Специальная линейная алгебра Ли

Группы Ли
Классические группы Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Специальный ортогональный SO ( n ) Унитарный U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n )
Простые группы Ли Классический А п B n C n D n Исключительный G 2 П 4 E 6 E 7 E 8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидово
Алгебры Ли Соответствие группы Ли и алгебры Ли Экспоненциальная карта Присоединенное представительство Форма убийства Индекс Точечная симметрия Простая алгебра Ли
Полупростая алгебра Ли Диаграммы Дынкина Подалгебра Картана Корневая система Группа Вейля Реальная форма Комплексификация Расщепленная алгебра Ли Компактная алгебра Ли
Теория представлений Представление группы Ли Представление алгебры Ли Теория представлений полупростых алгебр Ли Представления классических групп Ли Теорема старшего веса Теорема Бореля – Вейля – Ботта.
Группы Ли в физике Физика элементарных частиц и теория представлений Представления группы Лоренца Представления группы Пуанкаре Представления галилеевой группы
Ученые Софус Ли Анри Пуанкаре Вильгельм Киллинг Эли Картан Герман Вейль Клод Шевалле Хариш-Чандра Арман Борель
Глоссарий Таблица групп Ли
v т е

В математике , то специальная линейная алгебра Ли порядка п (обозначается или ) является алгебра Ли из матриц с следом нуль и с скобкой Ли . Эта алгебра хорошо изучена и понятна и часто используется в качестве модели для изучения других алгебр Ли. Группа Ли, которую он порождает, является специальной линейной группой .${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}(F)}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,F)}$${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle [X,Y]:=XY-YX}$

Приложения [ править ]

Алгебра Ли занимает центральное место в изучении специальной теории относительности , общей теории относительности и суперсимметрии : ее фундаментальным представлением является так называемое спинорное представление , а ее присоединенное представление порождает группу Лоренца SO (3,1) специальной теории относительности.${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} )}$

Алгебра играет важную роль в изучении хаоса и фракталов , поскольку она порождает группу Мёбиуса SL (2, R) , которая описывает автоморфизмы гиперболической плоскости , простейшей римановой поверхности отрицательной кривизны; напротив, SL (2, C) описывает автоморфизмы гиперболического 3-мерного шара.${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {R} )}$

Теория представлений [ править ]

Теория представлений ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {C} }$[ править ]

По определению алгебра Ли состоит из комплексных матриц размером два на два с нулевым следом. Есть три стандартных базисных элементов, , и , с${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {C} }$${\displaystyle e}$${\displaystyle f}$${\displaystyle h}$

${\displaystyle e={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}}$, , .${\displaystyle f={\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}}}$${\displaystyle h={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$

Коммутаторы

${\displaystyle [e,f]=h}$, И${\displaystyle [h,f]=-2f}$${\displaystyle [h,e]=2e.}$

Алгебру Ли можно рассматривать как подпространство ее универсальной обертывающей алгебры, и, в , существуют следующие коммутаторные соотношения, показываемые индукцией: ^[1]${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {C} }$${\displaystyle U=U({\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {C} )}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle [h,f^{k}]=-2kf^{k},\,[h,e^{k}]=2ke^{k}}$,

${\displaystyle [e,f^{k}]=-k(k-1)f^{k-1}+kf^{k-1}h}$.

Обратите внимание, что здесь степени и т. Д. Относятся к степеням как к элементам алгебры U, а не к степеням матрицы. Первый основной факт (который следует из вышеприведенных коммутаторных соотношений): ^[1]${\displaystyle f^{k}}$

Из этой леммы следует следующий фундаментальный результат: ^[2]

Первое утверждение верно, поскольку либо оно равно нулю, либо имеет -собственное значение, отличное от собственных значений других ненулевых значений. Сказать, что это -весовой вектор, эквивалентно тому, что он одновременно является собственным вектором ; короткий расчет показывает , что тогда, в этом случае, -eigenvalue из равен нулю: . Таким образом, для некоторого целого , и , в частности, в начале леммы,${\displaystyle v_{j}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle v}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle h,e}$${\displaystyle e}$${\displaystyle v}$${\displaystyle e\cdot v=0}$${\displaystyle N\geq 0}$${\displaystyle v_{N}\neq 0,v_{N+1}=v_{N+2}=\cdots =0}$

${\displaystyle 0=e\cdot v_{N+1}=(\lambda -(N+1)+1)v_{N},}$

что означает, что . Осталось показать неприводимость. Если - подпредставление, то оно допускает собственный вектор, который должен иметь собственное значение вида ; таким образом пропорционально . По предыдущей лемме имеем is in и, значит .${\displaystyle \lambda =N}$${\displaystyle W=\operatorname {span} \{v_{j}|j\geq 0\}}$${\displaystyle 0\neq W'\subset W}$${\displaystyle N-2j}$${\displaystyle v_{j}}$${\displaystyle v=v_{0}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W'=W}$${\displaystyle \square }$

Как следствие, можно сделать вывод:

• Если имеет конечную размерность и неприводимо, то -собственное значение v является целым неотрицательным числом и имеет базис .${\displaystyle V}$${\displaystyle h}$${\displaystyle N}$${\displaystyle V}$${\displaystyle v,fv,f^{2}v,\cdots ,f^{N}v}$
• И наоборот, если -собственное значение - неотрицательное целое число и неприводимо, то имеет базис ; в частности, имеет конечную размерность.${\displaystyle h}$${\displaystyle v}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle v,fv,f^{2}v,\cdots ,f^{N}v}$

Красивый частный случай показывает общий способ найти неприводимые представления алгебр Ли. А именно, мы делим алгебру на три подалгебры «h» (подалгебра Картана ), «e» и «f», которые ведут себя примерно так же, как их тезки в . А именно, в неприводимом представлении у нас есть «старший» собственный вектор «h», на котором «e» действует нулем. Базис неприводимого представления порождается действием «f» на старшие собственные векторы «h». См. Теорему о максимальном весе .${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$

Теория представлений ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} }$[ править ]

Когда для комплексного векторного пространства , каждое конечное неприводимое представление можно найти как подпредставление в тензорной степени из . ^[4]${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} ={\mathfrak {sl}}(V)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle V}$

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Этингоф, Павел. « Конспект лекций по теории представлений ».
• Кац, Виктор (1990). Бесконечномерные алгебры Ли (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-46693-8. CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer
• А. Л. Онищик, Е. Б. Винберг , В. В. Горбацевич, Строение групп Ли и алгебр Ли . Группы Ли и алгебры Ли, III. Энциклопедия математических наук, 41. Springer-Verlag, Berlin, 1994. iv + 248 pp. (Перевод «Актуальные проблемы математики. Фундаментальные направления». Том 41, АН СССР, Всесоюз. Ин-та Науч. И техн. Информ., Москва, 1990. Перевод В. Миначина. Перевод под редакцией А. Л. Онищика и Э. Б. Винберга) ISBN 3-540-54683-9 
• В. Л. Попов , Е. Б. Винберг, Теория инвариантов . Алгебраическая геометрия. IV. Линейные алгебраические группы. Энциклопедия математических наук, 55. Springer-Verlag, Berlin, 1994. vi + 284 с. (Перевод алгебраической геометрии. 4, АН СССР Всесоюз. Институт Науч. И Техн. Информ., Москва, 1989. Перев. под редакцией А. Н. Паршина и И. Р. Шафаревича) ISBN 3-540-54682-0 
• Серр, Жан-Пьер (2000), полупростые комплексы Альжебра де Ли [ Комплексные полупростые алгебры Ли ], переведенный Джонс, Г.А., Спрингер, ISBN 978-3-540-67827-4.

См. Также [ править ]

• Аффинная группа Вейля
• Конечная группа Кокстера
• Диаграмма Хассе
• Линейная алгебраическая группа
• Нильпотентная орбита
• Корневая система
• sl2-тройной
• Группа Вейля