Представления классических групп Ли

Группы Ли
Классические группы Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Специальная ортогональная SO ( n ) Унитарная U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n )
Простые группы Ли Классический А п B n C n D n Исключительный G 2 П 4 E 6 E 7 E 8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидово
Алгебры Ли Соответствие группы Ли и алгебры Ли Экспоненциальная карта Присоединенное представительство Форма убийства Индекс Симметрия точки Ли Простая алгебра Ли
Полупростая алгебра Ли Диаграммы Дынкина Подалгебра Картана Корневая система Группа Вейля Реальная форма Комплексификация Расщепленная алгебра Ли Компактная алгебра Ли
Теория представлений Представление группы Ли Представление алгебры Ли Теория представлений полупростых алгебр Ли Представления классических групп Ли Теорема старшего веса Теорема Бореля – Вейля – Ботта.
Группы Ли в физике Физика элементарных частиц и теория представлений Представления группы Лоренца Представления группы Пуанкаре Представления галилеевой группы
Ученые Софус Ли Анри Пуанкаре Вильгельм Киллинг Эли Картан Герман Вейль Клод Шевалле Хариш-Чандра Арман Борель
Глоссарий Таблица групп Ли
v т е

В математике, конечномерные представления комплексных классических групп Ли , , , , , могут быть построены с использованием общей теории представлений полупростых алгебр Ли . Группы , , действительно являются простыми группами Ли и их конечномерные представления совпадают ^[1] с таковыми из их максимальных компактных подгрупп , соответственно , , . В классификации простых алгебр Ли соответствующие алгебры ${\ Displaystyle GL (п, \ mathbb {C})}$${\ Displaystyle SL (п, \ mathbb {C})}$${\ Displaystyle О (п, \ mathbb {C})}$${\ Displaystyle SO (п, \ mathbb {C})}$${\ Displaystyle Sp (2n, \ mathbb {C})}$${\ Displaystyle SL (п, \ mathbb {C})}$${\ Displaystyle SO (п, \ mathbb {C})}$${\ Displaystyle Sp (2n, \ mathbb {C})}$${\ Displaystyle СУ (п)}$${\ Displaystyle SO (п)}$${\ Displaystyle Sp (п)}$

${\ displaystyle {\ begin {align} SL (n, \ mathbb {C}) & \ to A_ {n-1} \\ SO (n _ {\ text {odd}}, \ mathbb {C}) & \ to B _ {\ frac {n-1} {2}} \\ SO (n _ {\ text {even}}) & \ to D _ {\ frac {n} {2}} \\ Sp (2n, \ mathbb {C }) & \ к C_ {n} \ end {align}}}$

Однако, поскольку комплексные классические группы Ли являются линейными группами , их представления являются тензорными . Каждое неприводимое представление помечено диаграммой Юнга , которая кодирует его структуру и свойства.

Общая линейная группа и специальная линейная группа ${\ Displaystyle GL (п, \ mathbb {C})}$ ${\ Displaystyle SL (п, \ mathbb {C})}$[ править ]

Конструкция Вейля [ править ]

Позвольте быть определяющим представлением . Любое неприводимое конечномерное представление является тензорным представлением , т. Е. Подпредставлением некоторого целого числа . ${\displaystyle V=\mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle V^{\otimes k}}$${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$

Неприводимые подпредставления являются образами по Шуре функторам , связанные с перегородками из в в большинстве целых чисел, т.е. к диаграммам Юнги размера с . (Если затем .) Шура функторы определяются с помощью симметризаторов Юнга на симметрической группы , которая действует естественным образом на . Пишем .${\displaystyle V^{\otimes k}}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \lambda _{1}+\cdots +\lambda _{n}=k}$${\displaystyle \lambda _{n+1}=0}$${\displaystyle \lambda _{n+1}>0}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{\lambda }(V)=0}$ ${\displaystyle S_{k}}$${\displaystyle V^{\otimes k}}$${\displaystyle V_{\lambda }=\mathbb {S} ^{\lambda }(V)}$

Размерности неприводимых представлений равны ^[1]

${\displaystyle \dim V_{\lambda }=\prod _{1\leq i<j\leq n}{\frac {\lambda _{i}-\lambda _{j}+j-i}{j-i}}=\prod _{(i,j)\in \lambda }{\frac {n-i+j}{h_{\lambda }(i,j)}}}$

где - длина крючка ячейки на диаграмме Юнга . ${\displaystyle h_{\lambda }(i,j)}$${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle \lambda }$

• Первая формула для размерности - это частный случай формулы, которая дает характеры представлений в терминах многочленов Шура , ^[1] где - собственные значения .${\displaystyle \chi _{\lambda }(g)=s_{\lambda }(x_{1},\dots ,x_{n})}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$${\displaystyle g\in GL(n,\mathbb {C} )}$
• Вторую формулу для измерения иногда называют формулой содержания крючка Стэнли . ^[2]

Примеры [ править ]

Неприводимое представление ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$	Измерение	Диаграмма Юнга
Тривиальное представление	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle ()}$
Детерминантное представление	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle (1^{n})}$
Определение представления ${\displaystyle V}$	${\displaystyle n}$	${\displaystyle (1)}$
Симметричное представление ${\displaystyle {\text{Sym}}^{k}V}$	${\displaystyle {\binom {n+k-1}{k}}}$	${\displaystyle (k)}$
Антисимметричное представление ${\displaystyle \Lambda ^{k}V}$	${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$	${\displaystyle (1^{k})}$

Случай ${\displaystyle SL(n,\mathbb {C} )}$[ править ]

Два представления о эквивалентны как представления , если и только если существует такая , что . ^[1] В частности, детерминантное представление тривиально в , т. Е. Эквивалентно . ${\displaystyle V_{\lambda },V_{\lambda '}}$${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle SL(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \forall i,\ \lambda _{i}-\lambda '_{i}=k}$${\displaystyle V_{(1^{n})}}$${\displaystyle SL(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle V_{()}}$

Тензорные продукты [ править ]

Тензорные произведения конечномерных представлений являются ^[1]${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle V_{\lambda }\otimes V_{\mu }=\sum _{\nu }c_{\lambda \mu }^{\nu }V_{\nu }}$

где натуральные числа являются коэффициентами Литтлвуда-Ричардсона . Например,${\displaystyle c_{\lambda \mu }^{\nu }}$

${\displaystyle V_{(1)}\otimes V_{(k)}=V_{(k+1)}\oplus V_{(k,1)}}$

Ортогональная группа и специальная ортогональная группа ${\displaystyle O(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle SO(n,\mathbb {C} )}$[ править ]

В дополнение к описанным здесь представлениям групп Ли ортогональные и специальные ортогональные группы имеют спиновые представления , которые являются проективными представлениями этих групп, то есть представлениями их универсальных накрывающих групп .

Построение представлений [ править ]

Так как является подгруппой , любое неприводимое представление также является представлением , которое, однако, не может быть неприводимым. Чтобы тензорное представление было неприводимым, тензоры должны быть бесследными. ^[3]${\displaystyle O(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle O(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle O(n,\mathbb {C} )}$

Неприводимые представления параметризуются подмножеством диаграмм Юнга, связанных с неприводимыми представлениями : диаграмм, таких, что сумма длин первых двух столбцов является наибольшей . ^[3] Неприводимое представление , соответствующее такой диаграмме, является подпредставлением соответствующего представления . Например, в случае симметричных тензоров ^[1]${\displaystyle O(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle n}$${\displaystyle U_{\lambda }}$${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle V_{\lambda }}$

${\displaystyle V_{(k)}=U_{(k)}\oplus V_{(k-2)}}$

Случай ${\displaystyle SO(n,\mathbb {C} )}$[ править ]

Антисимметричный тензор представляет собой одномерное представление , которое тривиально для . Тогда где получается из , действуя на длину первого столбца как . ${\displaystyle U_{(1^{n})}}$${\displaystyle O(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle SO(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle U_{(1^{n})}\otimes U_{\lambda }=U_{\lambda '}}$${\displaystyle \lambda '}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle {\tilde {\lambda }}_{1}\to n-{\tilde {\lambda }}_{1}}$

• Для нечетных неприводимые представления параметризуются диаграммами Юнга со строками.${\displaystyle n}$${\displaystyle SO(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\tilde {\lambda }}_{1}\leq {\frac {n-1}{2}}}$
• Ибо даже, по-прежнему неприводимо как представление if , но сводится к сумме двух неэквивалентных представлений if . ^[3]${\displaystyle n}$${\displaystyle U_{\lambda }}$${\displaystyle SO(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\tilde {\lambda }}_{1}\leq {\frac {n}{2}}-1}$${\displaystyle SO(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\tilde {\lambda }}_{1}={\frac {n}{2}}}$

Например, неприводимые представления соответствуют диаграммам Юнга типов . Неприводимые представления соответствуют , и . С другой стороны, размеры спиновых представлений о являются даже целыми числами. ^[1]${\displaystyle O(3,\mathbb {C} )}$${\displaystyle (k\geq 0),(k\geq 1,1),(1,1,1)}$${\displaystyle SO(3,\mathbb {C} )}$${\displaystyle (k\geq 0)}$${\displaystyle \dim U_{(k)}=2k+1}$${\displaystyle SO(3,\mathbb {C} )}$

Размеры [ править ]

Размерности неприводимых представлений задаются формулой, которая зависит от четности : ^[4]${\displaystyle SO(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle (n{\text{ even}})\qquad \dim U_{\lambda }=\prod _{1\leq i<j\leq {\frac {n}{2}}}{\frac {\lambda _{i}-\lambda _{j}-i+j}{-i+j}}\cdot {\frac {\lambda _{i}+\lambda _{j}+n-i-j}{n-i-j}}}$

${\displaystyle (n{\text{ odd}})\qquad \dim U_{\lambda }=\prod _{1\leq i<j\leq {\frac {n-1}{2}}}{\frac {\lambda _{i}-\lambda _{j}-i+j}{-i+j}}\prod _{1\leq i\leq j\leq {\frac {n-1}{2}}}{\frac {\lambda _{i}+\lambda _{j}+n-i-j}{n-i-j}}}$

Существует также выражение в виде факторизованного полинома в : ^[4]${\displaystyle n}$

${\displaystyle \dim U_{\lambda }=\prod _{(i,j)\in \lambda ,\ i\geq j}{\frac {n+\lambda _{i}+\lambda _{j}-i-j}{h_{\lambda }(i,j)}}\prod _{(i,j)\in \lambda ,\ i<j}{\frac {n-{\tilde {\lambda }}_{i}-{\tilde {\lambda }}_{j}+i+j-2}{h_{\lambda }(i,j)}}}$

где - соответственно длина строки, длина столбца и длина крючка . В частности, антисимметричные представления имеют те же размеры, что и их аналоги , а симметричные представления - нет,${\displaystyle \lambda _{i},{\tilde {\lambda }}_{i},h_{\lambda }(i,j)}$${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \dim U_{(1^{k})}=\dim V_{(1^{k})}}$

${\displaystyle \dim U_{(k)}=\dim V_{(k)}-\dim V_{(k-2)}={\frac {n+2k-2}{n-2}}{\binom {n+k-3}{k}}}$

Тензорные продукты [ править ]

В стабильном диапазоне кратности тензорного произведения, которые появляются в разложении тензорного произведения, являются числами Ньюэлла-Литтлвуда , которые не зависят от . ^[5] За пределами стабильного диапазона кратности тензорных произведений становятся зависимыми модификациями чисел Ньюэлла-Литтлвуда. ^{[6] [5] [7]}${\displaystyle |\mu |+|\nu |\leq \left[{\frac {n}{2}}\right]}$${\displaystyle U_{\lambda }\otimes U_{\mu }=\oplus _{\nu }N_{\lambda ,\mu ,\nu }U_{\nu }}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Симплектическая группа ${\displaystyle Sp(2n,\mathbb {C} )}$[ править ]

Представления [ править ]

Конечномерные неприводимые представления параметризуются диаграммами Юнга с не более чем строками. Размерность соответствующего представления ^[3]${\displaystyle Sp(2n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \dim W_{\lambda }=\prod _{i=1}^{n}{\frac {\lambda _{i}+n-i+1}{n-i+1}}\prod _{1\leq i<j\leq n}{\frac {\lambda _{i}-\lambda _{j}+j-i}{j-i}}\cdot {\frac {\lambda _{i}+\lambda _{j}+2n-i-j+2}{2n-i-j+2}}}$

Существует также выражение в виде факторизованного полинома в : ^[4]${\displaystyle n}$

${\displaystyle \dim W_{\lambda }=\prod _{(i,j)\in \lambda ,\ i>j}{\frac {n+\lambda _{i}+\lambda _{j}-i-j+2}{h_{\lambda }(i,j)}}\prod _{(i,j)\in \lambda ,\ i\leq j}{\frac {n-{\tilde {\lambda }}_{i}-{\tilde {\lambda }}_{j}+i+j}{h_{\lambda }(i,j)}}}$

Тензорные продукты [ править ]

Так же, как в случае ортогональной группы, кратности тензорного произведения задаются числами Ньюэлла-Литтлвуда в стабильном диапазоне и их модификациями за пределами стабильного диапазона.

Внешние ссылки [ править ]

• Онлайн-сервис Lie , онлайн-интерфейс к программному обеспечению Lie .

Ссылки [ править ]