Теорема Стокса

Иллюстрация теоремы Стокса с поверхностью

Σ

, ее границей

\partialΣ

и вектором нормали

n

.

Дифференциальный

Определения
Производная ( обобщения ) Дифференциальный бесконечно малый функции общее
Концепции
Обозначение дифференциации Вторая производная Неявное дифференцирование Логарифмическое дифференцирование Связанные ставки Теорема Тейлора
Правила и личности
Сумма Продукт Цепь Мощность Частное Правило L'Hôpital Обратный Генерал Лейбниц Формула Фаа ди Бруно

интеграл

Определения
Списки интегралов Интегральное преобразование
Первообразный Интегральный ( неправильный ) Интеграл Римана Интеграция Лебега Контурная интеграция Интеграл от обратных функций
Интеграция
Запчасти Диски Цилиндрические оболочки Подстановка ( тригонометрическая , Вейерштрасса , Эйлера ) Формула Эйлера Неполные фракции Изменение порядка Формулы приведения Дифференцируя знаком интеграла Алгоритм риша

Ряд

Тесты сходимости
Геометрический ( арифметико-геометрический ) Гармонический Чередование Мощность Биномиальный Тейлор
Предел слагаемого (тест на срок) Соотношение Корень интеграл Прямое сравнение Сравнение пределов Чередующиеся серии Конденсация Коши Дирихле Авель

Вектор

Теоремы
Градиент Расхождение Завиток Лапласиан Производная по направлению Идентичности
Градиент Зелень Стокса Расхождение обобщенный Стокса

Многовариантный

Формализмы
Матрица Тензор Внешний вид Геометрический
Определения
Частная производная Кратный интеграл Линейный интеграл Поверхностный интеграл Объемный интеграл Якобиан Гессен

Стокса теорема , ^[1] , также известная как Кельвин-Стокс теорема ^[2]^[3] после того, как Лорд Кельвин и Джордж Стокса , в фундаментальной теореме для локонов или просто завиток теоремы , ^[4] является теорема в векторе исчисления на . Учитывая векторное поле , теорема связывает интеграл от ротора векторного поля на некоторой поверхности, на криволинейный интеграл от векторного поля вокруг границы поверхности. Классическую теорему Стокса можно сформулировать одним предложением: $\mathbb {R} ^{3}$ Линейный интеграл векторного поля по петле равен потоку его ротора через замкнутую поверхность.

Теорема Стокса является частным случаем обобщенной теоремы Стокса . ^[5]^[6] В частности, векторное поле на можно рассматривать как 1-форму, и в этом случае его ротор является его внешней производной , 2-формой. $\mathbb {R} ^{3}$

Теорема [ править ]

Пусть - гладкая ориентированная поверхность в $R$ $3$ с краем . Если векторное поле определено и имеет непрерывные частные производные первого порядка в области, содержащей , то $\Sigma$ $\partial \Sigma$ $\mathbf {A} =(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$ $\Sigma$

\iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot d\mathbf {a} =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {A} \cdot d\mathbf {l} .

Более явно равенство говорит, что

\iint _{\Sigma }\left(\left({\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)\,dy\,dz+\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)\,dz\,dx+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dx\,dy\right)=\oint _{\partial \Sigma }{\Bigl (}P\,dx+Q\,dy+R\,dz{\Bigr )}.

Основная проблема точной формулировки теоремы Стокса состоит в определении понятия границы. Хорошо известно, что такие поверхности, как снежинка Коха , не имеют границы, интегрируемой по Риману, и понятие поверхностной меры в теории Лебега не может быть определено для нелипшицевой поверхности. Один (продвинутый) метод состоит в том, чтобы перейти к слабой формулировке и затем применить механизм геометрической теории меры ; для этого подхода см. формулу coarea . В этой статье мы вместо этого используем более элементарное определение, основанное на том факте, что граница может быть различима для полномерных подмножеств $ℝ 2$ .

Пусть $γ : [ , Ь] \to R 2$ является кусочно - гладким Жорданом плоских кривым . Кривая Жордана теорема вытекает , что $Г$ делит $R 2$ на две компоненты, компактный один и другой , который не является компактным. Обозначим через $D$ компактную часть; то $D$ ограничено $γ$ . Теперь достаточно перенести это понятие границы вдоль непрерывного отображения на нашу поверхность в $§ 3$ . Но у нас уже есть такая карта: на параметризации из $Е$ .

Предположим, что $ψ : D \to R 3$ гладкое, причем $Σ = ψ (D)$ . Если $Γ$ - это пространственная кривая, заданная формулой $Γ (t) = ψ (γ (t))$ , ^{[примечание 1],} то мы называем $Γ$ границей $Σ$ , $обозначаемой \partialΣ$ .

С указанными выше обозначениями, если $F$ - любое гладкое векторное поле на $R 3$ , то ^[7]^[8]

\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \,\cdot \,d{\mathbf {\Gamma } }=\iint _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {F} \,\cdot \,d\mathbf {S} .

Доказательство [ править ]

Доказательство теоремы состоит из 4 шагов. Мы принимаем теорему Грина , поэтому нас беспокоит, как свести трехмерную сложную задачу (теорема Стокса) к двумерной элементарной задаче (теорема Грина). ^[9] При доказательстве этой теоремы математики обычно выводят ее как частный случай более общего результата , который формулируется в терминах дифференциальных форм и доказывается с использованием более сложной техники. Несмотря на свою мощь, эти методы требуют серьезной подготовки, поэтому приведенное ниже доказательство их избегает и не предполагает каких-либо знаний, кроме знакомства с основным векторным исчислением. ^[8] В конце этого раздела приводится краткое альтернативное доказательство теоремы Стокса как следствие обобщенной теоремы Стокса.

Элементарное доказательство [ править ]

Первый шаг доказательства (параметризация интеграла) [ править ]

Как и в § Теорема , мы уменьшаем размерность, используя естественную параметризацию поверхности. Пусть $ψ$ и $γ такие же$ , как в этом разделе, и заметим, что заменой переменных

\oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,d\mathbf {l} }=\oint _{\gamma }{\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))\cdot \,d{\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} )}=\oint _{\gamma }{\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))J_{\mathbf {y} }({\boldsymbol {\psi }})\,d\mathbf {y} }

где $Jψ$ обозначает матрицу Якоби функции $ψ$ .

Пусть теперь ${е у, е v}$ ортонормированный базис в координатных направлениях $ℝ 2$ . Признавая, что столбцы $J y ψ$ являются в точности частными производными от $ψ в$ точке $y$ , мы можем разложить предыдущее уравнение по координатам как

{\begin{aligned}\oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,d\mathbf {l} }&=\oint _{\gamma }{\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))J_{\mathbf {y} }({\boldsymbol {\psi }})\mathbf {e} _{u}(\mathbf {e} _{u}\cdot \,d\mathbf {y} )+\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))J_{\mathbf {y} }({\boldsymbol {\psi }})\mathbf {e} _{v}(\mathbf {e} _{v}\cdot \,d\mathbf {y} )}\\&=\oint _{\gamma }{\left(\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(\mathbf {y} )\right)\mathbf {e} _{u}+\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(\mathbf {y} )\right)\mathbf {e} _{v}\right)\cdot \,d\mathbf {y} }\end{aligned}}

Второй шаг в доказательстве (определение отката) [ править ]

На предыдущем шаге предлагается определить функцию

$\mathbf {P} (u,v)=\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(u,v)\right)\mathbf {e} _{u}+\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\right)\mathbf {e} _{v}$

Это откат от $F$ по $ф$ , и, указанными выше, удовлетворяет

\oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,d\mathbf {l} }=\oint _{\gamma }{\mathbf {P} (\mathbf {y} )\cdot \,d\mathbf {l} }

Мы успешно свели одну сторону теоремы Стокса к двумерной формуле; Теперь перейдем к другой стороне.

Третий шаг доказательства (второе уравнение) [ править ]

Сначала вычислите частные производные, фигурирующие в теореме Грина , с помощью правила произведения :

{\begin{aligned}{\frac {\partial P_{1}}{\partial v}}&={\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial v}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}+(\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})\cdot {\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {\psi }}}{\partial v\,\partial u}}\\[5pt]{\frac {\partial P_{2}}{\partial u}}&={\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial u}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}+(\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})\cdot {\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {\psi }}}{\partial u\,\partial v}}\end{aligned}}

Удобно, что второй член в разности обращается в нуль из-за равенства смешанных частей . Так,

{\begin{aligned}{\frac {\partial P_{1}}{\partial v}}-{\frac {\partial P_{2}}{\partial u}}&={\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial v}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}-{\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial u}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\\[5pt]&={\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} ){\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}-{\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} ){\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}&&{\text{(chain rule)}}\\[5pt]&={\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}\left(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} -{(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}^{\mathsf {T}}\right){\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\end{aligned}}

Но теперь рассмотрим матрицу в этой квадратичной форме, то есть . Мы утверждаем, что эта матрица на самом деле описывает перекрестное произведение. $J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} -(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )^{\mathsf {T}}$

Чтобы быть точным, пусть - произвольная матрица $3 \times 3$ и пусть $A=(A_{ij})_{ij}$

\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}A_{32}-A_{23}\\A_{13}-A_{31}\\A_{21}-A_{12}\end{bmatrix}}

Обратите внимание, что $x \mapsto a \times x$ линейно, поэтому оно определяется его действием на базисные элементы. Но прямым расчетом

{\begin{aligned}\left(A-A^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {e} _{1}&={\begin{bmatrix}0\\a_{3}\\-a_{2}\end{bmatrix}}=\mathbf {a} \times \mathbf {e} _{1}\\\left(A-A^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {e} _{2}&={\begin{bmatrix}-a_{3}\\0\\a_{1}\end{bmatrix}}=\mathbf {a} \times \mathbf {e} _{2}\\\left(A-A^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {e} _{3}&={\begin{bmatrix}a_{2}\\-a_{1}\\0\end{bmatrix}}=\mathbf {a} \times \mathbf {e} _{3}\end{aligned}}

Таким образом, $(A - A T) x = a \times x$ для любого $x$ . Подставляя $J F$ для $А$ , получим

\left({(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}_{\psi (u,v)}-{(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {x} =(\nabla \times \mathbf {F} )\times \mathbf {x} ,\quad {\text{for all}}\,\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}

Теперь мы можем распознать разность частичных чисел как (скалярное) тройное произведение :

{\begin{aligned}{\frac {\partial P_{1}}{\partial v}}-{\frac {\partial P_{2}}{\partial u}}&={\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}\cdot (\nabla \times \mathbf {F} )\times {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\\&=\det {\begin{bmatrix}(\nabla \times \mathbf {F} )({\boldsymbol {\psi }}(u,v))&{\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(u,v)&{\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(u,v)\end{bmatrix}}\end{aligned}}

С другой стороны, определение поверхностного интеграла также включает тройное произведение - то же самое!

{\begin{aligned}\iint _{S}(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \,d^{2}\mathbf {S} &=\iint _{D}{(\nabla \times \mathbf {F} )({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot \left({\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(u,v)\times {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(u,v)\,du\,dv\right)}\\&=\iint _{D}\det {\begin{bmatrix}(\nabla \times \mathbf {F} )({\boldsymbol {\psi }}(u,v))&{\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(u,v)&{\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(u,v)\end{bmatrix}}\,du\,dv\end{aligned}}

Итак, получаем

\iint _{S}(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \,d^{2}\mathbf {S} =\iint _{D}\left({\frac {\partial P_{2}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{1}}{\partial v}}\right)\,du\,dv

Четвертый шаг доказательства (сведение к теореме Грина) [ править ]

Объединение второго и третьего шагов с последующим применением теоремы Грина завершает доказательство.

Доказательство с помощью дифференциальных форм [ править ]

$ℝ \to ℝ 3$ можно отождествить с дифференциальными 1-формами на $ℝ 3 с$ помощью отображения

F_{1}\mathbf {e} _{1}+F_{2}\mathbf {e} _{2}+F_{3}\mathbf {e} _{3}\mapsto F_{1}\,dx+F_{2}\,dy+F_{3}dz

.

Написать дифференциальную 1-форму , связанную с функцией $F$ , как & $omega F$ . Тогда можно вычислить, что

\star \omega _{\nabla \times \mathbf {F} }=d\omega _{\mathbf {F} }

где $★$ - звезда Ходжа, а - внешняя производная . Таким образом, по теореме Стокса обобщенной , ^[10] $d$

\oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {F} \cdot \,d\mathbf {l} }=\oint _{\partial \Sigma }{\omega _{\mathbf {F} }}=\int _{\Sigma }{d\omega _{\mathbf {F} }}=\int _{\Sigma }{\star \omega _{\nabla \times \mathbf {F} }}=\iint _{\Sigma }{\nabla \times \mathbf {F} \cdot \,d^{2}\mathbf {S} }

Приложения [ править ]

В гидродинамике [ править ]

В этом разделе мы обсудим ламеллярное векторное поле на основе теоремы Стокса.

Безвихревые поля [ править ]

Определение 2-1 (безвихревое поле). Гладкое векторное поле $F$ на открытом $U \subseteq R 3$ является безвихревым, если $\nabla \times F = 0$ .

Если область F является односвязной , то $F$ является консервативным векторным полем .

Теоремы Гельмгольца [ править ]

В этом разделе мы представим теорему, которая выводится из теоремы Стокса и характеризует векторные поля без вихрей. В гидродинамике это называется теоремами Гельмгольца .

Теорема 2-1 (теорема Гельмгольца в гидродинамике). ^[5]^[3]^{: 142} Пусть $U \subseteq R 3$ - открытое подмножество с ламеллярным векторным полем $F$ и пусть $c 0, c 1 : [0, 1] \to U$ - кусочно гладкие петли. Если существует функция $H : [0, 1] \times [0, 1] \to U$ такая, что

[TLH0] $H$ кусочно гладкая,
[TLH1] $H (t, 0) = c 0 (t)$ для всех $t \in [0, 1]$ ,
[TLH2] $H (t, 1) = c 1 (t)$ для всех $t \in [0, 1]$ ,
[TLH3] $H (0, s) = H (1, s)$ для всех $s \in [0, 1]$ .

Потом,

\int _{c_{0}}\mathbf {F} \,dc_{0}=\int _{c_{1}}\mathbf {F} \,dc_{1}

В некоторых учебниках, таких как Лоуренс ^[5], связь между $c 0$ и $c 1,$ указанная в теореме 2-1, называется «гомотопической», а функция $H : [0, 1] \times [0, 1] \to U$ - «гомотопией между $c 0$ и $c 1$ ". Однако «гомотопия» или «гомотопия» в вышеупомянутом смысле отличаются (сильнее, чем) типичные определения «гомотопии» или «гомотопии»; последнее опускает условие [TLH3]. Поэтому с этого момента мы будем называть гомотопию (гомотопию) в смысле теоремы 2-1 трубчатой гомотопией (соответственно трубчато-гомотопической) . ^{[заметка 2]}

Доказательство теоремы [ править ]

Определения

γ 1, ..., γ 4

В дальнейшем мы злоупотребляем обозначениями и используем « $+$ » для конкатенации путей в фундаментальном группоиде и « $-$ » для изменения ориентации пути на противоположное.

Пусть $D = [0, 1] \times [0, 1]$ , и $разделим \partial D$ на четыре отрезка $γ j$ .

{\begin{aligned}\gamma _{1}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{1}(t)=(t,0)\\\gamma _{2}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{2}(s)=(1,s)\\\gamma _{3}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{3}(t)=(1-t,1)\\\gamma _{4}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{4}(s)=(0,1-s)\,\partial D=\gamma _{1}+\gamma _{2}+\gamma _{3}+\gamma _{4}\end{aligned}}

По нашему предположению, что $c 1$ и $c 2$ кусочно гладкие гомотопные, существует кусочно гладкая гомотопия $H : D \to M$

{\begin{aligned}\Gamma _{i}(t)&=H(\gamma _{i}(t))&&i=1,2,3,4\\\Gamma (t)&=H(\gamma (t))=(\Gamma _{1}\oplus \Gamma _{2}\oplus \Gamma _{3}\oplus \Gamma _{4})(t)\end{aligned}}

Пусть S -образ $D$ при H . Что

\iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \,dS=\oint _{\Gamma }\mathbf {F} \,d\Gamma

немедленно следует из теоремы Стокса. $F$ является ламеллярным, поэтому левая часть исчезает, т.е.

0=\oint _{\Gamma }\mathbf {F} \,d\Gamma =\sum _{i=1}^{4}\oint _{\Gamma _{i}}\mathbf {F} \,d\Gamma

Поскольку H трубчатая, $Γ 2 = -Γ 4$ . Таким образом, линейные интегралы вдоль $Γ 2 (s)$ и $Γ 4 (s)$ сокращаются, оставляя

0=\oint _{\Gamma _{1}}\mathbf {F} \,d\Gamma +\oint _{\Gamma _{3}}\mathbf {F} \,d\Gamma

С другой стороны, $c 1 = Γ 1$ и $c 3 = -Γ 3$ , так что требуемое равенство следует почти сразу.

Консервативные силы [ править ]

Теорема Гельмгольца объясняет, почему работа, выполняемая консервативной силой при изменении положения объекта, не зависит от пути. Сначала введем лемму 2-2, которая является следствием и частным случаем теоремы Гельмгольца.

Лемма 2-2. ^[5]^[6] Пусть $U \subseteq R 3$ быть открытым подмножеством , с пластинчатой векторным полем $F$ и кусочно - гладкой цикл $с 0 : [0, 1] \to U$ . Зафиксируем точку $p \in U$ , если существует гомотопия (трубчатая гомотопия) $H : [0, 1] \times [0, 1] \to U$ такая, что

[SC0] Н является кусочно - гладкой ,
[SC1] H ( t , 0) = c ₀ ( t ) для всех t ∈ [0, 1],
[SC2] H ( t , 1) = p для всех t ∈ [0, 1],
[SC3] H (0, s ) = H (1, s ) = p для всех s ∈ [0, 1].

Потом,

\int _{c_{0}}\mathbf {F} \,dc_{0}=0

Лемма 2-2 следует из теоремы 2-1. В лемме 2-2 критически важно существование $H,$ удовлетворяющего [SC0] - [SC3]. Если U односвязен, такой H существует. Определение односвязного пространства следующее:

Определение 2-2 (односвязное пространство). ^[5]^[6] Пусть $M \subseteq R n$ непусто и линейно связно . $M$ называется односвязным тогда и только тогда, когда для любой непрерывной петли $c : [0, 1] \to M$ существует непрерывная трубчатая гомотопия $H : [0, 1] \times [0, 1] \to M$ от $c$ до неподвижной точки. $p \in c$ ; это,

[SC0' ] Н является непрерывным ,
[SC1] H ( t , 0) = c ( t ) для всех t ∈ [0, 1],
[SC2] H ( t , 1) = p для всех t ∈ [0, 1],
[SC3] H (0, s ) = H (1, s ) = p для всех s ∈ [0, 1].

Утверждение, что «для консервативной силы работа по изменению положения объекта не зависит от пути», может показаться, что оно следует незамедлительно. Но напомним, что простая связность гарантирует только существование непрерывной гомотопии, удовлетворяющей [SC1-3]; вместо этого мы ищем кусочно гладкую гомотопию, удовлетворяющую этим условиям.

Однако пробел в регулярности устраняется аппроксимационной теоремой Уитни . ^[6]^{: 136,421}^[11] Таким образом, получаем следующую теорему.

Теорема 2-2. ^[5]^[6] Пусть $U \subseteq R 3$ Be открытая и просто соединено с безвихревым векторным полем $F$ . Для всех кусочно-гладких петель $c : [0, 1] \to U$

\int _{c_{0}}\mathbf {F} \,dc_{0}=0

Уравнения Максвелла [ править ]

В физике электромагнетизма , Стокс теорема дает обоснование эквивалентности дифференциальной форме уравнения Максвелла-Фарадея и уравнения Максвелла-Ампера и интегральной форме этих уравнений. Для закона Фарадея теорема Стокса применяется к электрическому полю . $\mathbf {E}$

\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\iint _{\Sigma }\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S}

Для закона Ампера теорема Стокса применяется к магнитному полю . $\mathbf {B}$

\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\iint _{\Sigma }\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S}

Заметки [ править ]

^ $Γ$ может не быть жордановой кривой , если петля $γ$ плохо взаимодействует с $ψ$ . Тем не менее, $Γ$ всегда цикл , и топологический связная сумма из счетно-многих кривых Жордана, так что интегралы хорошо определены.
^ Существуют учебники, в которых используются термины «гомотопия» и «гомотопия» в смысле теоремы 2-1. ^[5] Действительно, это очень удобно для конкретной проблемы консервативных сил. Однако оба использования гомотопии появляются достаточно часто, чтобы устранить неоднозначность, и термин «трубчатая гомотопия», принятый здесь, служит достаточно хорошо для этой цели.

Ссылки [ править ]

^ Стюарт, Джеймс (2012). Исчисление - Ранние трансцендентальные (7-е изд.). Brooks / Cole Cengage Learning. п. 1122. ISBN 978-0-538-49790-9.
^ Нагейоши Ивахори ,др al.:"Bi-Bun-Seki-Bun-Gaku» Шо-Ка-Бу (JP) 1983/12 ISBN 978-4-7853-1039-4 [1] (на японском языке)
^ a b Ацуо Фудзимото; "Vector-Kai-Seki Gendai su-gaku rekucha zu. C (1)" Bai-Fu-Kan (jp) (1979/01) ISBN 978-4563004415 [2] (Написано на японском)
^ Гриффитс, Дэвид (2013). Введение в электродинамику . Пирсон. п. 34. ISBN 978-0-321-85656-2.
^ Б с д е е г Конлон, Лоуренс (2008). Дифференцируемые многообразия . Современная классика Биркхаузера. Бостон: Биркхойзер.
^ a b c d e Ли, Джон М. (2002). Введение в гладкие многообразия . Тексты для выпускников по математике. 218 . Springer.
^ Стюарт, Джеймс (2010). Essential Calculus: Early Transcendentals . Коул.
^ a b Роберт Шайхл, конспект лекций по курсу математики Университета Бата [3]
^ Колли, Сьюзен Джейн (2002). Векторное исчисление (4-е изд.). Бостон: Пирсон. С. 500–3.
^ Эдвардс, Гарольд М. (1994). Расширенное исчисление: подход дифференциальных форм . Birkhäuser. ISBN 0-8176-3707-9.
^ LS Понтрягин, Гладкие многообразия и их приложения в теории гомотопий, Переводы Американского математического общества, сер. 2, т. 11, Американское математическое общество , Провиденс, Род-Айленд, 1959, стр. 1–114. MR 0115178 (22 # 5980 [4] ). См. Теоремы 7 и 8.

[cgamma-7] $Γ$ может не быть жордановой кривой , если петля $γ$ плохо взаимодействует с $ψ$ . Тем не менее, $Γ$ всегда цикл , и топологический связная сумма из счетно-многих кривых Жордана, так что интегралы хорошо определены.

[TLH-12] Существуют учебники, в которых используются термины «гомотопия» и «гомотопия» в смысле теоремы 2-1. ^[5] Действительно, это очень удобно для конкретной проблемы консервативных сил. Однако оба использования гомотопии появляются достаточно часто, чтобы устранить неоднозначность, и термин «трубчатая гомотопия», принятый здесь, служит достаточно хорошо для этой цели.

[1] Стюарт, Джеймс (2012). Исчисление - Ранние трансцендентальные (7-е изд.). Brooks / Cole Cengage Learning. п. 1122. ISBN 978-0-538-49790-9.

[iwahori-2] Нагейоши Ивахори ,др al.:"Bi-Bun-Seki-Bun-Gaku» Шо-Ка-Бу (JP) 1983/12 ISBN 978-4-7853-1039-4 [1] (на японском языке)

[fujimno-3] Ацуо Фудзимото; "Vector-Kai-Seki Gendai su-gaku rekucha zu. C (1)" Bai-Fu-Kan (jp) (1979/01) ISBN 978-4563004415 [2] (Написано на японском)

[4] Гриффитс, Дэвид (2013). Введение в электродинамику . Пирсон. п. 34. ISBN 978-0-321-85656-2.

[DTPO-5] Б с д е е г Конлон, Лоуренс (2008). Дифференцируемые многообразия . Современная классика Биркхаузера. Бостон: Биркхойзер.

[lee-6] Ли, Джон М. (2002). Введение в гладкие многообразия . Тексты для выпускников по математике. 218 . Springer.

[Jame-8] Стюарт, Джеймс (2010). Essential Calculus: Early Transcendentals . Коул.

[bath-9] Роберт Шайхл, конспект лекций по курсу математики Университета Бата [3]

[10] Колли, Сьюзен Джейн (2002). Векторное исчисление (4-е изд.). Бостон: Пирсон. С. 500–3.

[11] Эдвардс, Гарольд М. (1994). Расширенное исчисление: подход дифференциальных форм . Birkhäuser. ISBN 0-8176-3707-9.

[ptr-13] LS Понтрягин, Гладкие многообразия и их приложения в теории гомотопий, Переводы Американского математического общества, сер. 2, т. 11, Американское математическое общество , Провиденс, Род-Айленд, 1959, стр. 1–114. MR 0115178 (22 # 5980 [4] ). См. Теоремы 7 и 8.