Тест конденсации Коши

В математике , то телескопический признак , названный в честь Огюстен Луи Коши , является стандартным тестом сходимости для бесконечных рядов . Для невозрастающей последовательности неотрицательных действительных чисел ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится «сжатый» ряд . Более того, если они сходятся, сумма сжатого ряда не более чем в два раза больше суммы исходного.${\ Displaystyle f (п)}$${\ displaystyle \ displaystyle \ sum \ limits _ {n = 1} ^ {\ infty} f (n)}$${\displaystyle \displaystyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})}$

Оценить [ править ]

Тест конденсации Коши следует из более сильной оценки

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)\leq \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\leq \ 2\sum _{n=1}^{\infty }f(n),}$

что следует понимать как неравенство расширенных действительных чисел . Суть доказательства следует, взяв за образец доказательство Оремом дивергенции гармонических рядов .

Чтобы увидеть первое неравенство, члены исходного ряда заменяются скобками на серии, длина которых равна степеням двойки, а затем каждая серия ограничивается сверху путем замены каждого члена на самый большой член в этой серии. Этот член всегда является первым, поскольку предполагается, что члены не увеличиваются.

${\displaystyle {\begin{array}{rcccccccl}\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }f(n)&=&f(1)&+&f(2)+f(3)&+&f(4)+f(5)+f(6)+f(7)&+&\cdots \\&=&f(1)&+&{\Big (}f(2)+f(3){\Big )}&+&{\Big (}f(4)+f(5)+f(6)+f(7){\Big )}&+&\cdots \\&\leq &f(1)&+&{\Big (}f(2)+f(2){\Big )}&+&{\Big (}f(4)+f(4)+f(4)+f(4){\Big )}&+&\cdots \\&=&f(1)&+&2f(2)&+&4f(4)&+&\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\end{array}}}$

Чтобы увидеть второе неравенство, эти две серий снова rebracketed в пробеги власти два длины, но «смещение» , как показано ниже, так что пробег , который начинается с одной линией с концом пробега которых концов с , так что первые всегда «опережают» вторых.${\displaystyle \textstyle 2\sum _{n=1}^{\infty }f(n)}$${\displaystyle \textstyle f(2^{n})}$${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})}$${\displaystyle \textstyle f(2^{n})}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\sum \limits _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})&=&f(1)+{\Big (}f(2)+f(2){\Big )}+{\Big (}f(4)+f(4)+f(4)+f(4){\Big )}+\cdots \\&=&{\Big (}f(1)+f(2){\Big )}+{\Big (}f(2)+f(4)+f(4)+f(4){\Big )}+\cdots \\&\leq &{\Big (}f(1)+f(1){\Big )}+{\Big (}f(2)+f(2)+f(3)+f(3){\Big )}+\cdots =2\sum \limits _{n=1}^{\infty }f(n)\end{array}}}$

Визуализация приведенного выше аргумента. Частичные суммы серий , и показаны наложенными слева направо.${\displaystyle \textstyle \sum f(n)}$${\displaystyle \sum 2^{n}f(2^{n})}$${\displaystyle 2\sum f(n)}$

Интегральное сравнение [ править ]

«Конденсация» преобразование напоминает интегральную замену переменной дающую .${\displaystyle \textstyle f(n)\rightarrow 2^{n}f(2^{n})}$${\displaystyle \textstyle x\rightarrow e^{x}}$${\displaystyle \textstyle f(x)\,\mathrm {d} x\rightarrow e^{x}f(e^{x})\,\mathrm {d} x}$

Следуя этой идее, интегральный тест на сходимость дает нам в случае монотонного f, что сходится тогда и только тогда, когда сходится. Подстановка дает интеграл . Затем мы замечаем, что < , где правая часть получена в результате применения интегральной проверки к сжатой серии . Следовательно, сходится тогда и только тогда, когда сходится.${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }f(n)}$${\displaystyle \displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x}$${\displaystyle \textstyle x\rightarrow 2^{x}}$${\displaystyle \displaystyle \log 2\ \int _{2}^{\infty }\!2^{x}f(2^{x})\,\mathrm {d} x}$${\displaystyle \displaystyle \log 2\ \int _{2}^{\infty }\!2^{x}f(2^{x})\,\mathrm {d} x}$${\displaystyle \displaystyle \log 2\ \int _{0}^{\infty }\!2^{x}f(2^{x})\,\mathrm {d} x}$${\displaystyle \displaystyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})}$${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }f(n)}$${\displaystyle \displaystyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})}$

Примеры [ править ]

Тест может быть полезен для серий, в которых n указано в знаменателе в f . В самом простом примере такого рода гармонический ряд трансформируется в ряд , который явно расходится.${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }1/n}$${\displaystyle \textstyle \sum 1}$

В качестве более сложного примера возьмем

${\displaystyle f(n):=n^{-a}(\log n)^{-b}(\log \log n)^{-c}}$.

Здесь ряд определенно сходится при a > 1 и расходится при a <1. При a = 1 преобразование конденсации дает ряд

${\displaystyle \sum n^{-b}(\log n)^{-c}}$.

Логарифмы «сдвигаются влево». Итак, когда a = 1, у нас есть сходимость при b > 1, расхождение при b <1. Когда b = 1, входит значение c .

Этот результат легко обобщается: многократно применяемый тест конденсации может использоваться, чтобы показать, что для обобщенного ряда Бертрана${\displaystyle k=1,2,3,\ldots }$

${\displaystyle \sum _{n\geq N}{\frac {1}{n\cdot \log n\cdot \log \log n\cdots \log ^{\circ (k-1)}n\cdot (\log ^{\circ k}n)^{\alpha }}}\quad \quad (N=\lfloor \exp ^{\circ k}(0)\rfloor +1)}$

сходится при и расходится при . ^[1] Здесь обозначает m- ю композиционную итерацию функции , так что${\displaystyle \alpha >1}$${\displaystyle 0<\alpha \leq 1}$${\displaystyle f^{\circ m}}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f^{\circ m}(x):={\begin{cases}f(f^{\circ (m-1)}(x)),&m=1,2,3,\ldots ;\\x,&m=0.\end{cases}}}$

Нижний предел суммы был выбран так, чтобы все члены ряда были положительны. Примечательно, что эти ряды предоставляют примеры бесконечных сумм, которые сходятся или расходятся сколь угодно медленно. Например, в случае и частичная сумма превышает 10 только после ( гуголплекс ) членов; тем не менее, серии расходятся.${\displaystyle N}$${\displaystyle k=2}$${\displaystyle \alpha =1}$${\displaystyle 10^{10^{100}}}$

Обобщение Шлёмильха [ править ]

Пусть ^[2] u ( n ) - строго возрастающая последовательность натуральных чисел такая, что отношение последовательных разностей ограничено: существует положительное действительное число N , для которого:

${\displaystyle {\Delta u(n) \over \Delta u(n{-}1)}\ =\ {u(n{+}1)-u(n) \over u(n)-u(n{-}1)}\ <\ N\ \ {\text{for all }}n.}$

Тогда, при условии соблюдения тех же предварительных условий, что и в тесте Коши, сходимость ряда эквивалентна сходимости:${\displaystyle f(n)}$${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\Delta u(n)}\,f(u(n))\ =\ \sum _{n=0}^{\infty }{\Big (}u(n{+}1)-u(n){\Big )}f(u(n)).}$

Таким образом , тест конденсации Коши представляет собой частный случай.${\displaystyle \textstyle u(n)=2^{n}}$${\displaystyle \textstyle \Delta u(n)=u(n{+}1)-u(n)=2^{n}}$

Ссылки [ править ]

• Бонар, Хури (2006). Настоящая бесконечная серия . Математическая ассоциация Америки. ISBN 0-88385-745-6 . 

Внешние ссылки [ править ]

• Доказательство теста конденсации Коши