Интеграл секущей в кубе

Интеграл секущей кубы является частым и сложным ^[1] неопределенным интегралом от элементарного исчисления :

${\ displaystyle \ int \ sec ^ {3} x \, dx = {\ frac {1} {2}} (\ sec x \ tan x + \ ln \ left | \ sec x + \ tan x \ right |) + C .}$

Особого внимания заслуживает именно эта первообразная по ряду причин:

• В этом простейшем случае полностью присутствует техника приведения интегралов от старших нечетных степеней секущей к младшим. Остальные случаи делаются таким же образом.
• Полезность гиперболических функций при интегрировании может быть продемонстрирована в случаях нечетных степеней секанса (также могут быть включены касательные).
• Это один из нескольких интегралов, обычно выполняемых в течение первого года курса математики, в котором наиболее естественный способ продолжить - это интегрировать по частям и вернуться к тому же интегралу, с которого был начат (другой - интеграл от произведения экспоненциальной функции с функция синуса или косинуса; еще один интеграл мощности функции синуса или косинуса).
• Этот интеграл используется при вычислении любого интеграла вида

${\ displaystyle \ int {\ sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}} \, dx,}$

где - константа. В частности, это проявляется в проблемах:${\ displaystyle a}$

• выпрямления в параболу и архимедовой спирали
• нахождение площади поверхности в геликоиде .

Производные [ править ]

Интеграция по частям [ править ]

Это первообразное можно найти путем интегрирования по частям , как показано ниже: ^[2]

${\ Displaystyle \ int \ sec ^ {3} х \, dx = \ int u \, dv = uv- \ int v \, du}$

куда

${\ displaystyle u = \ sec x, \ quad dv = \ sec ^ {2} x \, dx, \ quad v = \ tan x, \ quad du = \ sec x \ tan x \, dx.}$

потом

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sec ^{3}x\,dx&{}=\int (\sec x)(\sec ^{2}x)\,dx\\&{}=\sec x\tan x-\int \tan x\,(\sec x\tan x)\,dx\\&{}=\sec x\tan x-\int \sec x\tan ^{2}x\,dx\\&{}=\sec x\tan x-\int \sec x\,(\sec ^{2}x-1)\,dx\\&{}=\sec x\tan x-\left(\int \sec ^{3}x\,dx-\int \sec x\,dx\right)\\&{}=\sec x\tan x-\int \sec ^{3}x\,dx+\int \sec x\,dx.\end{aligned}}}$

Затем добавьте к обеим сторонам только что полученного равенства: ^[a]${\displaystyle \int \sec ^{3}x\,dx}$

${\displaystyle {\begin{aligned}2\int \sec ^{3}x\,dx&=\sec x\tan x+\int \sec x\,dx\\&=\sec x\tan x+\ln \left|\sec x+\tan x\right|+C,\end{aligned}}}$

учитывая, что интеграл секущей функции равен ^[2]${\displaystyle \int \sec x\,dx=\ln |\sec x+\tan x|+C.}$

Наконец, разделите обе стороны на 2:

${\displaystyle \int \sec ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}(\sec x\tan x+\ln \left|\sec x+\tan x\right|)+C,}$

который должен был быть получен. ^[2]

Приведение к интегралу рациональной функции [ править ]

${\displaystyle \int \sec ^{3}x\,dx=\int {\frac {dx}{\cos ^{3}x}}=\int {\frac {\cos x\,dx}{\cos ^{4}x}}=\int {\frac {\cos x\,dx}{(1-\sin ^{2}x)^{2}}}=\int {\frac {du}{(1-u^{2})^{2}}}}$

где , так что . Это допускает разложение на частичные дроби :${\displaystyle u=\sin x}$${\displaystyle du=\cos x\,dx}$

${\displaystyle {\frac {1}{(1-u^{2})^{2}}}={\frac {1}{(1+u)^{2}(1-u)^{2}}}={\frac {1/4}{1+u}}+{\frac {1/4}{(1+u)^{2}}}+{\frac {1/4}{1-u}}+{\frac {1/4}{(1-u)^{2}}}.}$

Антидифференцируя посрочно, получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sec ^{3}x\,dx&={\frac {1}{4}}\ln |1+u|-{\frac {1/4}{1+u}}-{\frac {1}{4}}\ln |1-u|+{\frac {1/4}{1-u}}+C\\[6pt]&={\frac {1}{4}}\ln {\Biggl |}{\frac {1+u}{1-u}}{\Biggl |}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {u}{1-u^{2}}}\right)+C\\[6pt]&={\frac {1}{4}}\ln {\Biggl |}{\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}{\Biggl |}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}\right)+C\\[6pt]&={\frac {1}{4}}\ln \left|{\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}\right|+{\frac {1}{2}}\sec x\tan x+C\\[6pt]&={\frac {1}{4}}\ln \left|{\frac {(1+\sin x)^{2}}{1-\sin ^{2}x}}\right|+{\frac {1}{2}}\sec x\tan x+C\\[6pt]&={\frac {1}{4}}\ln \left|{\frac {(1+\sin x)^{2}}{\cos ^{2}x}}\right|+{\frac {1}{2}}\sec x\tan x+C\\[6pt]&={\frac {1}{4}}\ln \left|{\frac {1+\sin x}{\cos x}}\right|^{2}+{\frac {1}{2}}\sec x\tan x+C\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\ln \left|{\frac {1+\sin x}{\cos x}}\right|+{\frac {1}{2}}\sec x\tan x+C\\[6pt]&={\frac {1}{2}}(\ln |\sec x+\tan x|+\sec x\tan x)+C.\end{aligned}}}$

Гиперболические функции [ править ]

Интегралы вида: можно уменьшить , используя Пифагора идентичность , если даже или и оба нечетные. Если является нечетным и четным, можно использовать гиперболические подстановки для замены вложенного интегрирования частями с формулами уменьшения гиперболической мощности.${\displaystyle \int \sec ^{n}x\tan ^{m}x\,dx}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sec x&{}=\cosh u\\[6pt]\tan x&{}=\sinh u\\[6pt]\sec ^{2}x\,dx&{}=\cosh u\,du{\text{ or }}\sec x\tan x\,dx=\sinh u\,du\\[6pt]\sec x\,dx&{}=\,du{\text{ or }}dx=\operatorname {sech} u\,du\\[6pt]u&{}=\operatorname {arcosh} (\sec x)=\operatorname {arsinh} (\tan x)=\ln |\sec x+\tan x|\end{aligned}}}$

Заметим, что это непосредственно следует из этой замены.${\displaystyle \int \sec x\,dx=\ln |\sec x+\tan x|}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sec ^{3}x\,dx&{}=\int \cosh ^{2}u\,du\\[6pt]&{}={\frac {1}{2}}\int (\cosh 2u+1)\,du\\[6pt]&{}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{2}}\sinh 2u+u\right)+C\\[6pt]&{}={\frac {1}{2}}(\sinh u\cosh u+u)+C\\[6pt]&{}={\frac {1}{2}}(\sec x\tan x+\ln \left|\sec x+\tan x\right|)+C\\\end{aligned}}}$

Высшие нечетные степени секанса [ править ]

Подобно тому, как интегрирование по приведенным выше частям уменьшило интеграл секущей в кубе до интеграла секущей в первой степени, аналогичный процесс уменьшает интеграл от более высоких нечетных степеней секанса до более низких. Это формула сокращения секанса, которая следует синтаксису:

${\displaystyle \int \sec ^{n}x\,dx={\frac {\sec ^{n-2}x\tan x}{n-1}}\,+\,{\frac {n-2}{n-1}}\int \sec ^{n-2}x\,dx\qquad {\text{ (for }}n\neq 1{\text{)}}\,\!}$

Альтернативно:

${\displaystyle \int \sec ^{n}x\,dx={\frac {\sec ^{n-1}x\sin x}{n-1}}\,+\,{\frac {n-2}{n-1}}\int \sec ^{n-2}x\,dx\qquad {\text{ (for }}n\neq 1{\text{)}}\,\!}$

Четные степени касательных могут быть согласованы с использованием биномиального разложения для формирования нечетного полинома секанса и использования этих формул для наибольшего члена и объединения подобных членов.

См. Также [ править ]

• Списки интегралов

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]