Сбалансированный тройной

Сбалансированная тройной является тройной система счисления (т.е. основание 3 с тремя цифрами ) , которая использует сбалансированное знаково-значное представление о целых числах , в которых цифры имеют значение -1 , 0 и 1 . Это контрастирует со стандартной (несбалансированной) троичной системой, в которой цифры имеют значения 0, 1 и 2. Сбалансированная троичная система может представлять все целые числа без использования отдельного знака минус ; значение первой ненулевой цифры числа имеет знак самого числа. В то время как двоичные числа с цифрами 0 и 1 обеспечивают простейшую позиционную систему счисления для натуральных чисел(или для положительных целых чисел, если в качестве цифр используются 1 и 2), сбалансированная троичная система обеспечивает простейшую автономную позиционную систему счисления ^{[ необходимо определение ]} для целых чисел . Сбалансированная троичная система является примером нестандартной позиционной системы счисления . Он использовался в некоторых ранних компьютерах ^[1], а также в некоторых решениях головоломок с балансом . ^[2]

В разных источниках используются разные глифы для представления трех цифр в сбалансированной троичной системе. В этой статье T (который напоминает лигатуру знака минус и 1) представляет -1 , а 0 и 1 представляют сами себя. Другие соглашения включают использование «-» и «+» для представления −1 и 1 соответственно или использование греческой буквы тета (Θ), которая напоминает знак минус в круге, для представления −1. В публикациях о компьютере Сетунь -1 представляется перевернутым 1: "1". ^[1]

Сбалансированная тройная система впервые появилась в книге Майкла Стифеля Arithmetica Integra (1544). ^[3] Это также встречается в работах Иоганна Кеплера и Леона Лаланна . Связанные схемы подписанных цифр в других базах обсуждались Джоном Колсоном , Джоном Лесли , Огюстэном-Луи Коши и, возможно, даже древними индийскими Ведами . ^[2]

Определение [ править ]

Позвольте обозначить набор символов (также называемых глифами или символами ) , где символ иногда используется вместо Определить целочисленную функцию с помощью ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {3}}$${\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {3} = \ lbrace \ operatorname {T}, 0,1 \ rbrace}$${\ displaystyle {\ bar {1}}}$${\ displaystyle \ operatorname {T}.}$${\ displaystyle f = f _ {{\ mathcal {D}} _ {3}} ~: ~ {\ mathcal {D}} _ {3} \ to \ mathbb {Z}}$

${\ displaystyle f _ {} (\ operatorname {T}) = - 1,}$

${\displaystyle f_{}(0)=0,}$^{[примечание 1]} и

${\displaystyle f_{}(1)=1}$

где правые части - целые числа с их обычными (десятичными) значениями. Эта функция строго и формально устанавливает, как целочисленные значения присваиваются символам / глифам. Одним из преимуществ этого формализма является то, что определение «целых чисел» (как бы они ни определялись) не связано с какой-либо конкретной системой записи / представляя их; таким образом, эти две различные (хотя и тесно связанные) концепции сохраняются отдельно. ${\displaystyle f_{},}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{3}.}$

Набор вместе с функцией образует сбалансированное представление цифр со знаком, называемое сбалансированной троичной системой. Его можно использовать для представления целых и действительных чисел. ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{3}}$${\displaystyle f_{}}$

Тернарное целочисленное вычисление [ править ]

Пусть будет Клини плюс из , что множество всех конечной длины конкатенированных строка из одного или более символов ( так называемая его цифры ) , где представляет собой неотрицательное целое число , а все цифры взяты из The старта из символа (справа ), ее конец находится (слева), а его длина составляет . Тройная оценка является функция определяется путем присваивания каждой строке целого числа ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{3}^{+}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{3}}$ ${\displaystyle d_{n}\ldots d_{0}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle d_{n},\ldots ,d_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{3}=\lbrace \operatorname {T} ,0,1\rbrace .}$${\displaystyle d_{n}\ldots d_{0}}$${\displaystyle d_{0}}$${\displaystyle d_{n}}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle v=v_{3}~:~{\mathcal {D}}_{3}^{+}\to \mathbb {Z} }$${\displaystyle d_{n}\ldots d_{0}\in {\mathcal {D}}_{3}^{+}}$

${\displaystyle v\left(d_{n}\ldots d_{0}\right)~=~\sum _{i=0}^{n}f_{}\left(d_{i}\right)3^{i}.}$

Строка представляет (по отношению ) целое число. В качестве альтернативы значение может быть обозначено как Карта является сюръективной, но не инъективной, поскольку, например , каждое целое число имеет ровно одно представление, под которым не заканчивается (слева) символ т.е.${\displaystyle d_{n}\ldots d_{0}}$ ${\displaystyle v}$${\displaystyle v\left(d_{n}\ldots d_{0}\right).}$${\displaystyle v\left(d_{n}\ldots d_{0}\right)}$${\displaystyle {d_{n}\ldots d_{0}}_{\operatorname {bal} 3}.}$${\displaystyle v:{\mathcal {D}}_{3}^{+}\to \mathbb {Z} }$${\displaystyle 0=v(0)=v(00)=v(000)=\cdots .}$${\displaystyle v}$${\displaystyle 0,}$${\displaystyle d_{n}=0.}$

Если и затем удовлетворяет:${\displaystyle d_{n}\ldots d_{0}\in {\mathcal {D}}_{3}^{+}}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle v\left(d_{n}d_{n-1}\ldots d_{0}\right)~=~f_{}\left(d_{n}\right)3^{n}+v\left(d_{n-1}\ldots d_{0}\right)}$

что показывает, что удовлетворяет своего рода рекуррентному соотношению . Это рекуррентное отношение имеет три начальных условия, по одному для каждого, где Явно они есть и${\displaystyle v}$${\displaystyle d\in {\mathcal {D}}_{3},}$${\displaystyle v\left(d\right)=f_{}\left(d\right)\,3^{0}=f_{}\left(d\right).}$${\displaystyle v\left(\operatorname {T} \right)=-1,}$ ${\displaystyle v\left(0\right)=0,}$${\displaystyle v\left(1\right)=1.}$

Это означает, что для каждой строки ${\displaystyle d_{n}\ldots d_{0}\in {\mathcal {D}}_{3}^{+},}$

${\displaystyle v\left(0d_{n}\ldots d_{0}\right)=v\left(d_{n}\ldots d_{0}\right)}$

что на словах говорит о том, что ведущие символы (слева в строке из 2 или более символов) не влияют на результирующее значение. ${\displaystyle 0}$

В следующих примерах показано, как можно вычислить некоторые значения , где (как и раньше) все целые числа записываются в десятичной системе счисления (основание 10), а все элементы являются просто символами. ${\displaystyle v}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{3}^{+}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{10}v\left(\operatorname {T} \operatorname {T} \right)&=&&f_{}\left(\operatorname {T} \right)3^{1}+&&f_{}\left(\operatorname {T} \right)3^{0}&&=&&(-1)&&3&&\,+\,&&(-1)&&1&&=-4\\v\left(\operatorname {T} 1\right)&=&&f_{}\left(\operatorname {T} \right)3^{1}+&&f_{}\left(1\right)3^{0}&&=&&(-1)&&3&&\,+\,&&(1)&&1&&=-2\\v\left(1\operatorname {T} \right)&=&&f_{}\left(1\right)3^{1}+&&f_{}\left(\operatorname {T} \right)3^{0}&&=&&(1)&&3&&\,+\,&&(-1)&&1&&=2\\v\left(11\right)&=&&f_{}\left(1\right)3^{1}+&&f_{}\left(1\right)3^{0}&&=&&(1)&&3&&\,+\,&&(1)&&1&&=4\\v\left(1\operatorname {T} 0\right)&=f_{}\left(1\right)3^{2}+&&f_{}\left(\operatorname {T} \right)3^{1}+&&f_{}\left(0\right)3^{0}&&=(1)9\,+\,&&(-1)&&3&&\,+\,&&(0)&&1&&=6\\v\left(10\operatorname {T} \right)&=f_{}\left(1\right)3^{2}+&&f_{}\left(0\right)3^{1}+&&f_{}\left(\operatorname {T} \right)3^{0}&&=(1)9\,+\,&&(0)&&3&&\,+\,&&(-1)&&1&&=8\\\end{alignedat}}}$

и используя указанное выше рекуррентное соотношение

${\displaystyle v\left(101\operatorname {T} \right)=f_{}\left(1\right)3^{3}+v\left(01\operatorname {T} \right)=(1)27+v\left(1\operatorname {T} \right)=27+2=29.}$

Преобразование в десятичное [ править ]

В сбалансированной троичной системе значение цифры на n знаков слева от точки счисления является произведением цифры и 3 ⁿ . Это полезно при преобразовании между десятичными и сбалансированными троичными числами. Далее в строках, обозначающих сбалансированную троичную систему, присутствует суффикс bal3 . Например,

10 _бал3 = 1 × 3 ¹ + 0 × 3 ⁰ = 3 ₁₀

10ᴛ _bal3 = 1 × 3 ² + 0 × 3 ¹ + (−1) × 3 ⁰ = 8 ₁₀

−9 ₁₀ = −1 × 3 ² + 0 × 3 ¹ + 0 × 3 ⁰ = ᴛ00 _bal3

8 ₁₀ = 1 × 3 ² + 0 × 3 ¹ + (−1) × 3 ⁰ = 10ᴛ _bal3

Аналогично, первое место справа от точки счисления занимает 3 ⁻¹ =1/3, на втором месте 3 ⁻² =1/9, и так далее. Например,

-2/3₁₀ = -1 +1/3= −1 × 3 ⁰ + 1 × 3 ⁻¹ = ᴛ.1 _bal3 .

Декабрь	Bal3	Расширение		Декабрь	Bal3	Расширение
0	0	0
1	1	+1		−1	ᴛ	−1
2	1ᴛ	+ 3−1		−2	ᴛ1	−3 + 1
3	10	+3		−3	ᴛ0	−3
4	11	+ 3 + 1		−4	ᴛᴛ	−3−1
5	1ᴛᴛ	+ 9−3−1		−5	ᴛ11	−9 + 3 + 1
6	1ᴛ0	+ 9−3		−6	ᴛ10	−9 + 3
7	1ᴛ1	+ 9−3 + 1		−7	ᴛ1ᴛ	−9 + 3−1
8	10ᴛ	+ 9−1		−8	ᴛ01	−9 + 1
9	100	+9		−9	ᴛ00	−9
10	101	+ 9 + 1		−10	ᴛ0ᴛ	−9−1
11	11ᴛ	+ 9 + 3−1		−11	ᴛᴛ1	−9−3 + 1
12	110	+ 9 + 3		−12	ᴛᴛ0	−9−3
13	111	+ 9 + 3 + 1		−13	ᴛᴛᴛ	−9−3−1

Целое число делится на три тогда и только тогда, когда цифра в разряде единиц равна нулю.

Мы можем проверить четность сбалансированного троичного целого числа, проверив четность суммы всех тритов . Эта сумма имеет ту же четность, что и само целое число.

Сбалансированная троичная система также может быть расширена до дробных чисел, подобно тому, как десятичные числа записываются справа от точки счисления . ^[4]

Десятичный	-0,9	-0,8	−0,7	−0,6	−0,5	-0,4	-0,3	-0,2	-0,1	0
Сбалансированный троичный	ᴛ. 010ᴛ	ᴛ. 1ᴛᴛ1	ᴛ. 10ᴛ0	ᴛ. 11ᴛᴛ	0. ᴛ или ᴛ. 1	0. ᴛᴛ11	0. ᴛ010	0. ᴛ11ᴛ	0. 0ᴛ01	0
Десятичный	0,9	0,8	0,7	0,6	0,5	0,4	0,3	0,2	0,1	0
Сбалансированный троичный	1. 0ᴛ01	1. ᴛ11ᴛ	1. ᴛ010	1. ᴛᴛ11	0. 1 или 1. ᴛ	0. 11ᴛᴛ	0. 10ᴛ0	0. 1ᴛᴛ1	0. 010ᴛ	0

В десятичном или двоичном формате целочисленные значения и завершающие дроби имеют несколько представлений. Например,1/10= 0,1 = 0,1 0 = 0,0 9 . И,1/2= 0,1 ₂ = 0,1 0 ₂ = 0,0 1 ₂ . Некоторые сбалансированные троичные дроби также имеют несколько представлений. Например,1/6= 0,1 ᴛ _bal3 = 0,0 1 _bal3 . Конечно, в десятичной и двоичной системе счисления мы можем опустить крайние правые конечные бесконечные нули после точки счисления и получить представление целого числа или завершающей дроби. Но в сбалансированной троичной системе мы не можем опустить крайнюю правую конечную конечную цифру −1 после точки счисления, чтобы получить представление целого числа или конечной дроби.

Дональд Кнут ^[5] указал, что усечение и округление - это одна и та же операция в сбалансированной троичной системе - они дают точно такой же результат (свойство, разделяемое с другими сбалансированными системами счисления). Номер1/2не является исключительным; она имеет две одинаково действительные представления, и два равноправных усечения: 0. 1 (круглые 0, и усечь до 0) и 1. ᴛ (круглый 1, а отсечение на 1). С нечетным поразрядным , дважды округление также эквивалентно непосредственно округлением до конечной точности, в отличии от равномерных поразрядного.

Основные операции - сложение, вычитание, умножение и деление - выполняются как в обычной троичной системе. Умножение на два может быть выполнено путем прибавления числа к самому себе или вычитания самого себя после сдвига влево.

Арифметический сдвиг влево сбалансированного троичного числа эквивалентен умножению на (положительную, целую) степень числа 3; а арифметический сдвиг вправо сбалансированного троичного числа эквивалентен делению на (положительную, целую) степень числа 3.

Преобразование в дробь и обратно [ править ]

Дробная часть	Сбалансированный тройной			Дробная часть	Сбалансированный тройной
1	1			1/11	0. 01ᴛ11
1/2	0. 1	1. ᴛ		1/12	0,0 1ᴛ
1/3	0,1			1/13	0. 01ᴛ
1/4	0. 1ᴛ			1/14	0. 01ᴛ0ᴛ1
1/5	0. 1ᴛᴛ1			1/15	0,0 1À1
1/6	0,0 1	0,1 ᴛ		1/16	0. 01ᴛᴛ
1/7	0. 0110ᴛᴛ			1/17	0. 01ᴛᴛᴛ10ᴛ0ᴛ111ᴛ01
1/8	0. 01			1/18	0,00 1	0,01 ᴛ
1/9	0,01			1/19	0. 00111ᴛ10100ᴛᴛᴛ1ᴛ0ᴛ
1/10	0. 010ᴛ			1/20	0. 0011

Преобразование повторяющегося сбалансированного троичного числа в дробь аналогично преобразованию повторяющегося десятичного числа . Например (из-за 111111 _bal3 = (3 ⁶ - 1/3 - 1) ₁₀ ):

${\displaystyle 0.1{\overline {\mathrm {110TT0} }}={\tfrac {\mathrm {1110TT0-1} }{\mathrm {111111\times 1T\times 10} }}={\tfrac {\mathrm {1110TTT} }{\mathrm {111111\times 1T0} }}={\tfrac {\mathrm {111\times 1000T} }{\mathrm {111\times 1001\times 1T0} }}={\tfrac {\mathrm {1111\times 1T} }{\mathrm {1001\times 1T0} }}={\tfrac {1111}{10010}}={\tfrac {\mathrm {1T1T} }{\mathrm {1TTT0} }}={\tfrac {101}{\mathrm {1T10} }}}$

Иррациональные числа [ править ]

Как и в любой другой базе целых чисел, алгебраические иррациональные и трансцендентные числа не заканчиваются и не повторяются. Например:

${\displaystyle {\begin{array}{r|l}{\text{Decimal}}&{\text{Balanced ternary}}\\\hline {\sqrt {2}}=1.4142135623731\ldots &{\sqrt {\mathrm {1T} }}=\mathrm {1.11T1TT00T00T01T0T00T00T01TT\ldots } \\{\sqrt {3}}=1.7320508075689\ldots &{\sqrt {\mathrm {10} }}=\mathrm {1T.T1TT10T0000TT1100T0TTT011T0\ldots } \\{\sqrt {5}}=2.2360679774998\ldots &{\sqrt {\mathrm {1TT} }}=\mathrm {1T.1T0101010TTT1TT11010TTT01T1\ldots } \\\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.6180339887499\ldots &\varphi ={\frac {1+{\sqrt {\mathrm {1TT} }}}{\mathrm {1T} }}=\mathrm {1T.T0TT01TT0T10TT11T0011T10011\ldots } \\\tau =6.28318530717959\ldots &\tau =\mathrm {1T0.10TT0T1100T110TT0T1TT000001} \ldots \\\pi =3.14159265358979\ldots &\pi =\mathrm {10.011T111T000T011T1101T111111} \ldots \\e=2.71828182845905\ldots &e=\mathrm {10.T0111TT0T0T111T0111T000T11T} \ldots \end{array}}}$

Сбалансированные тройные расширения представлены в OEIS как A331313 , а в A331990 .${\displaystyle \pi }$${\displaystyle e}$

Преобразование из троичного [ править ]

Несбалансированную троичную систему можно преобразовать в сбалансированную троичную систему двумя способами:

• Добавьте 1 тритт за тритоном из первого ненулевого тритта с переносом, а затем вычтите 1 тритт за тритоном из того же тритта без заимствования. Например,

  021 ₃ + 11 ₃ = 102 ₃ , 102 ₃ - 11 ₃ = 1T1 _bal3 = 7 ₁₀ .

• Если 2 присутствует в тройном, превратите его в 1T. Например,

  0212 ₃ = 0010 _bal3 + 1T00 _bal3 + 001T _bal3 = 10TT _bal3 = 23 ₁₀

Сбалансированный	Логика	Без подписи
1	Истинный	2
0	Неизвестный	1
Т	Ложь	0

Если три значения тернарной логики являются ложными , неизвестными и истинными , и они отображаются в сбалансированную троичную систему как T, 0 и 1 и на обычные тернарные значения без знака как 0, 1 и 2, тогда сбалансированная троичная система может рассматриваться как смещенное число. система аналогична двоичной системе смещения . Если троичное число имеет n тритов, то смещение b равно

${\displaystyle b=\left\lfloor {\frac {3^{n}}{2}}\right\rfloor }$

который представлен как все в общепринятой или предвзятой форме. ^[6]

В результате, если эти два представления используются для сбалансированных и беззнаковых троичных чисел, положительное тройное значение без знака n -trit может быть преобразовано в сбалансированную форму путем добавления смещения b, а положительное сбалансированное число может быть преобразовано в форму без знака путем вычитания предвзятость b . Кроме того, если x и y являются сбалансированными числами, их сбалансированная сумма равна x + y - b при вычислении с использованием традиционной тернарной арифметики без знака. Точно так же, если x и y - обычные тернарные числа без знака, их сумма равна x + y + b. при вычислении с использованием сбалансированной троичной арифметики.

Преобразование в сбалансированную троицу из любой целочисленной базы [ править ]

Мы можем преобразовать в сбалансированную троичную систему по следующей формуле:

${\displaystyle \left(a_{n}a_{n-1}\cdots a_{1}a_{0}.c_{1}c_{2}c_{3}\cdots \right)_{b}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b^{k}+\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}b^{-k}.}$

куда,

а _н а _{п −1} ... а ₁ а ₀ . c ₁ c ₂ c ₃ ... - исходное представление в исходной системе счисления.

b - исходная система счисления. b равно 10 при преобразовании из десятичного числа.

a _k и c _k - цифры k слева и справа от точки счисления соответственно.

Например,

−25,4 10 = - (1T × 101 1 + 1TT × 101 0 + 11 × 101 −1 ) = - (1T × 101 + 1TT + 11 ÷ 101) = −10T1. 11TT = T01T. TT11

1010,1 2 = 1T 10 + 1T 1 + 1T -1 = 10T + 1T + 0. 1 = 101. 1

Сложение, вычитание, умножение и деление [ править ]

Таблицы простого сложения, вычитания, умножения и деления показаны ниже. Для вычитания и деления, которые не являются коммутативными , первый операнд указывается слева от таблицы, а второй - вверху. Например, ответ на 1 - T = 1T находится в нижнем левом углу таблицы вычитания.

Добавление + Т 0 1 Т T1 Т 0 0 Т 0 1 1 0 1 1T

Вычитание - Т 0 1 Т 0 Т T1 0 1 0 Т 1 1T 1 0

Умножение × Т 0 1 Т 1 0 Т 0 0 0 0 1 Т 0 1

Разделение ÷ Т 1 Т 1 Т 0 0 0 1 Т 1

Сложение и вычитание мульти-трит [ править ]

Многоточечное сложение и вычитание аналогично двоичному и десятичному. Добавляйте и вычитайте трение за трением и соответствующим образом прибавляйте переносимость. Например:

 1TT1TT.1TT1 1TT1TT.1TT1 1TT1TT.1TT1 1TT1TT.1TT1 + 11T1.T - 11T1.T - 11T1.T → + TT1T.1 ______________ ______________ _______________ 1T0T10.0TT1 1T1001.TTT1 1T1001.TTT1 + 1Т + Т Т1 + ТТ ______________ ________________ ________________ 1T1110.0TT1 1110TT.TTT1 1110TT.TTT1 + Т + Т 1 + Т 1 ______________ ________________ ________________ 1T0110.0TT1 1100T.TTT1 1100T.TTT1

Многоточечное умножение [ править ]

Многоточечное умножение аналогично двоичному и десятичному умножению.

 1TT1.TT × T11T.1 _____________ 1TT.1TT умножить на 1 T11T.11 умножить T 1TT1T.T умножить 1 1TT1TT умножить на 1 T11T11 умножить T _____________ 0T0000T.10T

Многоточечное деление [ править ]

Сбалансированное троичное деление аналогично двоичному и десятичному делению.

Однако 0,5 ₁₀ = 0,1111 ... _bal3 или 1.TTTT ... _bal3 . Если дивиденд превышает делитель плюс или минус половины, дробь частного должна быть 1 или T. Если дивиденд находится между плюсом и минусом половины делителя, дробь частного равна 0. Величина делимого должна быть сравнивать с половиной делителя перед установкой частного trit. Например,

 1TT1.TT частное0,5 × делитель T01.0 _____________  делитель T11T.1) T0000T.10T дивиденд  T11T1 T000 <T010, набор 1 _______ 1T1T0 1TT1T 1T1T0> 10T0, установите T  _______ 111T 1TT1T 111T> 10T0, установить T _______ T00.1 T11T.1 T001 <T010, набор 1 ________ 1T1.00 1TT.1T 1T100> 10T0, установите T ________ 1Т.Т1Т 1T.T1T 1TT1T> 10T0, установите T ________ 0

Другой пример,

 1TTT 0,5 × делитель 1Т _______ Делитель 11) 1T01T 1T = 1T, но 1T.01> 1T, установите 1 11 _____ T10 T10 <T1, установите T TT ______ T11 T11 <T1, установить T TT ______ TT TT <T1, установить T TT ____ 0

Другой пример,

 101.TTTTTTTTT…  или 100.111111111…  0,5 × делитель 1Тл _________________ делитель 11) 111T 11> 1T, набор 1 11 _____ 1 T1 <1 <1T, установить 0 ___ 1T 1T = 1T, trits end, установить 1.TTTTTTTTT… или 0,111111111…

Квадратные корни и кубические корни [ править ]

Процесс извлечения квадратного корня из сбалансированной троичной системы аналогичен процессу извлечения из десятичной или двоичной системы.

${\displaystyle (10\cdot x+y)^{\mathrm {1T} }-100\cdot x^{\mathrm {1T} }=\mathrm {1T0} \cdot x\cdot y+y^{\mathrm {1T} }={\begin{cases}\mathrm {T10} \cdot x+1,&y=\mathrm {T} \\0,&y=0\\\mathrm {1T0} \cdot x+1,&y=1\end{cases}}}$

Как и при делении, мы должны сначала проверить значение половины делителя. Например,

 1. 1 1 T 1 TT 0 0 ...  _________________________ √ 1T 1 <1T <11, установить 1 - 1 _____ 1 × 10 = 10 1,0T 1,0T> 0,10, набор 1 1T0 −1.T0 ________ 11 × 10 = 110 1T0T 1T0T> 110, набор 1 10T0 −10T0 ________ 111 × 10 = 1110 T1T0T T1T0T <TTT0, установить T 100T0 -T0010 _________ 111T × 10 = 111T0 1TTT0T 1TTT0T> 111T0, набор 1 10T110 −10T110 __________ 111T1 × 10 = 111T10 TT1TT0T TT1TT0T <TTT1T0, установить T 100TTT0 -T001110 ___________ 111T1T × 10 = 111T1T0 T001TT0T T001TT0T <TTT1T10, установить T 10T11110 -T01TTTT0 ____________ 111T1TT × 10 = 111T1TT0 T001T0T TTT1T110 <T001T0T <111T1TT0, установить 0 - T Возврат 1 ___________ 111T1TT0 × 10 = 111T1TT00 T001T000T TTT1T1100 <T001T000T <111T1TT00, установить 0 - T Возврат 1 _____________ 111T1TT00 * 10 = 111T1TT000 T001T00000T ... 

Извлечение кубического корня в сбалансированной троичной системе аналогично извлечению в десятичной или двоичной системе:

${\displaystyle (10\cdot x+y)^{10}-1000\cdot x^{10}=y^{10}+1000\cdot x^{\mathrm {1T} }\cdot y+100\cdot x\cdot y^{\mathrm {1T} }={\begin{cases}\mathrm {T} +\mathrm {T000} \cdot x^{\mathrm {1T} }+100\cdot x,&y=\mathrm {T} \\0,&y=0\\1+1000\cdot x^{\mathrm {1T} }+100\cdot x,&y=1\end{cases}}}$

Как и при делении, мы должны сначала проверить значение половины делителя. Например:

 1. 1 Т 1 0 ...  _____________________ ³√ 1Т - 1 1 <1T <10T, установите 1 _______ 1.000 1 × 100 = 100 −0,100 заимствовать 100 ×, делить _______ 1TT 1.T00 1T00> 1TT, набор 1 1 × 1 × 1000 + 1 = 1001 -1,001 __________ T0T000 11 × 100 - 1100 заимствовать 100 ×, делить деление _________ 10T000 TT1T00 TT1T00 <T01000, установите T 11 × 11 × 1000 + 1 = 1TT1001 -T11T00T ____________ 1TTT01000 11T × 100 - 11T00 взять 100 ×, сделать деление ___________ 1T1T01TT 1TTTT0100 1TTTT0100> 1T1T01TT, набор 1 11Т × 11Т × 1000 + 1 = 11111001 - 11111001 ______________ 1Т10Т000 11Т1 × 100 - 11Т100 заимствовать 100 ×, делить деление __________ 10T0T01TT 1T0T0T00 T01010T11 <1T0T0T00 <10T0T01TT, установите 0 11T1 × 11T1 × 1000 + 1 = 1TT1T11001 - TT1T00 возврат 100 × _____________ 1T10T000000 ... 

Следовательно, ³ √ 2 = 1,259921 ₁₀ = 1,1T1 000 111001 T01 00T 1T1 T10 111 _bal3 .

Приложения [ править ]

В компьютерном дизайне [ править ]

На заре вычислений несколько экспериментальных советских компьютеров были построены со сбалансированным троичным вместо двоичного, самым известным из которых был Сетунь , построенный Николаем Брусенцовым и Сергеем Соболевым . Обозначение имеет ряд вычислительных преимуществ перед традиционными двоичными и троичными. В частности, согласованность «плюс-минус» снижает скорость переноса при многозначном умножении, а эквивалентность округления-усечения снижает скорость переноса при округлении дробей. В сбалансированной троичной системе однозначная таблица умножения остается однозначной и не имеет переноса, а таблица сложения имеет только два переноса из девяти записей, по сравнению с несбалансированной троичной с одной и тремя соответственно.

«Сложность арифметической схемы для сбалансированной троичной арифметики не намного больше, чем для двоичной системы, и для данного числа требуется ровно столько позиций цифр для его представления». ^[5] «Возможно, симметричные свойства и простая арифметика этой системы счисления однажды окажутся весьма важными». ^[5]${\displaystyle \log _{3}2\approx 63\%}$

Другие приложения [ править ]

Теорема о том, что каждое целое число имеет уникальное представление в сбалансированной троичной системе, была использована Леонардом Эйлером для обоснования тождества формальных степенных рядов ^[7]

${\displaystyle \prod _{n=0}^{\infty }\left(x^{-3^{n}}+1+x^{3^{n}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{n}.}$

У сбалансированной троичной системы есть и другие приложения помимо вычислений. Например, классические весы с двумя чашами , с одним гирем для каждой степени 3, могут точно взвешивать относительно тяжелые предметы с небольшим количеством гирь, перемещая гири между двумя чашами и столом. Например, с грузами для каждой степени от 3 до 81, 60-граммовый объект (60 ₁₀ = 1T1T0 _bal3 ) будет идеально сбалансирован с 81-граммовым грузом на другой чаше, 27-граммовым грузом на своей собственной чаше, 9 грамм веса в другой кастрюле, 3 грамма в отдельной кастрюле и 1 грамм отложите.

Аналогичным образом рассмотрим валютную систему с монетами достоинством 1¤, 3¤, 9¤, 27¤, 81¤. Если у покупателя и продавца есть только по одной монете каждого вида, возможна любая транзакция до 121¤. Например, если цена 7¤ (7 ₁₀ = 1T1 _bal3 ), покупатель платит 1¤ + 9¤ и получает 3¤ сдачей.

Они также могут обеспечить более естественное представление кутрита и систем, которые его используют.

См. Также [ править ]

• Методы вычисления квадратных корней
• Система счисления
• Qutrit
• Таблетка салями
• Тернарный компьютер
  • Сетунь , троичный компьютер
• Тернарная логика

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме сбалансированный троичный .

• Разработка троичных компьютеров в МГУ
• Представление дробных чисел в сбалансированной троичной системе
• «Третья основа» , троичная и сбалансированная троичная системы счисления
• Сбалансированная троичная система счисления (включает десятичное целое в сбалансированный троичный преобразователь)
• Последовательность OEIS A182929 (биномиальный треугольник, приведенный к сбалансированным троичным спискам)
• Сбалансированная (подписанная) троичная нотация Брайана Дж. Шелбурна (файл PDF)
• Тернарная вычислительная машина Томаса Фаулера Марка Глускера