В теории общей относительности , линеаризуется гравитация является применение теории возмущений к метрического тензора , который описывает геометрию пространства - времени . Как следствие, линеаризованная гравитация является эффективным методом моделирования эффектов гравитации при слабом гравитационном поле . Использование линеаризованной гравитации является неотъемлемой частью исследования гравитационных волн и гравитационного линзирования в слабом поле .
Приближение слабого поля [ править ]
Уравнение поля Эйнштейна (ЭФЭ) , описывающее геометрию пространства - времени задается как ( с использованием природных единиц )
где - тензор Риччи , - скаляр Риччи , - тензор энергии-импульса и - метрический тензор пространства-времени , представляющий решения уравнения.
Несмотря на краткость, записанную с использованием обозначений Эйнштейна , в тензоре Риччи и скаляре Риччи скрыты исключительно нелинейные зависимости от метрики, которые делают перспективу нахождения точных решений непрактичной в большинстве систем. Однако при описании конкретных систем, для которых кривизна пространства-времени мала (что означает, что члены в EFE, которые являются квадратичными по отношению к не вносят существенного вклада в уравнения движения), можно смоделировать решение уравнений поля как метрику Минковского [примечание 1] плюс небольшой член возмущения . Другими словами:
В этом режиме замена общей метрики для этого пертурбативного приближения приводит к упрощенному выражению для тензора Риччи:
где - след возмущения, обозначает частную производную по координате пространства-времени и - оператор Даламбера .
Вместе со скаляром Риччи
левая часть уравнения поля сводится к
и, таким образом, EFE сводится к линейному уравнению в частных производных второго порядка в терминах .
Калибровочная инвариантность [ править ]
Процесс разложения общего пространства-времени на метрику Минковского плюс член возмущения не уникален. Это связано с тем, что разные варианты выбора координат могут давать разные формы . Чтобы уловить это явление, вводится применение калибровочной симметрии .
Калибровочные симметрии - это математический аппарат для описания системы, которая не меняется, когда базовая система координат "сдвигается" на бесконечно малую величину. Таким образом , хотя возмущение метрика последовательно не определена между различными системами координат, общая система , которая описывает это .
Чтобы выразить это формально, неединственность возмущения представляется как следствие разнообразного набора диффеоморфизмов в пространстве-времени, которые оставляют достаточно малыми. Следовательно, чтобы продолжить, необходимо, чтобы было определено в терминах общего набора диффеоморфизмов, а затем выбрать подмножество из них, которые сохраняют малый масштаб, который требуется для приближения слабого поля. Таким образом, можно определить произвольный диффеоморфизм, который отображает плоское пространство-время Минковского в более общее пространство-время, представленное метрикой . При этом возмущение метрика может быть определена как разность между откатом от и метрик Минковских:
Таким образом, диффеоморфизмы могут быть выбраны так, что .
Учитывая тогда векторное поле, определенное на плоском фоновом пространстве-времени, можно определить дополнительное семейство диффеоморфизмов как те, которые генерируются и параметризуются . Эти новые диффеоморфизмы будут использоваться для представления преобразований координат для «бесконечно малых сдвигов», как обсуждалось выше. Вместе с семейством возмущений задается
Таким образом, в пределе ,
где - производная Ли вдоль векторного поля .
Производная Ли дает окончательное калибровочное преобразование метрики возмущения :
которые точно определяют набор метрик возмущений, описывающих одну и ту же физическую систему. Другими словами, он характеризует калибровочную симметрию линеаризованных уравнений поля.
Выбор калибра [ править ]
Используя калибровочную инвариантность, можно гарантировать определенные свойства метрики возмущения путем выбора подходящего векторного поля .
Поперечный датчик [ править ]
Чтобы изучить, как возмущение искажает измерения длины, полезно определить следующий пространственный тензор:
(Обратите внимание, что индексы охватывают только пространственные компоненты :) . Таким образом, используя , пространственные компоненты возмущения можно разложить как
где .
Тензор по своей конструкции не имеет следов и называется деформацией, поскольку он представляет собой величину, на которую возмущение растягивает и сжимает измерения пространства . В контексте изучения гравитационного излучения деформация особенно полезна при использовании с поперечным датчиком. Эта калибровка определяется выбором пространственных компонентов, удовлетворяющих соотношению
затем выбирая компонент времени, чтобы удовлетворить
После выполнения преобразования датчика по формуле из предыдущего раздела деформация становится пространственно поперечной:
с дополнительным свойством:
Синхронный датчик [ править ]
Синхронное датчик упрощает возмущение метрики, требуя , что метрика не искажают измерения времени. Точнее, синхронная калибровка выбирается так, чтобы непространственные компоненты были равны нулю, а именно
Этого можно достичь, потребовав от компонента времени удовлетворения
и требуя, чтобы пространственные компоненты удовлетворяли
Гармонический датчик [ править ]
Гармонический датчик (также упоминаются как датчик Лоренца [примечание 2] ) выбирает всякий раз , когда это необходимо , чтобы уменьшить линеаризованные уравнения поля как можно больше. Это можно сделать, если выполняется условие
правда. Для этого требуется выполнение соотношения
Следовательно, используя гармоническую калибровку, тензор Эйнштейна сводится к
Следовательно, записывая его в терминах метрики с обратным следом , линеаризованные уравнения поля сводятся к
Это можно точно решить, используя волновые решения , определяющие гравитационное излучение .
См. Также [ править ]
- Принцип соответствия
- Гравитоэлектромагнетизм
- Тензор Ланцоша
- Параметризованный постньютоновский формализм
- Постньютоновское расширение
- Квазинормальный режим
Заметки [ править ]
- ^ Предполагается, что фоновое пространство-время плоское. Теория возмущений, применяемая в уже искривленном пространстве-времени, может работать так же хорошо, если заменить этот термин метрикой, представляющей искривленный фон.
- ^ Не путать с Лоренцем.
Дальнейшее чтение [ править ]
- Шон М. Кэрролл (2003). Пространство-время и геометрия, введение в общую теорию относительности . Пирсон. ISBN 978-0805387322.
|
- Закон всемирного тяготения Ньютона
- Закон Гаусса для гравитации
- Уравнение Пуассона для гравитации
- История теории гравитации
| - Введение
- История
- Математика
- Точные решения
- Ресурсы
- Тесты
- Постньютоновский формализм
- Линеаризованная гравитация
- Формализм ADM
- Граничный член Гиббонса – Хокинга – Йорка
|
|
- Классические теории гравитации
- Квантовая гравитация
- Теория всего
| - Эйнштейн-Картан
- Биметрические теории
- Калибровочная теория гравитации
- Телепараллелизм
- Композитная гравитация
- f ( R ) гравитация
- Бесконечная производная гравитация
- Массивная гравитация
- Модифицированная ньютоновская динамика, MOND
- AQUAL
- Тензор – вектор – скаляр
- Несимметричная гравитация
- Скалярно-тензорные теории
- Скаляр – тензор – вектор
- Конформная гравитация
- Скалярные теории
- Уайтхед
- Геометродинамика
- Индуцированная гравитация
- Хамелеон
- Pressuron
- Вырожденные скалярно-тензорные теории высшего порядка
| | - Теория Калуцы – Клейна
- Супергравитация
| - Некоммутативная геометрия
- Полуклассическая гравитация
- Теория сверхтекучего вакуума
- Логарифмический вакуум BEC
- Теория струн
- М-теория
- F-теория
- Гетеротическая теория струн
- Теория струн типа I
- Теория струн типа 0
- Теория бозонных струн
- Теория струн типа II
- Маленькая теория струн
- Твисторная теория
| - Лиувилля гравитация
- Теория Лавлока
- (2 + 1) -мерная топологическая гравитация
- Гаусс-Бонне гравитация
- Jackiw – Teitelboim гравитация
|
|
- Аристотелевская физика
- Модель CGHS
- RST модель
- Механические объяснения
- Fatio – Le Sage
- Энтропийная гравитация
- Гравитационное взаимодействие антивещества
- Физика в средневековом исламском мире
- Теория импульса
|
|