Интегральное преобразование

В математике , интегральное преобразование отображает функцию от своей первоначальной функции пространства в другую функцию пространства с помощью интеграции , где некоторые из свойств исходной функции могут быть более легко и характеризуется манипулируют , чем в исходном функциональном пространстве. Преобразованная функция обычно может быть отображена обратно в исходное функциональное пространство с помощью обратного преобразования .

Общая форма

Интегральное преобразование - это любое преобразование следующего вида:${\ displaystyle T}$

${\displaystyle (Tf)(u)=\int _{t_{1}}^{t_{2}}f(t)\,K(t,u)\,dt}$

Входом этого преобразования является функция , а выходом - другая функция . Интегральное преобразование - это особый вид математического оператора .${\displaystyle f}$${\displaystyle Tf}$

Существует множество полезных интегральных преобразований. Каждый определяется выбором функции двух переменных , функции ядра , интегрального ядра или ядра преобразования.${\displaystyle K}$

С некоторыми ядрами связано обратное ядро, которое (грубо говоря) дает обратное преобразование:${\displaystyle K^{-1}(u,t)}$

${\displaystyle f(t)=\int _{u_{1}}^{u_{2}}(Tf)(u)\,K^{-1}(u,t)\,du}$

Симметричное ядро является тот , который не изменяется , когда две переменные переставляются; это такая функция ядра , что . В теории интегральных уравнений симметричные ядра соответствуют самосопряженным операторам. ^[1]${\displaystyle K}$${\displaystyle K(t,u)=K(u,t)}$

Мотивация к использованию

Помимо математических обозначений, мотивацию интегральных преобразований легко понять. Есть много классов проблем, которые трудно решить - или, по крайней мере, довольно громоздко с алгебраической точки зрения - в их исходных представлениях. Интегральное преобразование «отображает» уравнение из его исходной «области» в другую область. Управлять уравнением и решать его в целевой области может быть намного проще, чем манипулировать и решать в исходной области. Затем решение отображается обратно в исходную область с помощью обратного интегрального преобразования.

Есть много приложений вероятности, которые полагаются на интегральные преобразования, такие как «ядро ценообразования» или стохастический коэффициент дисконтирования , или сглаживание данных, восстановленных из надежной статистики; см. ядро (статистика) .

История

Предшественником преобразований был ряд Фурье для выражения функций в конечных интервалах. Позже преобразование Фурье было разработано для устранения требования конечных интервалов.

Используя ряд Фурье, практически любую практическую функцию времени (например, напряжение на выводах электронного устройства ) можно представить как сумму синусов и косинусов , каждый из которых соответствующим образом масштабирован (умножен на постоянный коэффициент), сдвинут (расширенный или с запаздыванием во времени) и «сжатым» или «растянутым» (увеличивая или уменьшая частоту). Синусы и косинусы в ряду Фурье являются примером ортонормированного базиса .

Пример использования

В качестве примера применения интегральных преобразований рассмотрим преобразование Лапласа . Это метод, который преобразует дифференциальные или интегро-дифференциальные уравнения во «временной» области в полиномиальные уравнения в так называемой «комплексной частотной» области . (Комплексная частота похожа на реальную физическую частоту, но является более общей. В частности, мнимая составляющая ω комплексной частоты s = - σ + iω соответствует обычному понятию частоты, а именно скорости, с которой синусоида циклически повторяется , а действительная составляющая σкомплексной частоты соответствует степени "затухания", то есть экспоненциальному уменьшению амплитуды.) Уравнение, составленное в терминах комплексной частоты, легко решается в комплексной частотной области (корни полиномиальных уравнений в комплексной частотной области соответствуют для собственных значений во временной области), что приводит к «решению» формулируется в частотной области. Используя обратное преобразование , т.е., обратная процедура исходного преобразования Лапласа, можно получить решение во временной области. В этом примере полиномы в комплексной частотной области (обычно встречающиеся в знаменателе) соответствуют степенным рядам во временной области, в то время как осевые сдвиги в комплексной частотной области соответствуют затуханию за счет убывания экспонент во временной области.

Преобразование Лапласа находит широкое применение в физике и, в частности, в электротехнике, где характеристические уравнения , описывающие поведение электрической цепи в комплексной частотной области, соответствуют линейным комбинациям экспоненциально масштабированных и сдвинутых по времени затухающих синусоид во временной области. Другие интегральные преобразования находят особое применение в других научных и математических дисциплинах.

Другой пример использования - это ядро ​​в интеграле по пути :

${\displaystyle \psi (x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x',t')K(x,t;x',t')dx'.}$

Это утверждает , что полная амплитуда , чтобы прибыть на это сумма (интеграл) по всем возможным значениям суммарной амплитуды , чтобы прийти к точке , умноженной на амплитуду , чтобы перейти от к [ т ] . ^[2] Его часто называют пропагатором данной системы. Это (физическое) ядро ​​является ядром интегрального преобразования. Однако для каждой квантовой системы существует свое ядро. ^[3]${\displaystyle \psi (x,t)}$${\displaystyle (x,t)}$${\displaystyle x'}$${\displaystyle \psi (x',t')}$${\displaystyle (x',t')}$${\displaystyle x'}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle K(x,t;x',t')}$

Таблица преобразований

Таблица интегральных преобразований

Преобразовать	Символ	K	f ( t )	т 1	т 2	К −1	u 1	u 2
Преобразование Абеля	F, F	${\displaystyle {\frac {2t}{\sqrt {t^{2}-u^{2}}}}}$		ты	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {-1}{\pi {\sqrt {u^{2}\!-\!t^{2}}}}}{\frac {d}{du}}}$ [4]	т	${\displaystyle \infty }$
Связанное преобразование Лежандра	${\displaystyle {\mathcal {J}}_{n,m}}$	${\displaystyle (1-x^{2})^{-m/2}P_{n}^{m}(x)}$		${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1}$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
преобразование Фурье	${\displaystyle {\mathcal {F}}}$	${\displaystyle e^{-2\pi iut}}$	${\displaystyle L_{1}}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle e^{2\pi iut}}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$
Преобразование синуса Фурье	${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(ut)}$	на , с реальной стоимостью${\displaystyle [0,\infty )}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(ut)}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
Косинусное преобразование Фурье	${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cos(ut)}$	на , с реальной стоимостью${\displaystyle [0,\infty )}$	0	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cos(ut)}$	0	${\displaystyle \infty }$
Преобразование Ганкеля		${\displaystyle t\,J_{\nu }(ut)}$		0	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle u\,J_{\nu }(ut)}$	0	${\displaystyle \infty }$
Преобразование Хартли	${\displaystyle {\mathcal {H}}}$	${\displaystyle {\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}}$		${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$
Преобразование Эрмита	${\displaystyle H}$	${\displaystyle e^{-x^{2}}H_{n}(x)}$		${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
Преобразование гильберта	${\displaystyle {\mathcal {H}}il}$	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}}$		${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$
Преобразование Якоби	${\displaystyle J}$	${\displaystyle (1-x)^{\alpha }\ (1+x)^{\beta }\ P_{n}^{\alpha ,\beta }(x)}$		${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1}$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
Преобразование Лагерра	${\displaystyle L}$	${\displaystyle e^{-x}\ x^{\alpha }\ L_{n}^{\alpha }(x)}$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
Преобразование Лапласа	${\displaystyle {\mathcal {L}}}$	e −ut		0	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {e^{ut}}{2\pi i}}}$	${\displaystyle c\!-\!i\infty }$	${\displaystyle c\!+\!i\infty }$
Преобразование Лежандра	${\displaystyle {\mathcal {J}}}$	${\displaystyle P_{n}(x)\,}$		${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1}$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
Преобразование Меллина	${\displaystyle {\mathcal {M}}}$	t u −1		0	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {t^{-u}}{2\pi i}}\,}$[5]	${\displaystyle c\!-\!i\infty }$	${\displaystyle c\!+\!i\infty }$
Двустороннее преобразование Лапласа	${\displaystyle {\mathcal {B}}}$	e −ut		${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {e^{ut}}{2\pi i}}}$	${\displaystyle c\!-\!i\infty }$	${\displaystyle c\!+\!i\infty }$
Ядро Пуассона		${\displaystyle {\frac {1-r^{2}}{1-2r\cos \theta +r^{2}}}}$		0	2π
Преобразование радона	Rƒ			${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$
Преобразование Вейерштрасса	${\displaystyle {\mathcal {W}}}$	${\displaystyle {\frac {e^{-{\frac {(u-t)^{2}}{4}}}}{\sqrt {4\pi }}}\,}$		${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {e^{\frac {(u-t)^{2}}{4}}}{i{\sqrt {4\pi }}}}}$	${\displaystyle c\!-\!i\infty }$	${\displaystyle c\!+\!i\infty }$

В пределах интегрирования для обратного преобразования c является константой, которая зависит от природы функции преобразования. Например, для одно- и двустороннего преобразования Лапласа c должно быть больше, чем наибольшая действительная часть нулей функции преобразования.

Обратите внимание, что существуют альтернативные обозначения и соглашения для преобразования Фурье.

Разные домены

Здесь интегральные преобразования определены для функций на действительных числах, но они могут быть определены в более общем плане для функций на группе.

• Если вместо этого использовать функции на окружности (периодические функции), ядра интегрирования будут бипериодическими функциями; свертка по функциям на окружности дает круговую свертку .
• Если использовать функции на циклической группе порядка n ( C _n или Z / n Z ), можно получить матрицы размера n × n в качестве ядер интегрирования; свертка соответствует циркулянтным матрицам .

Общая теория

Хотя свойства интегральных преобразований сильно различаются, у них есть некоторые общие свойства. Например, каждое интегральное преобразование является линейным оператором , поскольку интеграл является линейным оператором, и на самом деле, если ядру разрешено быть обобщенной функцией, тогда все линейные операторы являются интегральными преобразованиями (правильно сформулированная версия этого утверждения - это оператор Шварца. теорема о ядре ).

Общая теория таких интегральных уравнений известна как теория Фредгольма . В этой теории под ядром понимается компактный оператор, действующий в банаховом пространстве функций. В зависимости от ситуации ядро ​​затем по-разному называют оператором Фредгольма , ядерным оператором или ядром Фредгольма .

Смотрите также

использованная литература

дальнейшее чтение

• Полянин А.Д., Манжиров А.В., Справочник по интегральным уравнениям , CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN  0-8493-2876-4
• RKM Thambynayagam, The Diffusion Handbook: Applied Solutions for Engineers , McGraw-Hill, New York, 2011. ISBN 978-0-07-175184-1 
• «Интегральное преобразование» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Таблицы интегральных преобразований в EqWorld: The World of Mathematical Equations.