Смешанная система счисления

Системы счисления со смешанным основанием - это нестандартные позиционные системы счисления, в которых числовое основание меняется от позиции к позиции. Такое числовое представление применяется, когда величина выражается с помощью последовательности единиц, каждая из которых кратна следующей меньшей, но не в одном и том же множителе. Такие единицы распространены, например, при измерении времени; время в 32 недели, 5 дней, 7 часов, 45 минут, 15 секунд и 500 миллисекунд может быть выражено как количество минут в нотации со смешанным основанием:

... 32, 5, 7, 45; 15, 500... ∞, 7, 24, 60; 60, 1000

или как

32 _∞ 5 ₇ 7 ₂₄ 45 ₆₀ 0,15 ₆₀ 500 ₁₀₀₀

В табличном формате цифры пишутся над их основанием, а точка с запятой указывает точку счисления . В формате цифра, каждая цифра имеет связанное с ним основание , прикрепленным в качестве индекса, а точка Radix отмечена полной остановкой или периода . Основанием для каждой цифры является количество соответствующих единиц, составляющих следующую большую единицу. Как следствие, отсутствует база (записанная как ∞) для первой (наиболее значащей) цифры, поскольку здесь не существует «следующей большей единицы» (и обратите внимание, что нельзя добавить большую единицу «месяц» или «год». «к последовательности единиц, так как они не являются целыми числами, кратными« неделе »).

Примеры [ править ]

Самый известный пример систем со смешанным основанием - хронометраж и календари. Западная система корней времени включает десятичные века, десятилетия и годы, а также двенадцатеричные месяцы, тридесятеричные (и не десятичные и (для февраля) восьмеричные и эннеавигативные) дни, перекрытые с двумя десятичными десятичными неделями и семеричными днями. В одном варианте используются трехзначные месяцы, четвертичные недели и семеричные дни. Далее время делится на четырехзначные часы, шестидесятеричные минуты и секунды, а затем на их десятичные дроби.

Стандартная форма для дат - 2021-04-10 16:31:15, которая в этом определении будет представлять собой смешанное число с основанием системы счисления, но отличается, поскольку количество дней в месяце варьируется для каждого месяца и в високосные годы.

Для смешанной системы счисления с основанием системы счисления часто полезно использовать сводную таблицу. Система описания 604800 секунд недели, начиная с полуночи воскресенья, работает следующим образом:

В этой системе счисления смешанное число с основанием 3 ₇ 17 ₂₄ 51 ₆₀ 57 ₆₀ секунд будет интерпретироваться как 17:51:57 в среду, а 0 ₇ 0 ₂₄ 02 ₆₀ 24 ₆₀ будет в 00:02:24 в воскресенье. Специальные обозначения для смешанных систем счисления счисления являются обычным явлением.

Календарь Майя состоит из нескольких перекрывающихся циклов различных корешков. Короткий граф Tzolk'in перекрывается состоящим из двадцати частей названных дней с tridecimal пронумерованных дней. Хааб» состоит из двадцатеричных дней, octodecimal месяцев и базовых 52 лет , образуя круг . Кроме того, длинный счет в двадцатеричные дни, octodecimal winal , а затем разделенном на двадцать части чана , k'atun , b'ak'tun и т.д. отслеживает исторические даты.

Второй пример используемой в настоящее время смешанной системы счисления с основанием системы счисления - это дизайн и использование валюты , когда ограниченный набор номиналов печатается или чеканится с целью представления любой денежной суммы; количество денег тогда представлено количеством монет или банкнот каждого достоинства. При принятии решения, какие достоинства создавать (и, следовательно, какие корни смешивать), стремятся к компромиссу между минимальным количеством различных номиналов и минимальным количеством отдельных монет, необходимых для представления типичных количеств. Так, например, в Великобритании банкноты печатаются по цене 50, 20, 10 и 5 фунтов стерлингов, а монеты чеканиваются по цене 2 фунта стерлингов, 1 фунт стерлингов, 50 пенсов, 20 пенсов, 10 пенсов, 5 пенсов, 2 пенни и 1 пенни. в1-2-5 рядов предпочтительных значений .

До десятичной системы денежные суммы в Великобритании описывались в фунтах, шиллингах и пенах, из расчета 12 пенсов за шиллинг и 20 шиллингов за фунт, так что, например, «1 7 шиллингов 6 пенсов» соответствовали смешанной системе счисления. цифра 1 _∞ 7 ₂₀ 6 ₁₂ .

Обычные единицы измерения в Соединенных Штатах - это, как правило, системы счисления с разным основанием, с множителями, изменяющимися от одной единицы размера к другой так же, как и единицы времени.

Представление со смешанным основанием также актуально для версий алгоритма БПФ Кули-Тьюки со смешанным основанием , в котором индексы входных значений расширяются в представлении со смешанным основанием, индексы выходных значений расширяются в соответствующем смешанном виде Радиксное представление с обратным порядком оснований и цифр, и каждое частичное преобразование можно рассматривать как преобразование Фурье в одну цифру для всех значений остальных цифр.

Манипуляции [ править ]

Числа со смешанным основанием с одной и той же базой можно обрабатывать, используя обобщение ручных арифметических алгоритмов. Преобразование значений из одной смешанной базы в другую легко выполнить, сначала преобразуя значения разряда одной системы в другую, а затем применяя цифры из одной системы к ним.

APL и J включают операторы для преобразования в системы со смешанным основанием и обратно.

Факториальная система счисления [ править ]

Еще одно предложение - так называемая факториальная система счисления:

Например, наибольшее число, которое может быть представлено шестью цифрами, будет 543210, что равно 719 в десятичной системе : 5 × 5! + 4 × 4! + 3 × 3! + 2 × 2! + 1 × 1! На первый взгляд это может быть неясно, но факториальная система нумерации однозначна и полна. Каждое число может быть представлено одним и только одним способом, потому что сумма соответствующих факториалов, умноженная на индекс, всегда равна следующему факториалу за вычетом единицы:

${\ displaystyle \ sum _ {я = 0} ^ {n} (([i + 1] +1) -1) \ cdot ([i] +1)! = ([n + 1] +1)! - 1}$

Между целыми числами 0, ..., n существует естественное отображение ! - 1 и перестановки из п элементов в лексикографическом порядке, в котором используется факторное представление целого числа, а затем интерпретации в качестве кода Лемера .

Вышеприведенное уравнение является частным случаем следующего общего правила для любого базового представления с основанием системы счисления (стандартного или смешанного), которое выражает тот факт, что любое базовое представление счисления (стандартное или смешанное) является однозначным и полным. Каждое число может быть представлено одним и только одним способом, потому что сумма соответствующих весов, умноженная на индекс, всегда равна следующему весу минус один:

${\ displaystyle \ sum _ {я = 0} ^ {n} (m_ {i + 1} -1) \ cdot M_ {i} = M_ {n + 1} -1}$, где ,${\ displaystyle M_ {i} = \ prod _ {j = 1} ^ {i} m_ {j}, m_ {j}> 1, M_ {0} = 1}$

что легко доказать с помощью математической индукции .

Первоначальная система счисления [ править ]

Другое предложение - это система счисления с последовательными простыми числами в качестве основания, разряды которых являются первичными числами:

${\ displaystyle \ sum _ {я = 0} ^ {n} (p_ {i + 1} -1) \ cdot p_ {i} \ # = p_ {n + 1} \ # - 1}$где , и p _j = j- ^е простое число, p ₀ # = p ₀ = 1.${\ displaystyle p_ {i} \ # = \ prod _ {j = 1} ^ {i} p_ {j}}$

Ссылки [ править ]

• Дональд Кнут . Искусство программирования , Том 2: получисловые алгоритмы , третье издание. Аддисон-Уэсли, 1997. ISBN  0-201-89684-2 . Страницы 65–66, 208–209 и 290.
• Георг Кантор . Über einfache Zahlensysteme , Zeitschrift für Math. und Physik 14 (1869), 121–128.
• Первоначальная система счисления в Он-лайн энциклопедии целочисленных последовательностей

Внешние ссылки [ править ]

• Калькулятор смешанных оснований - калькулятор смешанных оснований в C #