовать, задав бесконечную последовательность релятивистских мультипольных моментов , первые два из которых можно интерпретировать как массу и угловой момент источника поля. Существуют альтернативные формулировки релятивистских мультипольных моментов Хансена, Торна и Героха, которые, как оказалось, согласуются друг с другом. Релятивистские мультипольные моменты геометрии Керра были вычислены Хансеном; они оказываются

${\displaystyle M_{n}=M[ia]^{n}}$

Таким образом, частный случай вакуума Шварцшильда ( a  = 0) дает «монопольный точечный источник » общей теории относительности. ^[а]

Мультипольные моменты Вейля возникают в результате обработки определенной метрической функции (формально соответствующей ньютоновскому гравитационному потенциалу), которая появляется в виде диаграммы Вейля-Папапетру для семейства Эрнста всех стационарных осесимметричных вакуумных решений с использованием стандартных евклидовых скалярных мультипольных моментов . Они отличаются от моментов, вычисленных Хансеном выше. В некотором смысле моменты Вейля лишь (косвенно) характеризуют «массовое распределение» изолированного источника и, как оказывается, зависят только от релятивистских моментов четного порядка . В случае решений, симметричных относительно экваториальной плоскости , моменты Вейля нечетного порядка обращаются в нуль. Для вакуумных решений Керра первые несколько моментов Вейля равны

${\displaystyle a_{0}=M,\qquad a_{1}=0,\qquad a_{2}=M\left({\frac {M^{2}}{3}}-a^{2}\right)}$

В частности, мы видим, что вакуум Шварцшильда имеет ненулевой момент Вейля второго порядка, соответствующий тому факту, что «монополь Вейля» является вакуумным решением Шази – Керзона , а не вакуумным решением Шварцшильда, которое возникает из ньютоновского потенциала некоторого конечного длина тонкого стержня однородной плотности .

В общей теории относительности слабого поля удобно рассматривать изолированные источники с использованием другого типа мультиполей, которые обобщают моменты Вейля на массовые мультипольные моменты и мультипольные моменты импульса , характеризующие соответственно распределение массы и импульса источника. Это многоиндексированные величины, чьи соответствующим образом симметризованные и антисимметризованные части могут быть связаны с действительной и мнимой частями релятивистских моментов для полной нелинейной теории довольно сложным образом.

Перес и Морески дали альтернативное понятие «монопольных решений», расширив стандартную тетраду NP вакуума Эрнста по степеням r (радиальная координата в диаграмме Вейля-Папапетру). Согласно этой формулировке:

• изолированный массовый монопольный источник с нулевым угловым моментом представляет собой семейство вакуума Шварцшильда (один параметр),
• изолированный массовый монопольный источник с радиальным угловым моментом - это вакуумное семейство Тауба – НУТ (два параметра; не совсем асимптотически плоский),
• Изолированный массовый монопольный источник с осевым угловым моментом представляет собой семейство керровского вакуума (два параметра).

В этом смысле вакуумы Керра являются простейшими стационарными осесимметричными асимптотически плоскими вакуумными решениями в общей теории относительности.

Открытые проблемы [ править ]

Геометрия Керра часто используется как модель вращающейся черной дыры . Но если мы будем считать решение действительным только за пределами некоторой компактной области (с некоторыми ограничениями), в принципе мы должны иметь возможность использовать его в качестве внешнего решения для моделирования гравитационного поля вокруг вращающегося массивного объекта, отличного от черной дыры, например нейтронная звезда или Земля. Это очень хорошо работает для невращающегося случая, когда мы можем сопоставить внешний вид вакуума Шварцшильда с жидкостью Шварцшильда внутри, и действительно с более общей статической сферически-симметричной идеальной жидкостью.решения. Однако проблема поиска вращающегося внутреннего пространства с идеальной текучей средой, которое можно было бы согласовать с внешним видом Керра или даже с любым асимптотически плоским вакуумным внешним решением, оказалась очень сложной. В частности, жидкость Уолквиста , которая когда-то считалась кандидатом на соответствие внешнему виду Керра, теперь, как известно, не допускает никакого подобного соответствия. В настоящее время, похоже, известны только приближенные решения, моделирующие медленно вращающиеся жидкие шары. (Это релятивистский аналог сплюснутых (толстых, приземистых) сфероидальных шаров с ненулевой массой и угловым моментом, но исчезающими высшими мультипольными моментами.) Однако внешняя часть диска Нойгебауэра – Майнеля , точного пылевого раствора, моделирующего вращающийся тонкий диск, подходит в предельном случае${\displaystyle GM^{2}=cJ}$Геометрия Керра. Известны также физические решения в виде тонких дисков, полученные путем идентификации частей керровского пространства-времени. ^[33]

См. Также [ править ]

• Метрика Шварцшильда
• Метрика Керра – Ньюмана
• Метрика Рейсснера – Нордстрема
• Спин-флип
• Пространство-время Керра – Шильда
• Вращающаяся черная дыра

Сноски [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Уилтшир, Дэвид Л .; Виссер, Мэтт; Скотт, Сьюзан М. , ред. (2009). Пространство-время Керра: вращающиеся черные дыры в общей теории относительности . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-88512-6.
• Стефани, Ганс; Крамер, Дитрих; Маккаллум, Малькольм; Хенселаерс, Корнелиус; Герлт, Эдуард (2003). Точные решения уравнений поля Эйнштейна . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-46136-8.
• Майнель, Рейнхард ; Ансорг, Маркус; Кляйнвахтер, Андреас; Нойгебауэр, Гернот; Петров, Давид (2008). Релятивистские фигуры равновесия . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-86383-4.
• О'Нил, Барретт (1995). Геометрия керровских черных дыр . Уэллсли, Массачусетс: AK Peters. ISBN 978-1-56881-019-5.
• Д'Инверно, Рэй (1992). Введение в теорию относительности Эйнштейна . Оксфорд: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-859686-8. См. Главу 19 для удобочитаемого введения на продвинутом уровне бакалавриата.
• Чандрасекхар, С. (1992). Математическая теория черных дыр . Оксфорд: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-850370-5. См. Главы 6-10 для очень тщательного изучения на продвинутом уровне выпускников.
• Гриффитс, Дж. Б. (1991). Встречающиеся плоские волны в общей теории относительности . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-853209-5. См. Главу 13 для модели Чандрасекара / Феррари CPW.
• Адлер, Рональд; Базен, Морис; Шиффер, Менахем (1975). Введение в общую теорию относительности (второе изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. ISBN 978-0-07-000423-8. См. Главу 7 .
• Пенроуз, Р. (1968). под ред. К. де Витта и Дж. Уиллера (ред.). Battelle Rencontres . WA Бенджамин, Нью-Йорк. п. 222.
• Перес, Алехандро; Морески, Освальдо М. (2000). «Характеризация точных решений из асимптотических физических понятий». arXiv : gr-qc / 0012100v1 . Как отмечалось выше, характеризация трех стандартных семейств вакуумных растворов.
• Сотириу, Томас П .; Апостолатос, Теохарис А. (2004). «Поправки и комментарии к мультипольным моментам осесимметричного электровакуумного пространства-времени». Класс. Квантовая гравитация . 21 (24): 5727–5733. arXiv : gr-qc / 0407064 . Bibcode : 2004CQGra..21.5727S . DOI : 10.1088 / 0264-9381 / 21/24/003 . S2CID  16858122 . Дает релятивистские мультипольные моменты для вакуума Эрнста (плюс электромагнитные и гравитационные релятивистские мультипольные моменты для заряженного обобщения).
• Картер, Б. (1971). «Осесимметричная черная дыра имеет только две степени свободы». Письма с физическим обзором . 26 (6): 331–333. Bibcode : 1971PhRvL..26..331C . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.26.331 .
• Вальд, RM (1984). Общая теория относительности . Чикаго: Издательство Чикагского университета. С. 312–324. ISBN 978-0-226-87032-8.
• Керр, Р.П .; Шильд, А. (2009). «Републикация: новый класс вакуумных решений уравнений поля Эйнштейна». Общая теория относительности и гравитации . 41 (10): 2485–2499. Bibcode : 2009GReGr..41.2485K . DOI : 10.1007 / s10714-009-0857-Z . S2CID  361088 .
• Красинский, Анджей; Вердагер, Энрик; Керр, Рой Патрик (2009). "От редакции: Р. П. Керр и А. Шильд, Новый класс вакуумных решений уравнений поля Эйнштейна" . Общая теория относительности и гравитации . 41 (10): 2469–2484. Bibcode : 2009GReGr..41.2469K . DOI : 10.1007 / s10714-009-0856-0 . «… Эта заметка предназначена быть руководством для тех читателей, которые хотят проверить все детали [вывода решения Керра]…»