История логики

Часть серии по
Философия
Платон Кант Ницше Будда Конфуций Аверроэс
ветви
Эстетика Эпистемология Этика Философия права Логика Метафизика Философия языка Философия разума Философия науки Политическая философия Социальная философия
Периоды
Древний Досократический Эллинистический Средневековый Современное Ранний модерн Поздний модерн Современный
Традиции
Аналитический Неопозитивизм Обычный язык Абхидхарма Тхеравада Вайбханика Аристотелевский Августинец Аверройст Авиценнист Cārvāka Конфуцианский Неоконфуцианство Новое конфуцианство Континентальный Экзистенциализм Феноменология Гегельянский Кантианский Законничество Мадхьямака Mīmāṃsā Ньяя - Вайшешика Оккамист Платоник Неоплатоник Прагматизм Санкхья Scotist Скептицизм Томист Веданта Йогачара Традиции по регионам Африканский Восточная Китайский Индийский Ближневосточный Египтянин Иранский Западный Традиции по религии Буддист Праманавада Христианин Гуманист Индуистский Джайн Еврейский Иудео-исламский Даосская философия Исламский Аш'аризм Ранний исламский Иллюминатор Исмаилизм Суфий
Литература
Эстетика Эпистемология Этика Логика Метафизика Политическая философия
Философы
Эстетики Эпистемологи Специалисты по этике Логики Метафизики Социальные и политические философы Женщины в философии
Списки
Индекс Контур Годы Проблемы Публикации Теории Глоссарий Философы
Философский портал
v т е

История логики занимается изучением развития науки действительных умозаключений ( логика ). Формальная логика развивалась в древности в Индии , Китае и Греции . Греческие методы, особенно аристотелевская логика (или терминологическая логика), найденные в " Органоне" , на протяжении тысячелетий находили широкое применение и признание в западной науке и математике. ^[1] стоики , особенно Хрисиппы , начались развитие логики предикатов .

Христианские и исламские философы, такие как Боэций (умер в 524 г.), Ибн Сина (Авиценна, умер в 1037 г.) и Вильгельм Оккам (умер в 1347 г.), развили логику Аристотеля в средние века , достигнув высшей точки в середине XIV века вместе с Жаном. Буридан . Период между четырнадцатым и началом девятнадцатого веков в значительной степени был периодом упадка и забвения, и по крайней мере один историк логики считает это время бесплодным. ^[2] Эмпирические методы господствовали, о чем свидетельствует « Новый органон» сэра Фрэнсиса Бэкона 1620 года.

Логика возродилась в середине девятнадцатого века, в начале революционного периода, когда предмет превратился в строгую и формальную дисциплину, взяв за образец точный метод доказательства, используемый в математике , в духе греческой традиции. ^[3] Развитие современной «символической» или «математической» логики в этот период такими авторами , как Бул , Фреге , Рассел и Пеано, является наиболее значительным за двухтысячелетнюю историю логики и, возможно, одним из первых. из самых важных и знаменательных событий в интеллектуальной истории человечества . ^[4]

Прогресс в математической логике в первые несколько десятилетий двадцатого века, особенно связанный с работами Гёделя и Тарского , оказал значительное влияние на аналитическую философию и философскую логику , особенно с 1950-х годов, в таких предметах, как модальная логика , темпоральная логика. , деонтическая логика и логика релевантности .

Логика на Востоке [ править ]

Логика в Индии [ править ]

Логика зародилась независимо в Древней Индии и продолжала развиваться до начала Нового времени без какого-либо известного влияния греческой логики. ^[5] Медхатитхи Гаутама (ок. 6 в. До н. Э.) Основал школу логики анвиксики . ^[6] Махабхарата (12.173.45), около 5 века до н.э., относится к anviksiki и Tarka школ логики. Панини (ок. V в. До н. Э.) Разработал форму логики (с которой у булевой логики есть некоторые сходства) для формулировки грамматики санскрита . Логика описана Чанакья (ок. 350-283 до н.э.) в его Арташастре.как самостоятельная область исследования. ^[7]

Логикой занимаются две из шести индийских школ мысли: ньяя и вайшешика . Ньяя сутры из Aksapada Гаутамы (с. Второго века н.э.) представляют собой основные тексты школы ньяя, один из шести ортодоксальных школ индуистской философии. Эта реалистическая школа разработала жесткую схему вывода из пяти элементов, включающую исходную предпосылку, причину, пример, приложение и вывод. ^[8] идеалистическая философия буддизма стал главным соперником на Naiyayikas. Нагарджуна (ок. 150-250 н. Э.), Основатель Мадхьямики(«Срединный путь») разработал анализ, известный как catuṣkoṭi (санскрит), « четырехугольную » систему аргументации, которая включает в себя систематическое рассмотрение и отклонение каждой из 4 возможностей предложения, P :

1. P ; то есть быть.
2. не  P ; то есть не быть.
3. P, а не  P ; то есть быть и не быть.
4. нет ( P или не  P ); то есть ни бытие, ни небытие.
   Согласно логике высказываний , законы Де Моргана подразумевают, что это эквивалентно третьему случаю ( P, а не  P ) и, следовательно, является излишним; на самом деле нужно рассмотреть только 3 случая.

Тем не менее, Дигнаг (с 480-540 н.э.) иногда говорит, разработал формальный силлогизм, ^[9] , и это было через него и его преемник, Дхармакиртите , что буддийская логика достигла своего пик; оспаривается, действительно ли их анализ составляет формальную силлогистическую систему. В частности, их анализ был сосредоточен на определении отношения, обосновывающего вывод, « вьяпти », также известного как неизменное сопутствие или проникновение. ^[10] С этой целью была разработана доктрина, известная как «апоха» или дифференциация. ^[11] Это включало то, что можно было бы назвать включением и исключением определяющих свойств.

Знаменитое «колесо разума» Дигнаги ( Hetucakra ) - это метод указания, когда одна вещь (например, дым) может быть принята как неизменный знак другой вещи (например, огонь), но вывод часто бывает индуктивным и основан на прошлых наблюдениях. Матилал замечает, что анализ Дигнаги очень похож на «Совместный метод согласия и разногласий» Джона Стюарта Милля, который является индуктивным. ^[12]

Кроме того, традиционный пятичленный индийский силлогизм, хотя и действителен дедуктивно, имеет повторения, которые не являются необходимыми для его логической достоверности. В результате некоторые комментаторы рассматривают традиционный индийский силлогизм как риторическую форму, вполне естественную для многих культур мира, но не как логическую форму - не в том смысле, что все логически ненужные элементы были опущены ради анализ.

Логика в Китае [ править ]

В Китае, современником Конфуция , Mozi , «Мастер Mo», приписывают основав школу Mohist , чьи каноны рассматриваются вопросы , связанные с действующими умозаключений и условиями правильных выводов. В частности, одна из школ, выросших из мохизма, логики , признана некоторыми учеными за ранние исследования формальной логики . Из-за сурового правления легализма в последующей династии Цинь это направление исследований исчезло в Китае до введения буддистами индийской философии .

Логика на Западе [ править ]

Предыстория логики [ править ]

Правильные рассуждения использовались во все периоды истории человечества. Однако логика изучает принципы обоснованных рассуждений, умозаключений и демонстраций. Вероятно, идея демонстрации вывода впервые возникла в связи с геометрией , которая изначально означала то же самое, что и «измерение земли». ^[13] древние египтяне обнаружили геометрию , в то числе формулы для объема усеченной пирамиды . ^[14] Древний Вавилон также хорошо разбирался в математике. Медицинский диагностический справочник Есагил-кин-апли в XI веке до нашей эры был основан на логическом наборе аксиом.и предположения, ^{[15] в} то время как вавилонские астрономы в 8-м и 7-м веках до нашей эры использовали внутреннюю логику в своих предсказательных планетных системах, что стало важным вкладом в философию науки . ^[16]

Древняя Греция до Аристотеля [ править ]

В то время как древние египтяне эмпирически открыли некоторые истины геометрии, великим достижением древних греков была замена эмпирических методов демонстративными доказательствами . Оба Thales и Пифагор из философов досократических , кажется , знает о методах геометрии в.

Фрагменты ранних доказательств сохранились в работах Платона и Аристотеля ^[17], а идея дедуктивной системы, вероятно, была известна в школе Пифагора и Платонической Академии . ^[14] Доказательства Евклида Александрийского являются парадигмой греческой геометрии. Три основных принципа геометрии заключаются в следующем:

• Определенные положения должны приниматься как истинные без доказательств; такое утверждение известно как аксиома геометрии.
• Каждое предложение, не являющееся аксиомой геометрии, должно быть продемонстрировано как вытекающее из аксиом геометрии; такая демонстрация известна как доказательство или «вывод» предложения.
• Доказательство должно быть формальным ; то есть вывод предложения должен быть независимым от конкретного рассматриваемого предмета. ^[14]

Еще одно свидетельство того, что древнегреческие мыслители интересовались принципами рассуждения, можно найти во фрагменте под названием dissoi logoi , вероятно, написанном в начале четвертого века до нашей эры. Это часть затяжных споров об истине и лжи. ^[18] В случае классических греческих городов-государств интерес к аргументации также стимулировался деятельностью риторов или ораторов и софистов , которые использовали аргументы для защиты или критики тезиса как в юридическом, так и в политическом контексте. ^[19]

Фалес [ править ]

Говорят , Thales, наиболее широко рассматривается в качестве первого философа в греческой традиции , ^{[20] [21]} измерил высоту пирамид по их тени в тот момент , когда его собственная тень была равна его высоте. Говорят, что Фалес принес жертву в честь открытия теоремы Фалеса так же, как Пифагор получил теорему Пифагора . ^[22]

Фалес - первый известный человек, который применил дедуктивное рассуждение к геометрии, выведя четыре следствия своей теоремы, и первый известный человек, которому приписывают математическое открытие. ^[23] Индийские и вавилонские математики знали его теорему для частных случаев до того, как он ее доказал. ^[24] Считается, что Фалес узнал, что угол, вписанный в полукруг, является прямым углом во время своего путешествия в Вавилон . ^[25]

Пифагор [ править ]

До 520 г. до н.э., во время одного из своих визитов в Египет или Грецию, Пифагор мог встретить ок. На 54 года старше Фалеса. ^[26] Систематическое изучение доказательства, похоже, началось со школы Пифагора (то есть пифагорейцев) в конце шестого века до нашей эры. ^[14] Действительно, пифагорейцы, считая, что все есть числа, являются первыми философами, которые подчеркивали форму, а не материю . ^[27]

Гераклит и Парменид [ править ]

Письменность Гераклита (ок. 535 - ок. 475 г. до н. Э.) Была первым местом, где слову логос было уделено особое внимание в древнегреческой философии ^[28]. Гераклит считал, что все меняется, и все это огонь и конфликтующие противоположности, казалось бы, только объединенные. этим Логосом . Он известен своими непонятными высказываниями.

Этот логотип действует всегда, но люди всегда оказываются неспособными понять его, как до того, как услышат, так и когда они впервые услышали его. Ибо, хотя все происходит в соответствии с этим логосом , люди подобны неопытным, когда они переживают такие слова и дела, как я изложил, различая каждое в соответствии с его природой и говоря, как оно есть. Но другие люди не замечают, что делают в бодрствующем состоянии, точно так же, как они забывают, что делают во сне.

-  Дильс-Кранц , 22В1

В отличие от Гераклита, Парменид считал, что все едино и ничего не меняется. Возможно, он был диссидентом-пифагорейцем, не согласным с тем, что Одно (число) произвело множество. ^[29] «Х не есть» всегда должно быть ложным или бессмысленным. То, что существует, никоим образом не может существовать. Наше чувственное восприятие с его восприятием зарождения и разрушения глубоко заблуждается. Вместо чувственного восприятия Парменид защищал логос как средство к Истине. Его называли первооткрывателем логики ^{[30] [31].}

С этой точки зрения, то, что не существует, никогда не может преобладать. Вы должны отстранить свою мысль от этого пути поиска, и не позволять обычному опыту в его разнообразии заставлять вас идти по этому пути (а именно, позволять) глазу, хотя и незрячему, уху, полному звуков, и языку. , управлять; но (вы должны) судья с помощью разума ( Логос ) много-доказанного доказательства , которое изложено мною. (В 7.1–8.2)

Зенон Элейский , ученик Парменида, придумал стандартный образец аргументации, найденный в методе доказательства, известном как reductio ad absurdum . Это техника получения заведомо ложного (то есть «абсурдного») вывода из предположения, тем самым демонстрируя, что это предположение ложно. ^[32] Таким образом, Зенон и его учитель считаются первыми, кто применил искусство логики. ^[33] Диалог Платона Парменид изображает Зенона как утверждающего, что написал книгу, защищающую монизм Парменида, демонстрируя абсурдные последствия предположения о множественности. Зенон широко использовал этот метод для развития своих парадоксов в своих аргументах против движения. Такойпозднее стало популярным диалектическое мышление. Членов этой школы называли «диалектиками» (от греческого слова, означающего «обсуждать»).

Платон [ править ]

Пусть сюда не входит никто, незнакомый с геометрией.

-  Надпись над входом в Платоновскую Академию.

Ни одна из сохранившихся работ великого философа четвертого века Платона (428–347 до н.э.) не содержит формальной логики ^[34], но они включают важный вклад в область философской логики . Платон поднимает три вопроса:

• Что можно назвать истинным или ложным?
• Какова природа связи между предположениями действительного аргумента и его выводом?
• Какова природа определения?

Первый вопрос возникает в диалоге Theaetetus , где Платон отождествляет мысль или мнение с разговором или дискурсом ( логосом ). ^[35] Второй вопрос является результатом теории форм Платона . Формы не являются ни вещами в обычном смысле, ни собственно идеями в уме, но они соответствуют тому, что философы позже назвали универсалиями , а именно абстрактной сущности, общей для каждого набора вещей, имеющих одно и то же имя. И в « Республике», и в софисте Платон предполагает, что необходимая связь между допущениями действительного аргумента и его выводом соответствует необходимой связи между «формами». ^[36]Третий вопрос касается определения . Многие диалоги Платона касаются поиска определения какого-либо важного понятия (справедливость, истина, добро), и, вероятно, Платон был впечатлен важностью определения в математике. ^{[37] В} основе каждого определения лежит Платоническая форма, общая природа, присутствующая в различных конкретных вещах. Таким образом, определение отражает конечный объект понимания и является основой всех достоверных выводов. Это оказало большое влияние на ученика Платона, Аристотеля , в частности, на представление Аристотеля о сущности вещи. ^[38]

Аристотель [ править ]

Логика Аристотеля и особенно его теория силлогизма оказали огромное влияние на западную мысль . ^[39] Аристотель был первым логиком, предпринявшим попытку систематического анализа логического синтаксиса , существительного (или термина ) и глагола. Он был первым формальным логиком , продемонстрировавшим принципы рассуждения, используя переменные, чтобы показать основную логическую форму аргумента. ^[40] Он искал отношения зависимости, которые характеризуют необходимый вывод, и выделял действительностьэтих отношений, от истинности посылок. Он был первым, кто систематически рассмотрел принципы противоречия и исключенного третьего. ^[41]

Органон [ править ]

Его логические труды, получившие название « Органон» , представляют собой самые ранние формальные исследования логики, дошедшие до наших дней. Хотя определить даты сложно, вероятный порядок написания логических работ Аристотеля таков:

• Категории , исследование десяти видов примитивных терминов.
• Темы (с приложением « О софистических опровержениях» ), обсуждение диалектики.
• Об интерпретации - анализ простых категориальных предложений на простые термины, отрицание и количественные знаки.
• Предварительная аналитика , формальный анализ того, что составляет силлогизм (действительный аргумент, согласно Аристотелю).
• The Posterior Analytics , исследование научных демонстраций, содержащее зрелые взгляды Аристотеля на логику.

Эти работы имеют выдающееся значение в истории логики. В категориях он пытается различить все возможные вещи, к которым может относиться термин; эта идея лежит в основе его философской работы « Метафизика» , которая сама по себе оказала глубокое влияние на западную мысль.

Он также разработал теорию неформальной логики ( то есть теорию заблуждений ), которая представлена ​​в « Темах и софистических опровержениях» . ^[41]

В «Интерпретации» содержится исчерпывающий анализ понятий противодействия и обращения; глава 7 находится в начале квадрата оппозиции (или логического квадрата); Глава 9 содержит начало модальной логики .

В « Предыдущей аналитике» содержится его изложение «силлогизма», где впервые в истории применяются три важных принципа: использование переменных, чисто формальная трактовка и использование аксиоматической системы.

Стоики [ править ]

Другая великая школа греческой логики - это школа стоиков . ^[42] Стоическая логика восходит к философу конца V века до нашей эры Евклиду из Мегары , ученику Сократа и немного более старшему современнику Платона, вероятно, следуя традициям Парменида и Зенона. Его ученики и последователи назывались « мегарики », или «Eristics», а позже «диалектики». Двумя наиболее важными диалектиками мегарской школы были Диодор Кронос и Филон , действовавшие в конце 4 века до нашей эры.

Стоики приняли мегарскую логику и систематизировали ее. Самым важным членом школы был Хрисипп (ок. 278 – ок. 206 до н. Э.), Который был ее третьим главой и формализовал большую часть стоической доктрины. Предполагается, что он написал более 700 работ, в том числе не менее 300 работ по логике, почти ни одна из которых не сохранилась. ^{[43] [44]} В отличие от Аристотеля, у нас нет полных работ мегарианцев или ранних стоиков, и мы вынуждены полагаться в основном на отчеты (иногда враждебные) более поздних источников, в том числе Диогена Лаэртия , Секста Эмпирика , Галена , Авла Геллия. , Александр Афродисийский и Цицерон . ^[45]

Три значительных вклада стоической школы: (i) их представление о модальности , (ii) их теория материальных условий и (iii) их понимание смысла и истины . ^[46]

• Модальность . Согласно Аристотелю, мегарианцы того времени заявляли, что не существует различия между потенциальностью и действительностью . ^[47] Диодор Кронус определил возможное как то, что либо есть, либо будет, невозможное как то, что не будет истинным, а случайное - как то, что либо уже есть, либо будет ложным. ^[48] Диодор также известен так называемым аргументом Учителя , в котором говорится, что каждая пара следующих трех утверждений противоречит третьему утверждению:

• Все, что было в прошлом, верно и необходимо.
• Невозможное не следует из возможного.
• То, что ни есть, ни будет, возможно.

Диодор использовал правдоподобие первых двух, чтобы доказать, что ничто не возможно, если оно не является и не будет правдой. ^[49] Хрисипп, напротив, отверг вторую предпосылку и сказал, что невозможное может вытекать из возможного. ^[50]

• Условные утверждения . Первыми логиками, выступившими против условных утверждений, были Диодор и его ученик Филон из Мегары. Секст Эмпирик трижды обращается к спору между Диодором и Филоном. Филон считал условие истинным, если оно не имеет как истинного антецедента, так и ложного следствия . А именно, пусть T ₀ и T ₁ - истинные утверждения, и пусть F ₀ и F ₁быть ложными заявлениями; тогда, согласно Филону, каждое из следующих условных выражений является истинным утверждением, потому что это не тот случай, когда консеквент является ложным, в то время как антецедент истинен (это не тот случай, когда утверждается, что ложное утверждение следует из истинного утверждения ):

• Если T ₀ , то T ₁
• Если F ₀ , то T ₀
• Если F ₀ , то F ₁

Следующее условное выражение не соответствует этому требованию и, по мнению Филона, является ложным утверждением:

• Если T ₀ , то F ₀

В самом деле, Секст говорит: «Согласно [Филону], есть три способа, которыми условное выражение может быть истинным, и одно, в котором оно может быть ложным». ^[51] Критерий истины Филона - это то, что сейчас можно назвать функциональным определением истинности «если ... то»; это определение, используемое в современной логике .

Напротив, Диодор допускал действительность условных выражений только тогда, когда предшествующее предложение никогда не могло привести к неверному выводу. ^{[51] [52] [53]} столетие спустя, стоик философ Хрисипп атакован предположения как Филона и Диодора.

• Смысл и правда . Наиболее важное и поразительное различие между мегарско-стоической логикой и аристотелевской логикой состоит в том, что мегаро-стоическая логика касается предложений, а не терминов, и, таким образом, ближе к современной логике высказываний . ^[54] Стоики различали высказывание ( телефон ), которое может быть шумом, речь ( lexis ), которая артикулирована, но может быть бессмысленной, и дискурс ( логос ), которое является значимым высказыванием. Самая оригинальная часть их теории - это идея, что то, что выражается предложением, называемым лектоном , является чем-то реальным; это соответствует тому, что сейчас называется предложением. Секст говорит, что согласно стоикам, три вещи связаны между собой: то, что означает, то, что означает, и объект; например, то, что обозначает, есть слово Дион , а то, что обозначается, понимают греки, а варвары - нет, а объектом является сам Дион. ^[55]

Средневековая логика [ править ]

Логика на Ближнем Востоке [ править ]

Работы Аль-Кинди , Аль-Фараби , Авиценны , Аль-Газали , Аверроэса и других мусульманских логиков были основаны на логике Аристотеля и сыграли важную роль в передаче идей древнего мира средневековому Западу. ^[56] Аль-Фараби (Альфараби) (873–950) был аристотелевским логиком, обсуждавшим темы будущих контингентов , количество и соотношение категорий, отношения между логикой и грамматикой , а также неаристотелевские формы вывода . ^[57] Аль-Фараби также рассматривал теории условных силлогизмов ианалогичный вывод , которые были частью стоической логической традиции, а не аристотелевской. ^[58]

Ибн Сина (Авиценна) (980–1037) был основателем авиценновской логики , которая заменила аристотелевскую логику как доминирующую систему логики в исламском мире ^[59], а также оказала важное влияние на западных средневековых писателей, таких как Альберт Великий . ^[60] Авиценна писал о гипотетическом силлогизме ^[61] и исчислении высказываний , которые были частью стоической логической традиции. ^[62] Он разработал оригинальную «временную модализованную» силлогистическую теорию, включающую темпоральную логику и модальную логику . ^[57] Он также использовал индуктивную логику., такие как методы согласия, различия и сопутствующие изменения, которые имеют решающее значение для научного метода . ^[61] Одна из идей Авиценны оказала особенно важное влияние на западных логиков, таких как Уильям Оккамский : слово Авиценны для значения или понятия ( ma'na ) было переведено схоластическими логиками как латинское intentio ; в средневековой логике и эпистемологии это знак в сознании, который естественным образом представляет вещь. ^[63] Это имело решающее значение для развития концептуализма Оккама : универсальный термин ( например,«человек») не означает вещь, существующую в действительности, а скорее знак в уме ( intentio in intellectu ), который представляет многие вещи в реальности; Оккам цитирует комментарий Авиценны к « Метафизике V» в поддержку этой точки зрения. ^[64]

Фахр ад-Дин ар-Рази (р. 1149) подверг критике « первую фигуру » Аристотеля и сформулировал раннюю систему индуктивной логики, предвосхищая систему индуктивной логики, разработанную Джоном Стюартом Миллем (1806–1873). ^[65] Работа Ар-Рази была воспринята более поздними исламскими учеными как обозначение нового направления исламской логики, к логике поставиценнианства . Это было далее развито его учеником Афдаладдином аль-Хунаджи (ум. 1249), который разработал форму логики, вращающуюся вокруг предмета концепций и согласия . В ответ на эту традицию Насир ад-Дин ат-Туси(1201–1274) положил начало традиции неоавиценской логики, которая оставалась верной работам Авиценны и существовала в качестве альтернативы более доминирующей пост-авиценновской школе в последующие столетия. ^[66]

Школа иллюминационизма была основана Шахабом ад-Дином Сухраварди (1155–1191), который развил идею «решающей необходимости», которая относится к сведению всех модальностей (необходимость, возможность , случайность и невозможность ) к единственному режиму необходимости. . ^[67] Ибн ан-Нафис (1213–1288) написал книгу по авиценновской логике, которая была комментарием к « Аль-Ишарат» ( «Знаки» ) и « Аль-Хидайя» ( «Руководство» ) Авиценны . ^[68] Ибн Таймийа (1263–1328), написал « Ар-Радд 'ала аль-Мантикийин»., где он возражал против полезности, но не обоснованности силлогизма ^[69] и в пользу индуктивного рассуждения . ^[65] Ибн Таймия также выступал против достоверности силлогистических аргументов и в пользу аналогии ; его аргумент состоит в том, что концепции, основанные на индукции , сами по себе не являются достоверными, а только вероятными, и поэтому силлогизм, основанный на таких концепциях, не более надежен, чем аргумент, основанный на аналогии. Далее он утверждал, что сама индукция основана на процессе аналогии. Его модель рассуждения по аналогии была основана на модели юридических аргументов. ^{[70] [71]}Эта модель аналогии была использована в недавней работе Джона Ф. Сова . ^[71]

Шарх аль-takmil fi'l-Мантик написал Мухаммад ибн Файд ибн Мухаммад Амин аль-Sharwani в 15 - м веке , является последним крупным Arabic работа по логике , которая была изучена. ^[72] Тем не менее, «тысячи и тысячи страниц» по логике были написаны между 14 и 19 веками, хотя только часть текстов, написанных в этот период, была изучена историками, поэтому мало что известно об оригинальной работе по исламу. логика возникла в этот более поздний период. ^[66]

Логика в средневековой Европе [ править ]

«Средневековая логика» (также известная как «схоластическая логика») обычно означает форму аристотелевской логики, развитую в средневековой Европе примерно в период с 1200 по 1600 год. ^{[1] В} течение столетий после того, как была сформулирована стоическая логика, она была доминирующей системой логики в классическом мире. Когда изучение логики возобновилось после Средневековья , основным источником стала работа христианского философа Боэция , который был знаком с некоторыми логиками Аристотеля, но почти не был знаком с работами стоиков. ^[73] До двенадцатого века единственными работами Аристотеля, доступными на Западе, были « Категории» , « О толковании» и перевод Боэция.Исагогика из Порфирия (комментарий к Категории). Эти работы были известны как «Старая логика» ( Logica Vetus или Ars Vetus ). Важная работа в этой традиции был Logica Ingredientibus из Питера Абеляра (1079-1142). Его прямое влияние было небольшим ^[74], но его влияние через таких учеников, как Джон Солсберийский, было большим, и его метод применения строгого логического анализа к теологии сформировал путь развития богословской критики в последующий период. ^[75]

К началу тринадцатого века оставшиеся работы Аристотелевского « Органона» (включая « Предыдущую аналитику» , « Последнюю аналитику» и « Софистические опровержения» ) были восстановлены на Западе. ^[76] Логическая работа до этого была в основном перефразированием или комментарием к работам Аристотеля. ^[77] Период с середины тринадцатого до середины четырнадцатого века был периодом значительных достижений в логике, особенно в трех областях, которые были оригинальными, с небольшим основанием в предшествовавшей аристотелевской традиции. Это были: ^[78]

• Теория предположения . Теория предположений имеет дело с тем, как предикаты ( например, «человек») распространяются на область индивидов ( например, всех людей). ^[79] В предложении «каждый человек есть животное», распространяется ли термин «человек» или «предполагает» людей, существующих только в настоящем, или этот диапазон включает прошлых и будущих людей? Может ли термин суппозиторий для несуществующего человека? Некоторые медиевисты утверждали, что эта идея является предшественником современной логики первого порядка . ^[80] «Теория предположения с соответствующими теориями copulatio (знаковая способность прилагательных терминов), ampiatio (расширение референциальной области) иdistributio - одно из самых оригинальных достижений западной средневековой логики » ^[81].
• Теория синкатегоремы . Синкатегорематы - это термины, которые необходимы для логики, но которые, в отличие от категорематических терминов, не означают от своего собственного имени, а «со-означают» с другими словами. Примеры синкатегорематы: «и», «не», «каждый», «если» и так далее.
• Теория последствий . Следствием является гипотетическое условное суждение: два суждения, соединенные терминами «если ... то». Например, «если человек бежит, значит, Бог существует» ( Si homo currit, Deus est ). ^[82] Полностью разработанная теория последствий дана в Книге III работы Уильяма Оккама « Summa Logicae» . Здесь Оккам проводит различие между «материальными» и «формальными» следствиями, которые примерно эквивалентны современным материальным и логическим следствиям соответственно. Подобные отчеты дают Жан Буридан и Альберт Саксонский .

Последние большие работы в этой традиции являются логика Джона Пуансо (1589-1644, известный как Джон Сент - Томас ), в Метафизические рассуждения о Франсиско Суарес (1548-1617), и Logica Demonstrativa из Саккери (1667-1733 ).

Традиционная логика [ править ]

Учебная традиция [ править ]

Традиционная логика обычно означает традицию учебника , который начинается с Антуаном Арно «s и Пьер Николь » ы логикой, или искусство мышления , более известной как Порт-Рояль логик . ^[83] Опубликованный в 1662 году, это был самый влиятельный труд по логике после Аристотеля до девятнадцатого века. ^[84] В книге представлена ​​в общих чертах декартовская доктрина (например, суждение - это комбинация идей, а не терминов) в рамках, в целом заимствованных из аристотелевской и средневековой терминологической логики . Между 1664 и 1700 годами вышло восемь изданий, и после этого книга имела значительное влияние. ^[84] Port-Royal вводит понятия расширения и интенсификации . Изложение предложений, которое Локк дает в « Эссе», по сути, аналогично Порт-Роялю: «Словесные предложения, которые являются словами, [являются] знаками наших идей, соединенных или разделенных в утвердительные или отрицательные предложения. Таким образом, это предложение состоит из в соединении или разделении этих знаков в зависимости от того, что они означают, согласны или не согласны ". ^[85]

Дадли Феннер помог популяризировать логику Рамиста , что было реакцией на Аристотеля. Другая влиятельная работа по Novum ORGANUM по Фрэнсис Бэкон , опубликованной в 1620 году название переводится как «новый инструмент». Это отсылка к работе Аристотеля , известной как " Органон" . В этой работе Бэкон отвергает силлогистический метод Аристотеля в пользу альтернативной процедуры, «которая медленным и верным трудом собирает информацию от вещей и приводит ее к пониманию». ^[86] Этот метод известен как индуктивное рассуждение., метод, который начинается с эмпирического наблюдения и переходит к более низким аксиомам или суждениям; из этих нижних аксиом можно вывести более общие. Например, чтобы найти причину феноменального характера, такого как жара, необходимо составить 3 списка:

• Список присутствия: список всех ситуаций, в которых обнаружено тепло.
• Список отсутствия: список всех ситуаций, который похож по крайней мере на одну из ситуаций из списка присутствия, за исключением отсутствия тепла.
• Список изменчивости: список всех ситуаций, когда температура может меняться.

Тогда характер формы (или причина) тепла может быть определен как общий для каждой ситуации из списка присутствия, который отсутствует в каждой ситуации из списка отсутствия и который варьируется по степени в каждой ситуации изменчивости. список.

Другие работы в учебнике традиции включают Исаак Уоттс «s Logick: Или, правильное использование разума (1725), Ричард Whately » s Logic (1826) и Джон Стюарт Милл «s систему логики (1843). Хотя последняя была одной из последних великих работ в традиции, точка зрения Милля о том, что основы логики лежат в самоанализе ^[87], повлияла на точку зрения, согласно которой логику лучше всего понимать как раздел психологии, точку зрения, которая доминировала в следующие пятьдесят лет его развитие, особенно в Германии. ^[88]

Логика в философии Гегеля [ править ]

Г. В. Ф. Гегель указал на важность логики для своей философской системы, когда он сжал свою обширную « Науку логики» в более короткую работу, опубликованную в 1817 г. в качестве первого тома его Энциклопедии философских наук. «Краткая» или «Энциклопедическая» логика , как ее часто называют, представляет собой серию переходов, ведущих от самых пустых и абстрактных категорий - Гегель начинает с «Чистого Бытия» и «Чистого Ничто» - к « Абсолюту». ", категория, которая содержит и разрешает все категории, которые ей предшествовали. Несмотря на название, « Логика Гегеля»на самом деле не является вкладом в науку о достоверных выводах. Вместо того, чтобы делать выводы о концепциях посредством достоверных выводов из предпосылок, Гегель стремится показать, что размышление об одном понятии заставляет думать о другом понятии (он утверждает, что невозможно обладать понятием «Качество» без понятия «Количество»); это принуждение, предположительно, не является вопросом индивидуальной психологии, потому что оно почти органически возникает из содержания самих понятий. Его цель - показать рациональную структуру «Абсолюта», по сути, саму рациональность. Метод, с помощью которого мысль движется от одной концепции к противоположной, а затем к другим концепциям, известен как гегелевская диалектика .

Хотя логика Гегеля мало повлияла на основные логические исследования, ее влияние можно увидеть в другом месте:

• « Geschichte der Logik» Карла фон Прантля в Абендланде (1855–1867). ^[89]
• Работа британских идеалистов , таких как Принципы логики Ф. Х. Брэдли (1883 г.).
• Экономические, политические и философские исследования Карла Маркса и в различных школах марксизма .

Логика и психология [ править ]

Между работами Милля и Фреге прошло полвека, в течение которых логика широко рассматривалась как описательная наука, эмпирическое исследование структуры рассуждений и, следовательно, по сути, как раздел психологии . ^[90] Немецкий психолог Вильгельм Вундт , например, обсуждал вывод «логического из психологических законов мышления», подчеркивая, что «психологическое мышление всегда является более всеобъемлющей формой мышления». ^[91] Эта точка зрения была широко распространена среди немецких философов того периода:

• Теодор Липпс описал логику как «особую дисциплину психологии». ^[92]
• Кристоф фон Зигварт понимал логическую необходимость как основанную на принуждении человека мыслить определенным образом. ^[93]
• Бенно Эрдманн утверждал, что «законы логики действуют только в пределах нашего мышления». ^[94]

Таков был преобладающий взгляд на логику в годы, последовавшие за работой Милля. ^[95] Этот психологический подход к логике отверг Готлоб Фреге . Он также подвергся расширенной и деструктивной критике Эдмундом Гуссерлем в первом томе его « Логических исследований» (1900), нападение, которое было описано как «подавляющее». ^[96] Гуссерль убедительно доказывал, что логическое обоснование в психологических наблюдениях подразумевает, что все логические истины остаются недоказанными, и что скептицизм и релятивизм являются неизбежными последствиями.

Такая критика не сразу искоренила то, что называется « психологизмом ». Например, американский философ Джозайя Ройс , признавая силу критики Гуссерля, оставался «неспособным сомневаться» в том, что прогресс в психологии будет сопровождаться прогрессом в логике, и наоборот. ^[97]

Возникновение современной логики [ править ]

Период между четырнадцатым и началом девятнадцатого веков был в значительной степени периодом упадка и забвения, и обычно историки логики считают его бесплодным. ^[2] Возрождение логики произошло в середине девятнадцатого века, в начале революционного периода, когда предмет превратился в строгую и формалистическую дисциплину, примером которой был точный метод доказательства, используемый в математике . Развитие современной «символической» или «математической» логики в этот период является наиболее значительным в 2000-летней истории логики и, возможно, одним из самых важных и замечательных событий в интеллектуальной истории человечества. ^[4]

Ряд особенностей отличают современную логику от старой аристотелевской или традиционной логики, наиболее важной из которых являются следующим: ^[98] Современная логика принципиально исчисление которого правило эксплуатации определяется только по форме , а не по смыслу из символы, которые он использует, как в математике. Многие логики были впечатлены «успехом» математики, поскольку не было длительных споров о каком-либо истинно математическом результате. К. С. Пирс отмечал ^[99], что даже несмотря на ошибку в вычислении определенного интеграла Лапласомпривело к ошибке относительно орбиты Луны, которая сохранялась почти 50 лет, ошибка, однажды обнаруженная, была исправлена ​​без каких-либо серьезных споров. Пирс противопоставил это спорам и неопределенности, окружающим традиционную логику, и особенно рассуждения в метафизике.. Он утверждал, что действительно «точная» логика будет зависеть от математической, то есть «схематической» или «иконической» мысли. «Те, кто следуют таким методам ... избежат всех ошибок, кроме тех, которые будут быстро исправлены после того, как они когда-то заподозрены». Современная логика также «конструктивна», а не «абстрактна»; то есть, вместо того, чтобы абстрагироваться и формализовать теоремы, полученные из обычного языка (или из психологических интуитивных представлений о действительности), он строит теоремы формальными методами, а затем ищет интерпретацию на обычном языке. Это полностью символично, то есть даже логические константы (которые средневековые логики называли « синкатегорематами ») и категориальные термины выражаются в символах.

Современная логика [ править ]

Развитие современной логики можно разделить примерно на пять периодов: ^[100]

• Эмбриональной период от Лейбница до 1847 года , когда понятие логического исчисления было обсуждено и развитым, в частности , Лейбниц, но не были сформированы ни школы, и изолированные периодические попытки были потеряны или прошли незамеченным.
• Алгебраический период от Буля «Анализа с до Шредера » ы Vorlesungen . В этот период было больше практиков и большая непрерывность развития.
• Логицистом период от Begriffsschrift от Фреге к Principia Mathematica из Рассела и Уайтхеда . Целью «школы логицизма» было объединить логику всего математического и научного дискурса в единую единую систему, которая, принимая за фундаментальный принцип, что все математические истины логичны, не принимала никакой нелогической терминологии. Основными логиками были Фреге , Рассел и ранний Витгенштейн . ^[101] Это завершается Принципами, важная работа, которая включает в себя тщательное изучение и попытку разрешения антиномий, которые были препятствием для более раннего прогресса.
• Метаматематический период с 1910 по 1930 - е годы, который видел развитие металогики , в finitist системе Гильберта , а не-finitist система Löwenheim и Сколемом , сочетание логики и металогики в работе Геделя и Тарского . Теорема Гёделя о неполноте 1931 года была одним из величайших достижений в истории логики. Позже, в 1930-х годах, Гёдель разработал понятие теоретико-множественной конструктивности .
• Период после Второй мировой войны , когда математическая логика разветвляется на четыре взаимосвязанных , но отдельные области исследований: теория моделей , теория доказательств , теория вычислимости и теории множеств , а его идеи и методы начал влиять на философию .

Эмбриональный период [ править ]

Идея о том, что умозаключение может быть представлено чисто механическим процессом, была найдена еще у Раймонда Лулля , который предложил (несколько эксцентричный) метод заключения с помощью системы концентрических колец. Работа логиков , такие как Оксфорд калькуляторы ^[102] привел к способу использования букв вместо записи из логических вычислений ( calculationes ) в словах, метод , используемый, например, в Магна Logica по Павла Венеции . Спустя триста лет после Луллла английский философ и логик Томас Гоббс предположил, что вся логика и рассуждения могут быть сведены к математическим операциям сложения и вычитания. ^[103]Та же идея содержится в работах Лейбница , который читал и Луллля, и Гоббса и утверждал, что логику можно представить через комбинаторный процесс или исчисления. Но, как и Лулл и Гоббс, ему не удалось разработать подробную или всеобъемлющую систему, и его работа по этой теме была опубликована только спустя долгое время после его смерти. Лейбниц говорит, что обычные языки подвержены «бесчисленным двусмысленностям» и не подходят для исчисления, задача которого - выявить ошибки в умозаключениях, возникающие из форм и структур слов; ^[104] поэтому он предложил идентифицировать алфавит человеческой мысли, включающий фундаментальные концепции, которые можно было бы составить для выражения сложных идей, ^[105] и создать логический расчетный механизмэто сделало бы все аргументы «такими же осязаемыми, как аргументы математиков, чтобы мы могли сразу найти нашу ошибку, а когда возникают споры между людьми, мы можем просто сказать: давайте посчитаем». ^[106]

Жергонн (1816) сказал, что рассуждения не обязательно должны касаться объектов, относительно которых у человека есть совершенно ясные идеи, потому что алгебраические операции могут выполняться без какого-либо представления о значении задействованных символов. ^[107] Больцано предвосхитил фундаментальную идею современной теории доказательств, когда он определил логическое следствие или «выводимость» в терминах переменных: ^[108]

Поэтому я говорю , что предложения , , ... являются выводимы из предложений , , , , ... по отношению к переменной части , ..., если каждому класс идей которого подмена , , ... делает все , , , , ... Правда, также делают все , , , ... правда. Иногда, так как это принято, я скажу , что предложения , , ... наблюдение , или могут быть выведены или получено из , , , , .... Предложения , , ,${\ displaystyle M}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle O}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle D}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle O}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle O}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$... Я буду называть помещение , , , , ... то выводы.${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle O}$

Теперь это известно как семантическая достоверность .

Алгебраический период [ править ]

Современная логика начинается с так называемой «алгебраической школы», берущей свое начало от Буля и включающей Пирса , Джевонса , Шредера и Венна . ^[109] Их целью было разработать исчисление, чтобы формализовать рассуждения в области классов, предложений и вероятностей. Школа начинается с основополагающей работы Буля « Математический анализ логики», которая появилась в 1847 году, хотя Де Морган (1847) является ее непосредственным предшественником. ^[110] Основная идея системы Буля состоит в том, что алгебраические формулы могут использоваться для выражения логических отношений. Эта идея пришла в голову Булю в подростковом возрасте, когда он работал учителем в частной школе в г.Линкольн, Линкольншир . ^[111] Например, пусть x и y обозначают классы, пусть символ = означает, что классы имеют одинаковые члены, xy обозначает класс, содержащий все и только члены x и y, и так далее. Boole называет эти выборочные символы , то есть символы, которые выбирают определенные объекты для рассмотрения. ^[112] Выражение, в котором используются выборные символы, называется выборной функцией , а уравнение, члены которого являются выборными функциями, является выборным уравнением . ^[113] Теория выборных функций и их "развития" по сути является современной идеей функций истинности и их выражения вдизъюнктивная нормальная форма . ^[112]

Система Буля допускает две интерпретации: логику классов и логику высказываний. Буль провел различие между «первичными пропозициями», которые являются предметом силлогистической теории, и «вторичными пропозициями», которые являются предметом логики высказываний, и показал, как при различных «интерпретациях» одна и та же алгебраическая система может представлять и то, и другое. Пример первичного утверждения: «Все жители либо европейцы, либо азиаты». Пример второстепенного предложения: «Либо все жители европейцы, либо все азиаты». ^[114] Их легко выделить в современном исчислении высказываний, где также можно показать, что первое следует из второго,но существенным недостатком является то, что это невозможно представить в булевой системе. ^[115]

В своей « Символической логике» (1881) Джон Венн использовал диаграммы перекрывающихся областей, чтобы выразить булевы отношения между классами или условия истинности предложений. В 1869 году Джевонс понял, что методы Буля можно механизировать, и сконструировал «логическую машину», которую показал Королевскому обществу в следующем году. ^[112] В 1885 году Аллан Маркуанд предложил электрическую версию машины, которая существует до сих пор ( изображение в библиотеке Файерстоун ).

Все недостатки системы Буля (такие как использование буквы v для экзистенциальных суждений) были исправлены его последователями. Джевонс опубликовал « Чистую логику» или «Логику качества отдельно от количества» в 1864 году, где он предложил символ для обозначения исключительного или , что позволило значительно упростить систему Буля. ^[116] Этим с пользой воспользовался Шредер, когда он излагал теоремы в параллельных колонках в своем « Vorlesungen» (1890–1905). Пирс (1880) показал, как все булевы выборные функции могут быть выражены с помощью одной примитивной бинарной операции « ни ... ни ... » и в равной степени « не то и другое ... и ... », ^{[ 117]}однако, как и многие нововведения Пирса, это оставалось неизвестным или незамеченным до тех пор, пока Шеффер не открыл его заново в 1913 году. ^[118] Ранние работы Буля также лишены идеи логической суммы, восходящей к Пирсу (1867), Шредеру (1877) и Джевонсу (1890). ), ^[119] и концепция включения , впервые предложенная Жергонном (1816 г.) и четко сформулированная Пирсом (1870 г.).

Успех алгебраической системы Буля предполагал, что вся логика должна быть способна к алгебраическому представлению, и были попытки выразить логику отношений в такой форме, из которых наиболее амбициозной была монументальная работа Шредера Vorlesungen über die Algebra der Logik ("Лекции по Алгебра логики », том III, 1895 г.), хотя первоначальная идея была снова предвосхищена Пирсом. ^[120]

Непоколебимое принятие Буля логики Аристотеля подчеркивается историком логики Джоном Коркораном в доступном введении в « Законы мысли» ^[121]. Коркоран также написал поэтапное сравнение предшествующей аналитики и законов мысли . ^[122]Согласно Коркорану, Буль полностью принял и поддержал логику Аристотеля. Цели Буля заключались в том, чтобы «пойти ниже, больше и дальше» логики Аристотеля путем 1) предоставления ей математических основ, включающих уравнения, 2) расширения класса задач, которые он мог бы решать - от оценки достоверности до решения уравнений - и 3) расширения диапазона приложений, которые он мог обрабатывать - например, от предложений, содержащих только два термина, до предложений, содержащих произвольно много.

В частности, Буль соглашался с тем, что Аристотельсказал; «Разногласия» Буля, если их можно так назвать, касаются того, чего не сказал Аристотель. Во-первых, в области основ Буль свел четыре пропозициональные формы аристотелевской логики к формулам в форме уравнений - сама по себе революционная идея. Во-вторых, в сфере логических проблем добавление Буля решения уравнений к логике - еще одна революционная идея - включало доктрину Буля, согласно которой правила вывода Аристотеля («совершенные силлогизмы») должны быть дополнены правилами решения уравнений. В-третьих, в области приложений система Буля могла обрабатывать многосторонние предложения и аргументы, тогда как Аристотель мог обрабатывать только двухчленные предложения и аргументы субъект-предикат. Например, система Аристотеля не могла вывести "Никакой четырехугольник, который является квадратом, не является прямоугольником, который является ромбом "от" Ни один квадрат, который является четырехугольником, не является ромбом, который является прямоугольником "или от" Никакой ромб, который является прямоугольником, не является квадратом, который является четырехугольником ".

Период логика [ править ]

После Буля следующие большие успехи были сделаны немецким математиком Готлобом Фреге . Целью Фреге была программа логицизма , то есть демонстрация тождества арифметики с логикой. ^[123] Фреге пошел намного дальше, чем любой из его предшественников в своем строгом и формальном подходе к логике, и его исчисление или Begriffsschrift очень важны. ^[123] Фреге также пытался показать, что понятие числа может быть определено чисто логическими средствами, так что (если он был прав) логика включает арифметику и все разделы математики, которые можно свести к арифметике. Он был не первым писателем, предлагавшим это. В своей новаторской работе Die Grundlagen der Arithmetik(«Основы арифметики»), разделы 15–17, он признает усилия Лейбница, Дж. С. Милля, а также Джевонса, цитируя утверждение последнего о том, что «алгебра - это высокоразвитая логика, а число - только логическое различение». ^[124]

Первая работа Фреге, Begriffsschrift («концептуальный сценарий») - это строго аксиоматизированная система логики высказываний, основанная всего на двух связках (отрицании и условном), двух правилах вывода ( modus ponens и подстановка) и шести аксиомах. Фреге говорил о «полноте» этой системы, но не смог этого доказать. ^[125] Однако наиболее значительным нововведением было его объяснение квантора в терминах математических функций. Традиционная логика рассматривает предложение «Цезарь есть человек» как в основном ту же форму, что и «все люди смертны». Предложения с собственным именем подлежащим считались универсальными по своему характеру, интерпретируемыми как «каждый Цезарь - человек».^[126] С самого начала Фреге отказывается от традиционных понятий « субъект и предикат », заменяя их аргументом и функцией соответственно, которые, по его мнению, «выдержат испытание временем. Легко увидеть, как рассмотрение содержания как функции аргумента приводит к формирование понятий. Кроме того , заслуживает внимания демонстрация связи между значениями слов if, and, not, or, there is, some, all, и т. д. ». ^[127] Фреге утверждал, что кванторное выражение «все люди» не имеет той же логической или семантической формы, что и «все люди», и что универсальное утверждение «каждый А есть В»- сложное предложение, включающее две функции, а именно «- есть А» и «- есть В», так что все, что удовлетворяет первому, удовлетворяет и второму. В современных обозначениях это можно было бы выразить как

${\displaystyle \forall \;x{\big (}A(x)\rightarrow B(x){\big )}}$

По-английски «для всех x, если Ax, то Bx». Таким образом, только единичные предложения имеют форму субъект-предикат, и они неприводимо сингулярны, т. Е. Не сводятся к общему предложению. Универсальные и частные суждения, напротив, вообще не имеют простой субъектно-предикатной формы. Если бы «все млекопитающие» были логическим субъектом предложения «все млекопитающие - наземные обитатели», то для отрицания всего предложения нам пришлось бы отрицать сказуемое, чтобы сказать «все млекопитающие не являются наземными обитателями». Но это не так. ^[128] Этот функциональный анализ предложений на обычном языке позже оказал большое влияние на философию и лингвистику .

Это означает, что в исчислении Фреге «первичные» предложения Буля могут быть представлены иначе, чем «вторичные» предложения. «Все жители либо мужчины, либо женщины» - это

${\displaystyle \forall \;x{\Big (}I(x)\rightarrow {\big (}M(x)\lor W(x){\big )}{\Big )}}$

тогда как «Все жители мужчины или все жители женщины»

${\displaystyle \forall \;x{\big (}I(x)\rightarrow M(x){\big )}\lor \forall \;x{\big (}I(x)\rightarrow W(x){\big )}}$

Как заметил Фреге в критике исчисления Буля:

«Настоящая разница в том, что я избегаю [логического] деления на две части ... и даю однородное представление партии. В логике две части идут рядом друг с другом, так что одна подобна зеркальному отображению другой, но по этой самой причине не имеет к нему никакого органического отношения » ^[129].

Исчисление Фреге не только предоставило единую и всеобъемлющую систему логики, но и разрешило древнюю проблему множественной общности . Неоднозначность фразы «каждая девочка поцеловала мальчика» трудно выразить в традиционной логике, но логика Фреге разрешает это через различную область действия кванторов. Таким образом

${\displaystyle \forall \;x{\Big (}G(x)\rightarrow \exists \;y{\big (}B(y)\land K(x,y){\big )}{\Big )}}$

означает, что каждой девушке соответствует какой-нибудь мальчик (подойдет любой), которого девушка поцеловала. Но

${\displaystyle \exists \;x{\Big (}B(x)\land \forall \;y{\big (}G(y)\rightarrow K(y,x){\big )}{\Big )}}$

означает, что есть какой-то конкретный мальчик, которого целовала каждая девочка. Без этого устройства проект логицизма был бы сомнительным или невозможным. Используя его, Фреге дал определение родственного отношения , отношения « многие к одному» и математической индукции . ^[130]

Этот период совпадает с работой так называемой «математической школы», в которую входили Дедекинд , Паш , Пеано , Гильберт , Цермело , Хантингтон , Веблен и Гейтинг . Их целью была аксиоматизация таких разделов математики, как геометрия, арифметика, анализ и теория множеств. Наиболее примечательной была Программа Гильберта , которая стремилась обосновать всю математику на конечном наборе аксиом, доказывая ее непротиворечивость «конечными» средствами и предоставляя процедуру, которая решала бы истинность или ложность любого математического утверждения. Стандарт аксиоматизация изнатуральные числа одноименно названы аксиомами Пеано . Пеано проводил четкое различие между математическими и логическими символами. Не зная о работе Фреге, он независимо воссоздал свой логический аппарат на основе работ Буля и Шредера. ^[131]

Логицистский проект потерпел фатальную неудачу с открытием парадокса в 1901 году Бертраном Расселом . Это доказало, что наивная теория множеств Фреге привела к противоречию. Теория Фреге содержала аксиому о том, что для любого формального критерия существует набор всех объектов, удовлетворяющих этому критерию. Рассел показал, что набор, содержащий именно те множества, которые не являются членами самих себя, будет противоречить его собственному определению (если он не является членом самого себя, он является членом самого себя, а если он является членом самого себя, это не так) . ^[132] Это противоречие теперь известно как парадокс Рассела . Один важный метод разрешения этого парадокса был предложен Эрнстом Цермело . ^[133] Теория множеств Цермелобыла первой аксиоматической теорией множеств . Она была развита в каноническую теорию множеств Цермело – Френкеля (ZF). Парадокс Рассела символически выглядит следующим образом:

${\displaystyle {\text{Let }}R=\{x\mid x\not \in x\}{\text{, then }}R\in R\iff R\not \in R}$

В монументальном трехтомном труде « Principia Mathematica» по основам математики , написанном Расселом и Альфредом Норт Уайтхедом и опубликованном в 1910–1913 годах, также была сделана попытка разрешить парадокс с помощью сложной системы типов : набора элементов имеет другой тип, чем каждый из его элементов (набор не является элементом; один элемент не является набором), и нельзя говорить о « наборе всех наборов ». Principia была предпринята попыткой вывести все математические истины из четко определенного набора аксиом и правил вывода в символической логике .

Метаматематический период [ править ]

Имена Геделя и Тарского доминируют в 1930-х годах ^[134], решающем периоде в развитии метаматематики - изучении математики с использованием математических методов для создания метатеорий или математических теорий о других математических теориях. Ранние исследования метаматематики проводились по программе Гильберта. Работа над метаматематикой завершившейся в работе Геделя, который в 1929 году показал , что данный первый заказ предложение является выводимо тогда и только тогда , когда это логически действительно - т.е. истинно в каждой структуре для его языка. Это известно как теорема Гёделя о полноте.. Год спустя он доказал две важные теоремы, которые показали, что программа Хиберта недостижима в ее первоначальном виде. Во-первых, никакая непротиворечивая система аксиом, теоремы которой могут быть перечислены с помощью эффективной процедуры, такой как алгоритм или компьютерная программа, не способна доказать все факты о натуральных числах . Для любой такой системы всегда будут утверждения о натуральных числах, которые верны, но недоказуемы в рамках системы. Во-вторых, если такая система также способна доказывать некоторые основные факты о натуральных числах, то система не может доказать непротиворечивость самой системы. Эти два результата известны как теоремы Гёделя о неполноте или простоТеорема Гёделя . Позже в этом десятилетии Гёдель разработал концепцию теоретико-множественной конструктивности в рамках своего доказательства того, что аксиома выбора и гипотеза континуума согласуются с теорией множеств Цермело – Френкеля . В теории доказательств , Генцен разработал естественный вывод и исчисление секвенций. Первая попытка смоделировать логические рассуждения, поскольку они «естественно» возникают на практике и наиболее легко применимы к интуиционистской логике, в то время как вторая была разработана, чтобы прояснить вывод логических доказательств в любой формальной системе. Со времени работы Генцена естественная дедукция и последовательные исчисления широко применялись в области теории доказательств, математической логики и информатики. Генцен также доказал теоремы нормализации и исключения отсечения для интуиционистской и классической логики, которые можно использовать для приведения логических доказательств к нормальной форме. ^{[135] [136]}

Альфред Тарский , ученик Лукасевича , наиболее известен своим определением истины и логического следствия , а также семантической концепцией логического удовлетворения . В 1933 году он опубликовал (на польском языке) «Концепцию истины в формализованных языках» , в которой предложил свою семантическую теорию истины : такие предложения, как «снег бел», истинно тогда и только тогда, когда снег белый. Теория Тарского отделила метаязык , делающий утверждение об истине, от объектного языка , который содержит предложение, истинность которого утверждается, и дала соответствие ( Т-схема) между фразами объектного языка и элементами интерпретации . Подход Тарского к трудной идее объяснения истины оказал неизгладимое влияние на логику и философию, особенно на развитие теории моделей . ^[137] Тарский также произвел важную работу по методологии дедуктивных систем и по таким фундаментальным принципам, как полнота , разрешимость , последовательность и определимость . По словам Аниты Феферман, Тарский «изменил лицо логики в двадцатом веке». ^[138]

Алонзо Чёрч и Алан Тьюринг предложили формальные модели вычислимости, дав независимые отрицательные решения Entscheidungsproblem Гильберта в 1936 и 1937 годах соответственно. Задача Entscheidungsproblem требовала процедуры, которая при любом формальном математическом утверждении алгоритмически определяла бы его истинность. Черч и Тьюринг доказали, что такой процедуры не существует; В статье Тьюринга проблема остановки была представлена как ключевой пример математической проблемы без алгоритмического решения.

Система вычислений Черча превратилась в современное λ-исчисление , а машина Тьюринга стала стандартной моделью для универсального вычислительного устройства. Вскоре было показано, что многие другие предложенные модели вычислений эквивалентны по мощности моделям, предложенным Черчем и Тьюрингом. Эти результаты привели к тезису Чёрча-Тьюринга о том, что любой детерминированный алгоритм, который может быть выполнен человеком, может быть выполнен машиной Тьюринга. Церковь доказала дополнительные результаты неразрешимости, показывая , что как арифметика Пеано и логика первого порядка являются неразрешимой . Более поздние работы Эмиля Поста и Стивена Коула Клинив 1940-х годах расширили сферу применения теории вычислимости и ввели понятие степеней неразрешимости .

Результаты первых нескольких десятилетий двадцатого века также оказали влияние на аналитическую философию и философскую логику , особенно с 1950-х годов, в таких предметах, как модальная логика , темпоральная логика , деонтическая логика и логика релевантности .

Логика после Второй Мировой [ править ]

После Второй мировой войны, математическая логика разветвляется на четыре взаимосвязанных , но отдельные области исследований: теория моделей , теория доказательств , теория вычислимости и теории множеств . ^[139]

В теории множеств метод принуждения произвел революцию в этой области, предоставив надежный метод построения моделей и получения результатов независимости. Пол Коэн представил этот метод в 1963 году, чтобы доказать независимость гипотезы континуума и аксиомы выбора от теории множеств Цермело – Френкеля . ^[140] Его техника, которая была упрощена и расширена вскоре после ее введения, с тех пор была применена ко многим другим задачам во всех областях математической логики.

Теория вычислимости уходит корнями в работы Тьюринга, Черча, Клини и Поста в 1930-40-х годах. Это превратилось в исследование абстрактной вычислимости, которое стало известно как теория рекурсии . ^[141] Метод приоритета , открытый независимо Альбертом Мучником и Ричардом Фридбергом в 1950-х годах, привел к значительным успехам в понимании степеней неразрешимости и связанных структур. Исследования теории вычислимости высшего порядка продемонстрировали ее связь с теорией множеств. Области конструктивного анализа и вычислимого анализабыли разработаны для изучения эффективного содержания классических математических теорем; они, в свою очередь, вдохновили программу обратной математики . Отдельная ветвь теории вычислимости, теория вычислительной сложности , также была охарактеризована в логических терминах в результате исследований описательной сложности .

Теория моделей применяет методы математической логики для изучения моделей конкретных математических теорий. Альфред Тарский опубликовал много новаторских работ в этой области, названных в честь серии статей, которые он опубликовал под названием « Вклад в теорию моделей» . В 1960-х годах Абрахам Робинсон использовал теоретико-модельные методы для разработки исчислений и анализа, основанных на бесконечно малых величинах , - проблема, которая впервые была предложена Лейбницем.

В теории доказательств связь между классической математикой и интуиционистской математикой была прояснена с помощью таких инструментов, как метод реализуемости, изобретенный Георгом Крейзелем, и интерпретация Геделя « Диалектика» . Эта работа вдохновила современную область доказательного майнинга . Соответствие Карри-Ховарда возникло как глубокая аналогия между логикой и вычислением, включая соответствие между системами естественного вывода и типизированными лямбда-исчислениями.используется в информатике. В результате исследования этого класса формальных систем начали касаться как логических, так и вычислительных аспектов; эта область исследований получила название современной теории типов. Также были достигнуты успехи в порядковом анализе и изучении результатов независимости в арифметике, таких как теорема Пэрис – Харрингтона .

Это был также период, особенно в 1950-х годах и позже, когда идеи математической логики начали влиять на философское мышление. Например, временная логика - это формализованная система для представления и рассуждения о предложениях, определенных с точки зрения времени. Философ Артур Прайор сыграл значительную роль в ее развитии в 1960-х годах. Модальная логика расширяет объем формальной логики, включая элементы модальности (например, возможность и необходимость ). Идеи Саула Крипке , в частности о возможных мирах , и формальная система, которая теперь называется семантикой Крипкеоказали глубокое влияние на аналитическую философию . ^[142] Его самая известная и влиятельная работа - « Имена и необходимость» (1980). ^[143] Деонтическая логика тесно связана с модальной логикой: она пытается уловить логические особенности обязательства , разрешения и связанных понятий. Хотя некоторые основные новшества, объединяющие математическую и философскую логику, были продемонстрированы Больцано в начале 1800-х годов, именно Эрнст Малли , ученик Алексиуса Мейнонга , предложил первую формальную деонтическую систему в своей книге Grundgesetze des Sollens., основанный на синтаксисе исчисления высказываний Уайтхеда и Рассела .

Другой логической системой, основанной после Второй мировой войны, была нечеткая логика азербайджанским математиком Лотфи Аскер Заде в 1965 году.

См. Также [ править ]

• История дедуктивного мышления
• История индуктивного мышления
• История абдуктивных рассуждений
• История концепции функции
• История математики
• История философии
• Борода Платона
• Хронология математической логики

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Основные источники

• Александр Афродисийский , у Аристотеля Ан. Пр. Lib. I Commentarium , под ред. Wallies, Берлин, CIAG vol. II / 1, 1882 г.
• Авиценна, Опера Авиценны Венеция 1508.
• Комментарий Боэция к Перигермениям , Secunda Editio, ed. Мейзер, Лейпциг, Тойбнер, 1880 г.
• Больцано, Бернар Виссеншафтслере , (1837) 4 Bde, Neudr., Hrsg. В. Шульц, Лейпциг I-II 1929, III 1930, IV 1931 ( Теория науки , четыре тома, перевод Рольф Джордж и Пол Руснок, Нью-Йорк: Oxford University Press, 2014).
• Больцано, Теория науки Бернарда (отредактировано, с введением, Яном Бергом. Перевод с немецкого Бернем Террелл - издательство D. Reidel Publishing Company , Дордрехт и Бостон, 1973).
• Буль, Джордж (1847) Математический анализ логики (Кембридж и Лондон); репр. в исследованиях по логике и теории вероятностей , под ред. Р. Рис (Лондон, 1952).
• Буль, Джордж (1854 г.) Законы мысли (Лондон и Кембридж); репр. как собрание логических сочинений . Vol. 2, (Чикаго и Лондон: Открытый суд , 1940).
• Эпиктет , Epicteti Dissertationes аб Arriano digestae , под редакцией Генриха Schenkl, Лейпциг, Teubner. 1894 г.
• Фреге Г., Логическое исчисление Буля и концептуальный сценарий , 1882 г., в посмертных писаниях, пер. П. Лонг и Р. Уайт, 1969, стр. 9–46.
• Жергонн, Джозеф Диас , (1816) Essai de dialectique rationelle , в Annales de mathématiques pures et appliquées 7, 1816/7, 189–228.
• Джевонс, WS Принципы науки , Лондон, 1879.
• Теория терминов Оккама : Часть I Summa Logicae , переведенная и представленная Майклом Дж. Луксом (Нотр-Дам, Индиана: University of Notre Dame Press, 1974). Перепечатано: Саут-Бенд, IN: St. Augustine's Press, 1998.
• Теория предложений Оккама : Часть II Summa Logicae, переведенная Альфредом Дж. Фреддосо и Генри Шурманом и представленная Альфредом Дж. Фреддозо (Нотр-Дам, IN: University of Notre Dame Press, 1980). Перепечатано: Саут-Бенд, IN: St. Augustine's Press, 1998.
• Пирс, CS , (1896), "Возрожденная логика", Монист , т. VII , No. 1, стр. 19-40, The Open Court Publishing Co., Чикаго, Иллинойс, 1896 г., для Института Гегелера. Переиздано (CP 3.425–455). Интернет-архив Монист 7 .
• Секст Эмпирик , Против логиков . (Adversus Mathematicos VII и VIII). Ричард Бетт (перевод) Кембридж: Издательство Кембриджского университета, 2005. ISBN 0-521-53195-0 . 
• Цермело, Эрнст (1908). "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I" . Mathematische Annalen . 65 (2): 261–281. DOI : 10.1007 / BF01449999 . S2CID  120085563 .Английский перевод в Хейенорте, Жан ван (1967). «Исследования по основам теории множеств». От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879–1931 . Источники по истории наук. Harvard Univ. Нажмите. С. 199–215. ISBN 978-0-674-32449-7..

Вторичные источники

• Барвайз, Джон , (редактор), Справочник по математической логике , Исследования по логике и основам математики, Амстердам, Северная Голландия, 1982 ISBN 978-0-444-86388-1 . 
• Бини, Майкл, Читатель Фреге , Лондон: Блэквелл 1997.
• Боченски И.М., История формальной логики , Индиана, издательство Notre Dame University Press, 1961.
• Бонер, Филофей , Средневековая логика , Манчестер 1950.
• Бурокер, Джилл Вэнс (перевод и введение), А. Арно, П. Николь. Логика или искусство мышления , Cambridge University Press , 1996, ISBN 0-521-48249-6 . 
• Церковь, Алонзо , 1936–198 гг. «Библиография символической логики». Журнал символической логики 1 : 121–218; 3 : 178–212.
• де Йонг, Эверард (1989), «Логические трактаты» Галилео Галилея и «Логическая опера» Джакомо Забареллы : сравнение , докторская диссертация, Вашингтон, округ Колумбия: Католический университет Америки.
• Эббесен, Стен «Теория ранних предположений (12–13 века)» Histoire, Épistémologie, Langage 3/1: 35–48 (1981).
• Фаррингтон Б., Философия Фрэнсиса Бэкона , Ливерпуль, 1964.
• Феферман, Анита Б. (1999). «Альфред Тарский». Американская национальная биография . 21. Издательство Оксфордского университета . С. 330–332. ISBN 978-0-19-512800-0 . 
• Феферман, Анита Б .; Феферман, Соломон (2004). Альфред Тарский: Жизнь и логика . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-80240-6. OCLC  54691904 .
• Габбей, Дов и Джон Вудс , редакторы, Справочник по истории логики 2004. 1. Греческая, индийская и арабская логика; 2. Логика средневековья и ренессанса; 3. Возникновение современной логики: от Лейбница до Фреге; 4. Британская логика в девятнадцатом веке; 5. Логика от Рассела до Черча; 6. Наборы и пристройки в ХХ веке; 7. Логика и модальности в ХХ веке; 8. Многозначный и немонотонный поворот в логике; 9. Вычислительная логика; 10. Индуктивная логика; 11. Логика: история ее центральных понятий; Elsevier , ISBN 0-444-51611-5 . 
• Гич, PT Logic Matters , Blackwell 1972.
• Гудман, Ленн Эван (2003). Исламский гуманизм . Oxford University Press, ISBN 0-19-513580-6 . 
• Гудман, Ленн Эван (1992). Авиценна . Рутледж, ISBN 0-415-01929-X . 
• Граттан-Гиннесс, Айвор , 2000. В поисках математических корней 1870–1940 . Издательство Принстонского университета .
• Gracia, JG и Noone, TB, Товарищ по философии в средние века , Лондон, 2003 г.
• Хаапаранта, Лейла (ред.) 2009. Развитие современной логики Oxford University Press.
• Хит, Т.Л. , 1949. Математика у Аристотеля , Oxford University Press.
• Heath, TL, 1931, A Manual of Greek Mathematics , Oxford ( Clarendon Press ).
• Хондерих, Тед (ред.). Оксфордский компаньон философии (Нью-Йорк: Oxford University Press, 1995) ISBN 0-19-866132-0 . 
• Нил, Уильям и Марта, 1962. Развитие логики . Oxford University Press, ISBN 0-19-824773-7 . 
• Лукасевич , Силлогистика Аристотеля , Oxford University Press, 1951.
• Поттер, Майкл (2004), Теория множеств и ее философия , Oxford University Press.

Внешние ссылки [ править ]

• История логики от Аристотеля до Гёделя с аннотированной библиографией по истории логики
• Бобзен, Сюзанна. «Древняя логика» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
• Чатти, Салоуа. «Авиценна (Ибн Сина): Логика» . Интернет-энциклопедия философии .
• Спрейт, Шутка. "Петр Испанский" . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
• «Мысли, слова и вещи» Пола Спейда. Введение в позднесредневековую логику и семантическую теорию.
• Взгляды, изображения и биографии 171 логика Дэвида Маранса