Четвертичная мнимая база

Кватер-воображаемая система счисления была впервые предложена Дональдом Кнута в 1960 г. Это нестандартная позиционная система счисления , которая использует мнимое число 2 I в качестве своей базы . Он может ( почти ) однозначно представить каждое комплексное число, используя только цифры 0, 1, 2 и 3. ^[1] (Числа меньше нуля, которые обычно обозначаются знаком минус, могут быть представлены как строки цифр в четвертичном формате. -мнимый; например, число -1 представлено как "103" в четвертичной мнимой нотации.)

Разложите четвертичное воображаемое [ править ]

${\ displaystyle \ ldots d_ {3} d_ {2} d_ {1} d_ {0} .d _ {- 1} d _ {- 2} d _ {- 3} \ ldots}$ средства

${\ Displaystyle \ ldots + d_ {3} \ cdot b ^ {3} + d_ {2} \ cdot b ^ {2} + d_ {1} \ cdot b + d_ {0} + d _ {- 1} \ cdot b ^ {- 1} + d _ {- 2} \ cdot b ^ {- 2} + d _ {- 3} \ cdot b ^ {- 3} \ ldots}$

${\ displaystyle b = 2i}$.

как мы знаем,

${\ displaystyle (2i) ^ {2} = - 4}$.

так,

${\ displaystyle \ ldots + d_ {3} \ cdot (2i) ^ {3} + d_ {2} \ cdot (2i) ^ {2} + d_ {1} \ cdot (2i) + d_ {0} + d_ {-1} \ cdot (2i) ^ {- 1} + d _ {- 2} \ cdot (2i) ^ {- 2} + d _ {- 3} \ cdot (2i) ^ {- 3} \ ldots}$

${\displaystyle =[...d_{4}\cdot (-4)^{2}+d_{2}\cdot (-4)^{1}+d_{0}+d_{-2}\cdot (-4)^{-1}+\ldots ]+2i\cdot [...+d_{5}\cdot (-4)^{2}+d_{3}\cdot (-4)^{1}+d_{1}+d_{-1}\cdot (-4)^{-1}+d_{-3}\cdot (-4)^{-2}+\ldots ]}$.

Таким образом, действительная и мнимая части этого комплексного числа легко выражаются с основанием -4 как и соответственно.${\displaystyle \ldots d_{4}d_{2}d_{0}.d_{-2}\ldots }$${\displaystyle 2\cdot (\ldots d_{5}d_{3}d_{1}.d_{-1}d_{-3}\ldots )}$

Преобразование из четвертичного воображаемого [ править ]

Чтобы преобразовать строку цифр из четвертичной мнимой системы в десятичную, можно использовать стандартную формулу для позиционных систем счисления. Это говорит о том, что строка цифр в базе b может быть преобразована в десятичное число с помощью формулы${\displaystyle \ldots d_{3}d_{2}d_{1}d_{0}}$

${\displaystyle \cdots +d_{3}\cdot b^{3}+d_{2}\cdot b^{2}+d_{1}\cdot b+d_{0}}$

Для четвертичной мнимой системы .${\displaystyle b=2i}$

Кроме того, для данной строки в форме формула ниже может использоваться для данной длины строки в базе${\displaystyle d}$${\displaystyle d_{w-1},d_{w-2},...d_{0}}$${\displaystyle w}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle Q2D_{w}{\vec {d}}\equiv \sum _{k=0}^{w-1}d_{k}\cdot b^{k}}$

Пример [ править ]

Чтобы преобразовать строку в десятичное число, введите формулу выше:${\displaystyle 1101_{2i}}$

${\displaystyle 1\cdot (2i)^{3}+1\cdot (2i)^{2}+0\cdot (2i)^{1}+1\cdot (2i)^{0}=-8i-4+0+1=-3-8i}$

Другой, более длинный пример: в базе 10 стоит${\displaystyle 1030003_{2i}}$

${\displaystyle 1\cdot (2i)^{6}+3\cdot (2i)^{4}+3\cdot (2i)^{0}=-64+3\cdot 16+3=-13}$

Преобразование в четвертичное [ править ]

Также возможно преобразовать десятичное число в число в четвертичной мнимой системе. Каждое комплексное число (каждое число формы a + bi ) имеет четвертичное представление. Большинство чисел имеют уникальное четвертичное представление, но так же, как 1 имеет два представления: 1 = 0, 9 ... в десятичной системе счисления, поэтому1/5имеет два четвертимнимых представления 1. 0300 … _{2 i} = 0. 0003 … _{2 i} .

Чтобы преобразовать произвольное комплексное число в четвертичное мнимое, достаточно разделить число на его действительную и мнимую составляющие, преобразовать каждую из них отдельно, а затем сложить результаты, перемежая цифры. Например, поскольку −1 + 4 i равно −1 плюс 4 i , четвертичное мнимое представление −1 + 4 i является четвертимнимым представлением −1 (а именно, 103) плюс четверти мнимое представление 4 i (а именно, 20), что дает окончательный результат −1 + 4 i = 123 _{2 i} .

Чтобы найти четвертичное представление мнимой составляющей, достаточно умножить эту составляющую на 2 i , что дает действительное число; затем найдите четвертичное мнимое представление этого действительного числа и, наконец, сдвиньте представление на одну позицию вправо (разделив таким образом на 2 i ). Например, четвертичное представление числа 6 i вычисляется путем умножения 6 i × 2 i = −12, что выражается как 300 _{2 i} , а затем сдвига на одну позицию вправо, что дает: 6 i = 30 _{2 i} .

Нахождение четвертомнимого представления произвольного действительного целого числа может быть выполнено вручную путем решения системы одновременных уравнений , как показано ниже, но существуют более быстрые методы как для действительных, так и для мнимых целых чисел, как показано в отрицательной базовой статье.

Пример: вещественное число [ править ]

В качестве примера целого числа мы можем попытаться найти четверть мнимую копию десятичного числа 7 (или 7 _10, поскольку основание десятичной системы - 10). Поскольку сложно точно предсказать, какой длины будет строка цифр для данного десятичного числа, можно с уверенностью принять довольно большую строку. В этом случае можно выбрать строку из шести цифр. Когда первоначальное предположение о размере строки в конечном итоге оказывается недостаточным, можно использовать строку большего размера.

Чтобы найти представление, сначала запишите общую формулу и сгруппируйте термины:

${\displaystyle {\begin{aligned}7_{10}&=d_{0}+d_{1}\cdot b+d_{2}\cdot b^{2}+d_{3}\cdot b^{3}+d_{4}\cdot b^{4}+d_{5}\cdot b^{5}\\&=d_{0}+2id_{1}-4d_{2}-8id_{3}+16d_{4}+32id_{5}\\&=d_{0}-4d_{2}+16d_{4}+i(2d_{1}-8d_{3}+32d_{5})\\\end{aligned}}}$

Поскольку 7 - действительное число, можно сделать вывод, что d ₁ , d ₃ и d ₅ должны быть равны нулю. Теперь необходимо найти значения коэффициентов d ₀ , d ₂ и d ₄ . Поскольку d ₀ - 4 d ₂ + 16 d ₄ = 7 и поскольку - по природе четвертичной мнимой системы - коэффициенты могут быть только 0, 1, 2 или 3, можно найти значения коэффициентов. Возможная конфигурация: d ₀ = 3, d ₂ = 3 и d _4.= 1. Эта конфигурация дает результирующую строку цифр для 7 ₁₀ .

${\displaystyle {\begin{aligned}7_{10}=010303_{2i}=10303_{2i}.\end{aligned}}}$

Пример: мнимое число [ править ]

Нахождение четвертимнимого представления чисто мнимого целого числа ∈ i Z аналогично методу, описанному выше для действительного числа. Например, чтобы найти представление 6 i , можно использовать общую формулу. Тогда все коэффициенты действительной части должны быть равны нулю, а комплексная часть должна составлять 6. Однако для 6 i легко увидеть, посмотрев на формулу, что если d ₁ = 3 и все остальные коэффициенты равны нулю, мы получаем желаемое. строка для 6 и . То есть:

${\displaystyle {\begin{aligned}6i_{10}=30_{2i}\end{aligned}}}$

Другой метод преобразования [ править ]

Для действительных чисел четвертичное представление такое же, как отрицательное четвертичное (основание -4). Комплексное число x + iy может быть преобразовано в четвертичное число путем преобразования x и y / 2 отдельно в отрицательное четвертичное число. Если и x, и y являются конечными двоичными дробями, мы можем использовать следующий алгоритм, использующий повторяющееся евклидово деление :

Например: 35 + 23i = 121003,2 _2i

 35 23i ÷ 2i = 11,5 11 = 12-0,5 35 ÷ (-4) = - 8, остаток 3 12 ÷ (-4) = - 3, остаток 0 (-0,5) * (- 4) = 2 -8 ÷ (-4) = 2, остаток 0-3 ÷ (-4) = 1, остаток 1 2 ÷ (-4) = 0, остаток 2 1 ÷ (-4) = 0, остаток 1 2 0 0 0 3 + 1 0 1 0 0 0 + 0,2 = 121003,2 32i + 16 * 2-8i-4 * 0 + 2i * 0 + 1 * 3-2 * i / 2 = 35 + 23i

Точка корня "." [ редактировать ]

Обычно используется точка счисления в десятичной системе счисления . (точка), обозначающая разделение целой и дробной части числа. В четвертичной мнимой системе также может использоваться точка счисления. Для строки цифр точка счисления отмечает разделение между неотрицательной и отрицательной степенями b . Используя точку счисления, общая формула становится:${\displaystyle ...d_{5}d_{4}d_{3}d_{2}d_{1}d_{0}.d_{-1}d_{-2}d_{-3}...}$

${\displaystyle d_{5}b^{5}+d_{4}b^{4}+d_{3}b^{3}+d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}+d_{-1}b^{-1}+d_{-2}b^{-2}+d_{-3}b^{-3}}$

или же

${\displaystyle 32id_{5}+16d_{4}-8id_{3}-4d_{2}+2id_{1}+d_{0}+{\frac {1}{2i}}d_{-1}+{\frac {1}{-4}}d_{-2}+{\frac {1}{-8i}}d_{-3}}$

${\displaystyle =32id_{5}+16d_{4}-8id_{3}-4d_{2}+2id_{1}+d_{0}-{\frac {i}{2}}d_{-1}-{\frac {1}{4}}d_{-2}+{\frac {i}{8}}d_{-3}}$

Пример [ править ]

Если нужно найти четвертичное представление комплексной единицы i , формулы без точки счисления будет недостаточно. Следовательно, следует использовать приведенную выше формулу. Следовательно:

${\displaystyle {\begin{aligned}i&=32id_{5}+16d_{4}-8id_{3}-4d_{2}+2id_{1}+d_{0}+{\frac {1}{2i}}d_{-1}+{\frac {1}{-4}}d_{-2}+{\frac {1}{-8i}}d_{-3}\\&=i(32d_{5}-8d_{3}+2d_{1}-{\frac {1}{2}}d_{-1}+{\frac {1}{8}}d_{-3})+16d_{4}-4d_{2}+d_{0}-{\frac {1}{4}}d_{-2}\\\end{aligned}}}$

для некоторых коэффициентов d _k . Тогда, поскольку действительная часть должна быть равна нулю: d ₄ = d ₂ = d ₀ = d ₋₂ = 0. Для мнимой части, если d ₅ = d ₃ = d ₋₃ = 0 и когда d ₁ = 1 и d ₋₁ = 2 можно найти строку цифр. Используя указанные выше коэффициенты в строке цифр, результат:

${\displaystyle {\begin{aligned}i=10.2_{2i}\end{aligned}}}$.

Сложение и вычитание [ править ]

Можно складывать и вычитать числа в четвертичной мнимой системе. При этом следует помнить о двух основных правилах:

1. Когда число превышает 3, вычтите 4 и «перенесите» −1 на два знака влево.
2. Когда число опускается ниже 0, прибавьте 4 и «перенесите» +1 на две позиции влево.

Или для краткости: «Если вы добавляете четыре, переносите +1 . Если вы вычитаете четыре, переносите -1 ». Это противоположно обычному длинному сложению, при котором «перенос» в текущем столбце требует прибавления 1 к следующему столбцу слева, а «заимствование» требует вычитания. В четвертичной мнимой арифметике «перенос» вычитается из следующего столбца, а «заимствование» складывается .

Пример: Дополнение [ править ]

Ниже приведены два примера сложения в четвертичной мнимой системе:

 1 - 2i 1031 3 - 4i 1023 1 - 2i 1031 1 - 8i 1001 ------- + <=> ----- + ------- + <=> ----- + 2 - 4i 1022 4 - 12i 12320

В первом примере мы начинаем с добавления двух единиц в первом столбце («столбец единиц»), получая 2. Затем мы добавляем две тройки во втором столбце (« столбец 2 i s»), получая 6; 6 больше 3, поэтому мы вычитаем 4 (давая 2 как результат во втором столбце) и переносим −1 в четвертый столбец. Добавление нулей в третий столбец дает 0; и, наконец, сложение двух единиц и переносимого -1 в четвертом столбце дает 1.

Во втором примере мы сначала складываем 3 + 1, получая 4; 4 больше 3, поэтому мы вычитаем 4 (получая 0) и переносим −1 в третий столбец («столбец −4s»). Затем мы добавляем 2 + 0 во второй столбец, получая 2. В третьем столбце мы имеем 0 + 0 + (- 1) из-за переноса; −1 меньше 0, поэтому мы добавляем 4 (получая 3 в качестве результата в третьем столбце) и «заимствуем» +1 в пятый столбец. В четвертом столбце 1 + 1 равно 2; а перенос в пятом столбце дает 1 в результате .${\displaystyle 12320_{2i}}$

Пример: вычитание [ править ]

Вычитание аналогично сложению в том, что оно использует те же два правила, которые описаны выше. Ниже приведен пример:

 - 2 - 8i 1102 1 - 6i 1011  ------- - <=> ----- - - 3 - 2i 1131

В этом примере мы должны вычесть из . Самая правая цифра 2-1 = 1. Вторая цифра справа станет -1, поэтому прибавьте 4, чтобы получить 3, а затем перенесите +1 на два разряда влево. Третья цифра справа - 1-0 = 1. Тогда крайняя левая цифра равна 1-1 плюс 1 от переноса, что дает 1. Это дает окончательный ответ .${\displaystyle 1011_{2i}}$${\displaystyle 1102_{2i}}$${\displaystyle 1131_{2i}}$

Умножение [ править ]

Для долгого умножения в четвертичной мнимой системе также используются два указанных выше правила. При умножении чисел последовательно умножьте первую строку на каждую цифру во второй строке и сложите полученные строки. При каждом умножении цифра второй строки умножается на первую. Умножение начинается с самой правой цифры во второй строке, а затем перемещается влево на одну цифру, умножая каждую цифру на первую строку. Затем складываются полученные частичные продукты, каждый из которых сдвигается влево на одну цифру. Пример:

 11201 20121 х -------- 11201 <--- 1 х 11201 12002 <--- 2 х 11201 11201 <--- 1 х 11201 00000 <--- 0 x 11201 12002 + <--- 2 х 11201 ------------ 120231321

Это соответствует умножению на .${\displaystyle (9-8i)\cdot (29+4i)=293-196i}$

Табличные преобразования [ править ]

Ниже приведена таблица некоторых десятичных и комплексных чисел и их четвертичных аналогов.

Примеры [ править ]

Ниже приведены некоторые другие примеры преобразования десятичных чисел в четвертичные числа.

${\displaystyle 5=16+(3\cdot -4)+1=10301_{2i}}$

${\displaystyle i=2i+2\left(-{\frac {1}{2}}i\right)=10.2_{2i}}$

${\displaystyle 7{\frac {3}{4}}-7{\frac {1}{2}}i=1(16)+1(-8i)+2(-4)+1(2i)+3\left(-{\frac {1}{2}}i\right)+1\left(-{\frac {1}{4}}\right)=11210.31_{2i}}$

Кривая Z-порядка [ править ]

Представление

${\displaystyle z=\sum _{k\geq n}z_{k}\cdot (2i)^{-k}}$

произвольного комплексного числа с порождает инъективное отображение${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$${\displaystyle z_{k}\in \{0,1,2,3\}}$

${\displaystyle \textstyle {\begin{array}{llcl}\varphi \colon &\mathbb {C} &\to &\mathbb {R} \\&\sum _{k\geq n}z_{k}\cdot (2i)^{-k}&\mapsto &\sum _{k\geq n}z_{k}\cdot r^{-k}\\\end{array}}}$

с некоторыми подходящими . Здесь нельзя брать за основу из-за${\displaystyle r\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle r=4}$

${\displaystyle \textstyle \sum _{k>0}3\cdot (2i)^{-k}={\tfrac {-3-6i}{5}}\;\;\;\;\neq \;\;\;\;1=\sum _{k>0}3\cdot 4^{-k}.}$

Изображение представляет собой множество Кантора , который позволяет линейно порядка по аналогии с кривой Z-порядка . Следовательно, не является непрерывным .${\displaystyle \varphi (\mathbb {C} )\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \varphi }$

См. Также [ править ]

• Четвертичная система счисления
• Комплексно-базовая система
• Отрицательная база

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Кнут, Дональд Эрвин . «Позиционные системы счисления». Искусство программирования . 2 (3-е изд.). Эддисон-Уэсли . п. 205.
• Уоррен-младший, Генри С. (2013) [2002]. Восторг хакера (2-е изд.). Эддисон Уэсли - Pearson Education, Inc. стр. 309. ISBN. 978-0-321-84268-8. 0-321-84268-5.