Вращающаяся опорная рамка

Классическая механика
Часть серии по
${\ displaystyle {\ textbf {F}} = {\ frac {d} {dt}} (м {\ textbf {v}})}$ Второй закон движения
История График Учебники
ветви Применяемый Небесный Континуум Динамика Кинематика Кинетика Статика Статистическая
Основы Ускорение Угловой момент Пара Принцип Даламбера Энергия кинетический потенциал Сила Точка зрения Инерциальная система отсчета Импульс Инерция / момент инерции Масса Механическая мощность Механическая работа Момент Импульс Космос Скорость Время Крутящий момент Скорость Виртуальная работа
Составы Законы движения Ньютона Аналитическая механика Лагранжева механика Гамильтонова механика Рутианская механика Уравнение Гамильтона – Якоби Уравнение движения Аппеля Механика Купмана – фон Неймана
Основные темы Коэффициент демпфирования Смещение Уравнения движения Законы движения Эйлера Фиктивная сила Трение Гармонический осциллятор Инерциальная / неинерциальная система отсчета Механика движения плоских частиц Движение ( линейное ) Закон всемирного тяготения Ньютона Законы движения Ньютона Относительная скорость Жесткое тело динамика Уравнения Эйлера Простые гармонические колебания Вибрация
Вращение Круговое движение Вращающаяся опорная рамка Центростремительная сила Центробежная сила реактивный Сила Кориолиса Маятник Тангенциальная скорость Скорость вращения Угловое ускорение / перемещение / частота / скорость
Ученые Кеплер Галилео Гюйгенс Ньютон Хоррокс Галлей Даниэль Бернулли Иоганн Бернулли Эйлер д'Аламбер Clairaut Лагранж Лаплас Гамильтон Пуассон Коши Раут Liouville Appell Гиббс Купман фон Нейман
Категории ► Классическая механика
v т е

Вращающейся системе отсчета является частным случаем не-инерциальной системе отсчета , который вращающейся относительно к инерциальной системе отсчета . Обычным примером вращающейся системы отсчета является поверхность Земли . (В этой статье рассматриваются только кадры, вращающиеся вокруг фиксированной оси. Для более общих вращений см. Углы Эйлера .)

В инерциальной системе отсчета (верхняя часть рисунка) черный шар движется по прямой. Однако наблюдатель (красная точка), который находится во вращающейся / неинерциальной системе отсчета (нижняя часть изображения), видит, что объект движется по криволинейной траектории из-за кориолисовых и центробежных сил, присутствующих в этом кадре.

Фиктивные силы [ править ]

Все неинерциальные системы отсчета демонстрируют фиктивные силы ; вращающиеся системы отсчета характеризуются тремя: ^[1]

центробежная сила ,
сила Кориолиса ,

а для неравномерно вращающихся систем отсчета

Эйлера сила .

Ученые во вращающемся ящике могут измерить скорость и направление своего вращения, измеряя эти фиктивные силы. Например, Леон Фуко смог показать силу Кориолиса, возникающую в результате вращения Земли, с помощью маятника Фуко . Если бы Земля вращалась во много раз быстрее, люди могли бы почувствовать эти фиктивные силы, как на вращающейся карусели .

Связь вращающихся кадров со стационарными [ править ]

Ниже приводится вывод формул для ускорений, а также фиктивных сил во вращающейся раме. Он начинается с соотношения между координатами частицы во вращающейся системе отсчета и ее координатами в инерционной (стационарной) системе отсчета. Затем, взяв производные по времени, выводятся формулы, которые связывают скорость частицы, видимую в двух кадрах, и ускорение относительно каждого кадра. Используя эти ускорения, фиктивные силы идентифицируются путем сравнения второго закона Ньютона, сформулированного в двух разных системах отсчета.

Связь между позициями в двух фреймах [ править ]

Для того, чтобы вывести эти фиктивные силы, это полезно , чтобы иметь возможность конвертировать между координатами вращающейся системе отсчета и координатами в качестве инерциальной системы отсчета с того же происхождения. Если вращение происходит вокруг оси с постоянной угловой скоростью , или , и две системы отсчета совпадают во времени , преобразование из вращающихся координат в инерциальные координаты может быть записано ${\ Displaystyle \ влево (х ', у', г '\ вправо)}$ ${\ Displaystyle \ влево (х, у, г \ вправо)}$ ${\ displaystyle z}$ ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ Displaystyle \ тета (т) {=} \ Омега т}$ ${\ displaystyle t = 0}$

{\ Displaystyle х = х '\ соз \ влево (\ тета (т) \ вправо) -у' \ грех \ влево (\ тета (т) \ вправо)}

{\ Displaystyle у = х '\ грех \ влево (\ тета (т) \ вправо) + у' \ соз \ влево (\ тета (т) \ вправо)}

тогда как обратное преобразование

{\ displaystyle x '= x \ cos \ left (- \ theta (t) \ right) -y \ sin \ left (- \ theta (t) \ right)}

{\ Displaystyle у '= Икс \ грех \ влево (- \ тета (т) \ вправо) + у \ соз \ влево (- \ тета (т) \ вправо)}

Этот результат можно получить из матрицы вращения .

Введите единичные векторы, представляющие стандартные единичные базисные векторы во вращающейся системе отсчета. Далее находятся производные по времени этих единичных векторов. Предположим, что кадры выровнены в точке t = 0, а ось z является осью вращения. Тогда для поворота против часовой стрелки на угол Ωt : ${\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {\ imath}}}, \ {\ hat {\ boldsymbol {\ jmath}}}, \ {\ hat {\ boldsymbol {k}}}}$

{\ Displaystyle {\ шляпа {\ boldsymbol {\ imath}}} (т) = (\ соз \ тета (т), \ \ грех \ тета (т))}

где компоненты ( x , y ) выражены в неподвижной системе отсчета. Так же,

{\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {\ jmath}}} (t) = (- \ sin \ theta (t), \ \ cos \ theta (t)) \.}

Таким образом, производная по времени этих векторов, которые вращаются без изменения величины, равна

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ hat {\ boldsymbol {\ imath}}} (t) = \ Omega (- \ sin \ theta (t), \ \ cos \ theta (t)) = \ Omega {\ hat {\ boldsymbol {\ jmath}}} \;}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ hat {\ boldsymbol {\ jmath}}} (t) = \ Omega (- \ cos \ theta (t), \ - \ sin \ theta (t)) = - \ Omega {\ hat {\ boldsymbol {\ imath}}} \,}

где . Этот результат аналогичен результату, полученному с использованием векторного векторного произведения с вектором вращения, направленным вдоль оси вращения z , а именно: ${\ Displaystyle \ Omega \ Equiv {\ гидроразрыва {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ theta (t)}$ ${\boldsymbol {\Omega }}$ ${\boldsymbol {\Omega }}=(0,\ 0,\ \Omega )$

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {u}}}={\boldsymbol {\Omega \times }}{\hat {\boldsymbol {u}}}\ ,

где либо или . ${\hat {\boldsymbol {u}}}$ ${\hat {\boldsymbol {\imath }}}$ ${\hat {\boldsymbol {\jmath }}}$

Производные по времени в двух фреймах [ править ]

Введите единичные векторы, представляющие стандартные единичные базисные векторы во вращающейся системе отсчета. По мере вращения они останутся нормализованными. Если мы позволим им вращаться со скоростью около оси, тогда каждый единичный вектор вращающейся системы координат подчиняется следующему уравнению: ${\hat {\boldsymbol {\imath }}},\ {\hat {\boldsymbol {\jmath }}},\ {\hat {\boldsymbol {k}}}$ $\Omega (t)$ ${\boldsymbol {\Omega }}(t)$ ${\hat {\boldsymbol {u}}}$

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {u}}}={\boldsymbol {\Omega }}(t)\times {\boldsymbol {\hat {u}}}\ .

Тогда, если у нас есть векторная функция , ${\boldsymbol {f}}$

{\boldsymbol {f}}(t)=f_{x}(t){\hat {\boldsymbol {\imath }}}+f_{y}(t){\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+f_{z}(t){\hat {\boldsymbol {k}}}\ ,

и мы хотим исследовать его первую производную, которую мы имеем (используя правило дифференцирования произведения): ^[2]^[3]

{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {f}}&={\frac {\mathrm {d} f_{x}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}+{\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {\imath }}}}{\mathrm {d} t}}f_{x}+{\frac {\mathrm {d} f_{y}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+{\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {\jmath }}}}{\mathrm {d} t}}f_{y}+{\frac {\mathrm {d} f_{z}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {k}}}+{\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {k}}}}{\mathrm {d} t}}f_{z}\\&={\frac {\mathrm {d} f_{x}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}+{\frac {\mathrm {d} f_{y}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+{\frac {\mathrm {d} f_{z}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {k}}}+\left[{\boldsymbol {\Omega }}(t)\times \left(f_{x}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}+f_{y}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+f_{z}{\hat {\boldsymbol {k}}}\right)\right]\\&=\left({\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {f}}}{\mathrm {d} t}}\right)_{r}+{\boldsymbol {\Omega }}(t)\times {\boldsymbol {f}}(t)\end{aligned}}

где - скорость изменения, наблюдаемая во вращающейся системе координат. В сокращении дифференциация выражается как: $\left({\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {f}}}{\mathrm {d} t}}\right)_{r}$ ${\boldsymbol {f}}$

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {f}}=\left[\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{r}+{\boldsymbol {\Omega }}(t)\times \right]{\boldsymbol {f}}\ .

Этот результат также известен как транспортная теорема в аналитической динамике, а также иногда упоминается как основное кинематическое уравнение. ^[4]

Соотношение скоростей в двух кадрах [ править ]

Скорость объекта - это производная по времени от положения объекта, или

\mathbf {v} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}

Производная по времени от позиции во вращающейся системе отсчета имеет две составляющие: одну из явной зависимости от времени из-за движения самой частицы, а другую из собственного вращения кадра. Применяя результат предыдущего раздела к смещению , скорости в двух системах отсчета связаны уравнением ${\boldsymbol {r}}(t)$ ${\boldsymbol {r}}(t)$

\mathbf {v_{i}} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} =\mathbf {v} _{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} \ ,

где нижний индекс i означает инерциальную систему отсчета, а r означает вращающуюся систему отсчета.

Связь между ускорениями в двух кадрах [ править ]

Ускорение - это вторая производная по времени от положения или первая производная по времени от скорости.

\mathbf {a} _{\mathrm {i} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}\right)_{\mathrm {i} }=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {i} }=\left[\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \right]\left[\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} \right]\ ,

где нижний индекс i означает инерциальную систему отсчета. Выполнение дифференцирования и перестановка некоторых членов дает ускорение относительно вращающейся системы отсчета, $\mathbf {a} _{\mathrm {r} }$

\mathbf {a} _{\mathrm {r} }=\mathbf {a} _{\mathrm {i} }-2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {r} }-{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} )-{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\Omega }}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {r}

где - кажущееся ускорение во вращающейся системе отсчета, член представляет собой центробежное ускорение , а член - ускорение Кориолиса . Последний член ( ) представляет собой ускорение Эйлера и равен нулю в равномерно вращающихся системах отсчета. $\mathbf {a} _{\mathrm {r} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}\right)_{\mathrm {r} }$ $-{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} )$ $-2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {r} }$ $-{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\Omega }}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {r}$

Второй закон Ньютона в двух рамках [ править ]

Когда выражение для ускорения умножается на массу частицы, три дополнительных члена в правой части приводят к фиктивным силам во вращающейся системе отсчета, то есть кажущимся силам, которые возникают в результате нахождения в неинерциальной системе отсчета. , а не от какого-либо физического взаимодействия между телами.

Используя второй закон движения Ньютона , получаем: ^[1]^[2]^[3]^[5]^[6] $\mathbf {F} =m\mathbf {a}$

сила Кориолиса

\mathbf {F} _{\mathrm {Coriolis} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {r} }

центробежная сила

\mathbf {F} _{\mathrm {centrifugal} }=-m{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} )

и сила Эйлера

\mathbf {F} _{\mathrm {Euler} }=-m{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\Omega }}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {r}

где - масса объекта, на который действуют эти фиктивные силы . Обратите внимание, что все три силы исчезают, когда рама не вращается, то есть когда $m$ ${\boldsymbol {\Omega }}=0\ .$

Для полноты, инерционное ускорение из-за приложенных внешних сил может быть определено из общей физической силы в инерционной (невращающейся) системе отсчета (например, силы от физических взаимодействий, таких как электромагнитные силы ), используя второй закон Ньютона в инерциальной системе отсчета: $\mathbf {a} _{\mathrm {i} }$ $\mathbf {F} _{\mathrm {imp} }$

\mathbf {F} _{\mathrm {imp} }=m\mathbf {a} _{\mathrm {i} }

Тогда закон Ньютона во вращающейся системе отсчета принимает вид

\mathbf {F_{r}} =\mathbf {F} _{\mathrm {imp} }+\mathbf {F} _{\mathrm {centrifugal} }+\mathbf {F} _{\mathrm {Coriolis} }+\mathbf {F} _{\mathrm {Euler} }=m\mathbf {a_{r}} \ .

Другими словами, чтобы управлять законами движения во вращающейся системе отсчета: ^[6]^[7]^[8]

Относитесь к фиктивным силам как к реальным силам и притворяйтесь, что вы находитесь в инерциальной системе отсчета.
- Луи Н. Хэнд, Джанет Д. Финч Аналитическая механика , стр. 267

Очевидно, что вращающаяся система отсчета - это случай неинерциальной системы отсчета. Таким образом, на частицу в дополнение к реальной силе действует фиктивная сила ... Частица будет двигаться в соответствии со вторым законом движения Ньютона, если общая сила, действующая на нее, будет принята как сумма реальной и фиктивной сил.
- HS Hans & SP Pui: Механика ; п. 341

Это уравнение имеет в точности форму второго закона Ньютона, за исключением того, что помимо F , суммы всех сил, определенных в инерциальной системе отсчета, справа есть дополнительный член ... Это означает, что мы можем продолжать использовать второй закон Ньютона. в неинерциальной системе отсчета при условии, что мы согласны с тем, что в неинерциальной системе отсчета мы должны добавить дополнительный силоподобный член, часто называемый инерционной силой .
- Джон Р. Тейлор: Классическая механика ; п. 328

Центробежная сила [ править ]

В классической механике , центробежная сила является внешним сила , связанным с вращением . Центробежная сила - одна из нескольких так называемых псевдосил (также известных как силы инерции ), названных так потому, что, в отличие от реальных сил , они не возникают при взаимодействии с другими телами, находящимися в среде частицы, на которую они действуют. Вместо этого центробежная сила возникает при вращении системы отсчета, в которой производятся наблюдения. ^[9]^[10]^[11]^[12]^[13]^[14]

Эффект Кориолиса [ править ]

Рисунок 1: В инерциальной системе отсчета (верхняя часть рисунка) черный объект движется по прямой линии. Однако наблюдатель (красная точка), находящийся во вращающейся системе отсчета (нижняя часть изображения), видит объект как идущий по кривой траектории.

Математическое выражение для силы Кориолиса появилось в 1835 бумаге французского ученого Гаспар-Гюстав Кориолис в связи с гидродинамикой , а также в приливных уравнениях с Лаплас в 1778 году в начале 20 - го века, термин сила Кориолиса началось для использования в связи с метеорологией .

Возможно, наиболее часто встречающейся вращающейся системой отсчета является Земля . Движущиеся объекты на поверхности Земли испытывают силу Кориолиса и, кажется, поворачивают вправо в северном полушарии и влево в южном . Движение воздуха в атмосфере и воды в океане являются яркими примерами такого поведения: вместо того, чтобы течь непосредственно из областей с высоким давлением в область низкого давления, как на невращающейся планете, ветры и течения имеют тенденцию течь вправо. этого направления к северу от экватора и слева от этого направления к югу от экватора. Этот эффект отвечает за вращение больших циклонов (см. Эффекты Кориолиса в метеорологии.).

Сила Эйлера [ править ]

В классической механике , то ускорение Эйлера (названное по имени Леонарда Эйлеру ), также известные как азимутальное ускорение ^[15] или поперечное ускорение ^[16] представляет собой ускорение , которое появляется , когда неравномерно вращающийся опорный кадр используется для анализа движения , и есть изменение в угловой скорости на раме опорной оси «ы. Эта статья ограничена системой отсчета, которая вращается вокруг фиксированной оси.

Сила Эйлера - это фиктивная сила, действующая на тело, которая связана с ускорением Эйлера соотношением F = m a , где a - ускорение Эйлера, а m - масса тела. ^[17]^[18]

Использование в магнитном резонансе [ править ]

Магнитный резонанс удобно рассматривать в системе отсчета, вращающейся с ларморовской частотой спинов. Это показано на анимации ниже. Приближения вращающейся волны также могут быть использованы.

Анимация, показывающая вращающуюся рамку. Красная стрелка - это спин в сфере Блоха, прецессирующий в лабораторной системе координат из-за статического магнитного поля. Во вращающейся рамке вращение остается неподвижным, пока резонансно колеблющееся магнитное поле не вызовет магнитный резонанс.

См. Также [ править ]

Абсолютное вращение
Центробежная сила (вращающаяся система отсчета) Центробежная сила, видимая из систем, вращающихся вокруг фиксированной оси
Механика плоского движения частицы Фиктивные силы, проявляемые частицей в плоском движении, видимые самой частицей и наблюдателями в совместно вращающейся системе отсчета
Сила Кориолиса Влияние силы Кориолиса на Землю и другие вращающиеся системы
Инерциальная система отсчета
Неинерциальный каркас
Фиктивная сила Более общий подход к предмету этой статьи

Ссылки [ править ]

^ a b Владимир Игоревич Арнольд (1989). Математические методы классической механики (2-е изд.). Springer. п. 130. ISBN 978-0-387-96890-2.
^ a b Корнелиус Ланцош (1986). Вариационные принципы механики (переиздание четвертого издания 1970 г.). Dover Publications . Глава 4, §5. ISBN 0-486-65067-7.
^ а б Джон Р. Тейлор (2005). Классическая механика . Книги университетских наук. п. 342. ISBN. 1-891389-22-X.
^ Корлесс, Мартин. «Кинематика» (PDF) . АЭРОМЕХАНИКА I Примечание курса . Университет Пердью . п. 213. Архивировано из оригинального (PDF) 24 октября 2012 года . Проверено 18 июля 2011 года .
^ LD Ландау и LM Лифшиц (1976). Механика (Третье изд.). п. 128. ISBN 978-0-7506-2896-9.
^ а б Луи Н. Хэнд; Джанет Д. Финч (1998). Аналитическая механика . Издательство Кембриджского университета . п. 267. ISBN. 0-521-57572-9.
Перейти ↑ HS Hans & SP Pui (2003). Механика . Тата МакГроу-Хилл. п. 341. ISBN. 0-07-047360-9.
^ Джон Р. Тейлор (2005). Классическая механика . Книги университетских наук. п. 328. ISBN 1-891389-22-X.
^ Роберт Резник и Дэвид Холлидей (1966). Физика . Вайли. п. 121 . ISBN 0-471-34524-5.
^ Джеррольд Э. Марсден; Тюдор С. Ратиу (1999). Введение в механику и симметрию: основное описание классических механических систем . Springer. п. 251. ISBN. 0-387-98643-X.
^ Джон Роберт Тейлор (2005). Классическая механика . Книги университетских наук. п. 343. ISBN 1-891389-22-X.
^ Стивен Т. Торнтон и Джерри Б. Марион (2004). «Глава 10». Классическая динамика частиц и систем (5-е изд.). Бельмонт, Калифорния: Брук / Коул. ISBN 0-534-40896-6. OCLC 52806908 .
^ Дэвид Макнотон. «Центробежные эффекты и эффекты Кориолиса» . Проверено 18 мая 2008 .
^ Дэвид П. Стерн. «Система отсчета: Центробежная сила» . Проверено 26 октября 2008 .
^ Дэвид Морин (2008). Введение в классическую механику: с проблемами и решениями . Издательство Кембриджского университета. п. 469 . ISBN 978-0-521-87622-3. азимутальное ускорение Морена.
^ Грант Р. Фаулз и Джордж Л. Кэссидей (1999). Аналитическая механика (6-е изд.). Издательство Harcourt College Publishers. п. 178.
↑ Ричард Х. Баттин (1999). Введение в математику и методы астродинамики . Рестон, Вирджиния: Американский институт аэронавтики и астронавтики . п. 102. ISBN 1-56347-342-9.
^ Джеррольд Э. Марсден; Тюдор С. Ратиу (1999). Введение в механику и симметрию: основное описание классических механических систем . Springer. п. 251. ISBN. 0-387-98643-X.

Внешние ссылки [ править ]

Анимационный клип, показывающий сцены с точки зрения как инерциальной, так и вращающейся системы координат, визуализирующий Кориолисовы и центробежные силы.

[Arnold-1] Владимир Игоревич Арнольд (1989). Математические методы классической механики (2-е изд.). Springer. п. 130. ISBN 978-0-387-96890-2.

[Lanczos-2] Корнелиус Ланцош (1986). Вариационные принципы механики (переиздание четвертого издания 1970 г.). Dover Publications . Глава 4, §5. ISBN 0-486-65067-7.

[Taylor-3] а б Джон Р. Тейлор (2005). Классическая механика . Книги университетских наук. п. 342. ISBN. 1-891389-22-X.

[4] Корлесс, Мартин. «Кинематика» (PDF) . АЭРОМЕХАНИКА I Примечание курса . Университет Пердью . п. 213. Архивировано из оригинального (PDF) 24 октября 2012 года . Проверено 18 июля 2011 года .

[Landau-5] LD Ландау и LM Лифшиц (1976). Механика (Третье изд.). п. 128. ISBN 978-0-7506-2896-9.

[Hand-6] а б Луи Н. Хэнд; Джанет Д. Финч (1998). Аналитическая механика . Издательство Кембриджского университета . п. 267. ISBN. 0-521-57572-9.

[Pui-7] Перейти ↑ HS Hans & SP Pui (2003). Механика . Тата МакГроу-Хилл. п. 341. ISBN. 0-07-047360-9.

[Taylor2-8] Джон Р. Тейлор (2005). Классическая механика . Книги университетских наук. п. 328. ISBN 1-891389-22-X.

[9] Роберт Резник и Дэвид Холлидей (1966). Физика . Вайли. п. 121 . ISBN 0-471-34524-5.

[Marsden-10] Джеррольд Э. Марсден; Тюдор С. Ратиу (1999). Введение в механику и симметрию: основное описание классических механических систем . Springer. п. 251. ISBN. 0-387-98643-X.

[Taylor_A-11] Джон Роберт Тейлор (2005). Классическая механика . Книги университетских наук. п. 343. ISBN 1-891389-22-X.

[Marion-12] Стивен Т. Торнтон и Джерри Б. Марион (2004). «Глава 10». Классическая динамика частиц и систем (5-е изд.). Бельмонт, Калифорния: Брук / Коул. ISBN 0-534-40896-6. OCLC 52806908 .

[13] Дэвид Макнотон. «Центробежные эффекты и эффекты Кориолиса» . Проверено 18 мая 2008 .

[14] Дэвид П. Стерн. «Система отсчета: Центробежная сила» . Проверено 26 октября 2008 .

[Morin-15] Дэвид Морин (2008). Введение в классическую механику: с проблемами и решениями . Издательство Кембриджского университета. п. 469 . ISBN 978-0-521-87622-3. азимутальное ускорение Морена.

[Fowles-16] Грант Р. Фаулз и Джордж Л. Кэссидей (1999). Аналитическая механика (6-е изд.). Издательство Harcourt College Publishers. п. 178.

[Battin-17] Ричард Х. Баттин (1999). Введение в математику и методы астродинамики . Рестон, Вирджиния: Американский институт аэронавтики и астронавтики . п. 102. ISBN 1-56347-342-9.

[18] Джеррольд Э. Марсден; Тюдор С. Ратиу (1999). Введение в механику и симметрию: основное описание классических механических систем . Springer. п. 251. ISBN. 0-387-98643-X.