Ляпуновская устойчивость

Часть серии по
Астродинамика
Орбитальная механика
Орбитальные элементы Апсис Аргумент перицентра Эксцентриситет Наклон Средняя аномалия Орбитальные узлы Большая полуось Истинная аномалия
Типы двухчастичных орбит по эксцентриситету Круговая орбита Эллиптическая орбита Переходная орбита ( Переходная орбита Хомана Биэллиптическая переходная орбита ) Параболическая орбита Гиперболическая орбита Радиальная орбита Затухающая орбита
Уравнения Динамическое трение Скорость убегания Уравнение Кеплера Законы движения планет Кеплера Орбитальный период Орбитальная скорость Поверхностная гравитация Удельная орбитальная энергия Уравнение Vis-viva
Небесная механика
Гравитационные воздействия Барицентр Сфера холма Возмущения Сфера влияния
N-тела орбиты Лагранжевые точки ( Орбиты гало ) Орбиты Лиссажу Ляпуновские орбиты
Инженерия и эффективность
Предполетная инженерия Соотношение масс Доля полезной нагрузки Массовая доля топлива Уравнение ракеты Циолковского
Меры эффективности Помощь гравитации Эффект Оберта
v т е

Можно обсудить различные типы устойчивости решений дифференциальных уравнений или разностных уравнений, описывающих динамические системы . Самый важный тип - это вопрос об устойчивости решений вблизи точки равновесия. Об этом может говорить теория Александра Ляпунова . Проще говоря, если решения , которые начинаются из вблизи точку равновесия пребывания вблизи навсегда, то это Ляпунова . Более того, если устойчиво по Ляпунову и все решения, которые начинаются вблизи, сходятся к , то оно асимптотически устойчиво . Понятие${\ displaystyle x_ {e}}$${\ displaystyle x_ {e}}$${\ displaystyle x_ {e}}$${\ displaystyle x_ {e}}$${\ displaystyle x_ {e}}$${\ displaystyle x_ {e}}$${\ displaystyle x_ {e}}$экспоненциальная устойчивость гарантирует минимальную скорость убывания, т. е. оценку того, насколько быстро решения сходятся. Идея устойчивости по Ляпунову может быть распространена на бесконечномерные многообразия, где она известна как структурная устойчивость , которая касается поведения различных, но «близких» решений дифференциальных уравнений. Устойчивость от входа к состоянию (ISS) применяет понятия Ляпунова к системам с входами.

В ограниченной задаче трех тел орбиты Ляпунова - это изогнутые траектории вокруг лагранжевой точки, которые полностью лежат в плоскости двух первичных тел, в отличие от гало-орбит и орбит Лиссажу , которые также движутся выше и ниже плоскости.

История [ править ]

Устойчивость по Ляпунову названа в честь Александра Михайловича Ляпунова , русского математика, защитившего в 1892 году в Харьковском университете диссертацию «Общая проблема устойчивости движения» ^[1].А.М. Ляпунов был пионером в успешной попытке развить глобальный подход к анализу устойчивости нелинейных динамических систем в сравнении с широко распространенным локальным методом их линеаризации относительно точек равновесия. Его работы, первоначально опубликованные на русском языке, а затем переведенные на французский, долгие годы не привлекали внимания. Математическая теория устойчивости движения, основанная А.М. Ляпуновым, значительно опередила время для ее внедрения в науку и технику. Более того, сам Ляпунов не нашел применения в этой области, поскольку его интересовала стабильность вращающихся масс жидкости в астрономических целях. У него не было докторантов, которые следили за исследованиями в области стабильности, и его собственная судьба была ужасно трагичной из-за русской революции 1917 года.^{[ необходима цитата ]} . На несколько десятилетий теория устойчивости канула в лету. Российско-советский математик и механик Николай Гурьевич Четаев, работавший в Казанском авиационном институте в 1930-е годы, был первым, кто осознал невероятные масштабы открытия, сделанного А.М. Ляпуновым. Собственно, его фигура как великого ученого сопоставима с фигурой А.М. Ляпунова. Вклад в теорию Н.Г. Четаева ^[2] был настолько значительным, что многие математики, физики и инженеры считают его прямым преемником Ляпунова и следующим по линии научным потомком в создании и развитии математической теории устойчивости.

Интерес к нему внезапно резко возрос в период холодной войны, когда было обнаружено, что так называемый «второй метод Ляпунова» (см. Ниже) применим к устойчивости аэрокосмических систем наведения, которые обычно содержат сильные нелинейности, не поддающиеся лечению другими методами. С тех пор появилось большое количество публикаций в литературе по управлению и системам. ^{[3] [4] [5] [6] [7] В} последнее время концепция показателя Ляпунова (связанная с Первым методом Ляпунова обсуждения устойчивости) вызвала широкий интерес в связи с теорией хаоса.. Методы устойчивости Ляпунова также применялись для нахождения равновесных решений в задачах распределения трафика. ^[8]

Определение для систем с непрерывным временем [ править ]

Рассмотрим автономную нелинейную динамическую систему

${\ Displaystyle {\ точка {х}} = е (х (т)), \; \; \; \; х (0) = х_ {0}}$,

где обозначает вектор состояния системы , открытое множество, содержащее начало координат, и непрерывное на . Предположим, что имеет место равновесие в так, что тогда${\ Displaystyle х (т) \ в {\ mathcal {D}} \ substeq \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {D}}}$${\ displaystyle f: {\ mathcal {D}} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {D}}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x_ {e}}$${\ displaystyle f (x_ {e}) = 0}$

1. Это равновесие называется устойчивым по Ляпунову , если для каждого существует такое, что, если , то для каждого, что у нас есть .${\ displaystyle \ epsilon> 0}$${\ displaystyle \ delta> 0}$${\displaystyle \|x(0)-x_{e}\|<\delta }$${\displaystyle t\geq 0}$${\displaystyle \|x(t)-x_{e}\|<\epsilon }$
2. Равновесие указанной системы называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и существует такое, что если , то .${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle \|x(0)-x_{e}\|<\delta }$${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }\|x(t)-x_{e}\|=0}$
3. Равновесие указанной системы называется экспоненциально устойчивым, если оно асимптотически устойчиво и существует такое, что если , то для всех .${\displaystyle \alpha >0,\beta >0,\delta >0}$${\displaystyle \|x(0)-x_{e}\|<\delta }$${\displaystyle \|x(t)-x_{e}\|\leq \alpha \|x(0)-x_{e}\|e^{-\beta t}}$${\displaystyle t\geq 0}$

Концептуально значения приведенных выше терминов следующие:

1. Устойчивость равновесия по Ляпунову означает, что решения, начинающиеся «достаточно близко» к равновесию (на некотором расстоянии от него), навсегда остаются «достаточно близкими» (на расстоянии от него). Обратите внимание, что это должно быть верно для любого , кого вы хотите выбрать.${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon }$
2. Асимптотическая устойчивость означает, что решения, которые начинаются достаточно близко, не только остаются достаточно близкими, но и в конечном итоге сходятся к равновесию.
3. Экспоненциальная стабильность означает, что решения не только сходятся, но фактически сходятся быстрее или, по крайней мере, так же быстро, как определенная известная скорость .${\displaystyle \alpha \|x(0)-x_{e}\|e^{-\beta t}}$

Траектория x (локально) привлекательна, если

${\displaystyle \|y(t)-x(t)\|\rightarrow 0}$

(где обозначает выход системы ) для всех траекторий, которые начинаются достаточно близко, и глобально привлекательными, если это свойство выполняется для всех траекторий.${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle t\rightarrow \infty }$

То есть, если x принадлежит внутренней части своего устойчивого многообразия , оно асимптотически устойчиво, если одновременно притягивает и устойчиво. (Есть примеры, показывающие, что аттракцион не означает асимптотической устойчивости. Такие примеры легко создать, используя гомоклинические связи .)

Если якобиан динамической системы в состоянии равновесия оказывается матрицей устойчивости (т. Е. Если действительная часть каждого собственного значения строго отрицательна), то состояние равновесия является асимптотически устойчивым.

Система в отклонениях [ править ]

Вместо рассмотрения произвольного решения задачу можно свести к изучению нулевого решения. Для этого необходима следующая замена переменных .${\displaystyle \phi (t)}$${\displaystyle y=x-\phi (t)}$

${\displaystyle {\dot {y}}=f(t,y+\phi (t))-{\dot {\phi }}(t)=g(t,y)}$.

Эта система имеет гарантированное нулевое решение и называется «системой в отклонениях». Большинство результатов сформулировано для таких систем.

Второй метод устойчивости Ляпунова [ править ]

Ляпунов в своей оригинальной работе 1892 года предложил два метода демонстрации устойчивости. ^[1] Первый метод развивал решение в серии, которая затем была доказана сходимостью в определенных пределах. Второй метод, который теперь называется критерием устойчивости Ляпунова или прямым методом, использует функцию Ляпунова V (x), которая имеет аналогию с потенциальной функцией классической динамики. Он вводится следующим образом для системы, имеющей точку равновесия в . Рассмотрим такую ​​функцию , что${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle V:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle V(x)=0}$ если и только если ${\displaystyle x=0}$
• ${\displaystyle V(x)>0}$ если и только если ${\displaystyle x\neq 0}$
• ${\displaystyle {\dot {V}}(x)={\frac {d}{dt}}V(x)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}f_{i}(x)=\nabla V\cdot f(x)\leq 0}$для всех значений . Примечание: для асимптотической устойчивости, для не требуется.${\displaystyle x\neq 0}$${\displaystyle {\dot {V}}(x)<0}$${\displaystyle x\neq 0}$

Тогда V (x) называется функцией Ляпунова и система устойчива по Ляпунову (заметьте, что это требуется; в противном случае, например , «докажет», что она локально устойчива). Дополнительное условие, называемое «правильность» или «радиальная неограниченность», требуется для заключения глобальной стабильности. Аналогично следует глобальная асимптотическая устойчивость (ГАС).${\displaystyle V(0)=0}$${\displaystyle V(x)=1/(1+|x|)}$${\displaystyle {\dot {x}}(t)=x}$

Этот метод анализа легче визуализировать, думая о физической системе (например, вибрирующей пружине и массе) и учитывая энергию такой системы. Если система со временем теряет энергию и энергия никогда не восстанавливается, то в конечном итоге система должна остановиться и достичь некоторого конечного состояния покоя. Это конечное состояние называется аттрактором . Однако найти функцию, которая дает точную энергию физической системы, может быть сложно, а для абстрактных математических систем, экономических систем или биологических систем концепция энергии может быть неприменима.

Осознание Ляпунова состояло в том, что устойчивость может быть доказана, не требуя знания истинной физической энергии, при условии, что функция Ляпунова удовлетворяет указанным выше ограничениям.

Определение для систем с дискретным временем [ править ]

Определение для систем с дискретным временем почти идентично определению для систем с непрерывным временем. Приведенное ниже определение обеспечивает это с использованием альтернативного языка, обычно используемого в большинстве математических текстов.

Пусть ( X , d ) - метрическое пространство, а f  : X → X - непрерывная функция . Точка x в X называется устойчивой по Ляпунову , если

${\displaystyle \forall \epsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall y\in X\ \left[d(x,y)<\delta \Rightarrow \forall n\in \mathbf {N} \ d\left(f^{n}(x),f^{n}(y)\right)<\epsilon \right].}$

Будем говорить , что х является асимптотически устойчивым , если оно принадлежит внутренности своего стабильного набора , ИЭ , если,

${\displaystyle \exists \delta >0\left[d(x,y)<\delta \Rightarrow \lim _{n\to \infty }d\left(f^{n}(x),f^{n}(y)\right)=0\right].}$

Устойчивость для линейных моделей пространства состояний [ править ]

Линейное пространство состояния модели

${\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}=A{\textbf {x}}}$,

где конечная матрица, асимптотически устойчива (на самом деле, экспоненциально устойчивым ) , если все действительные части собственных значений в отрицательные. Это условие эквивалентно следующему: ^[9]${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle A^{\textsf {T}}M+MA}$

отрицательно определена для некоторой положительно определенной матрицы . (Соответствующая функция Ляпунова есть .)${\displaystyle M=M^{\textsf {T}}}$${\displaystyle V(x)=x^{\textsf {T}}Mx}$

Соответственно, дискретная по времени линейная модель пространства состояний

${\displaystyle {\textbf {x}}_{t+1}=A{\textbf {x}}_{t}}$

является асимптотически устойчивым (фактически, экспоненциально устойчивым), если все собственные значения имеют модуль меньше единицы.${\displaystyle A}$

Это последнее условие было обобщено на переключаемые системы: линейная переключаемая система с дискретным временем (управляемая набором матриц )${\displaystyle \{A_{1},\dots ,A_{m}\}}$

${\displaystyle {{\textbf {x}}_{t+1}}=A_{i_{t}}{\textbf {x}}_{t},\quad A_{i_{t}}\in \{A_{1},\dots ,A_{m}\}}$

является асимптотически устойчивым (фактически, экспоненциально устойчивым), если совместный спектральный радиус множества меньше единицы.${\displaystyle \{A_{1},\dots ,A_{m}\}}$

Стабильность для систем с входами [ править ]

Система с входами (или элементами управления) имеет вид

${\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}={\textbf {f}}({\textbf {x}},{\textbf {u}})}$

где (обычно зависящий от времени) вход u (t) может рассматриваться как функция управления , внешнего входа , стимула , возмущения или вынуждающей функции . Было показано ^[10], что вблизи точки равновесия, устойчивой по Ляпунову, система остается устойчивой при малых возмущениях. Для больших входных возмущений изучение таких систем является предметом теории управления и применяется в технике управления . Для систем со входами необходимо количественно оценить влияние входов на стабильность системы. Основными двумя подходами к этому анализу являются устойчивость BIBO (для линейных систем ) истабильность от входа к состоянию (ISS) (для нелинейных систем )

Пример [ править ]

Рассмотрим уравнение, в котором по сравнению с уравнением осциллятора Ван-дер-Поля изменяется член трения:

${\displaystyle {\ddot {y}}+y-\varepsilon \left({\frac {{\dot {y}}^{3}}{3}}-{\dot {y}}\right)=0.}$

Вот хороший пример неудачной попытки найти функцию Ляпунова, доказывающую устойчивость.

Позволять

${\displaystyle x_{1}=y,x_{2}={\dot {y}}}$

так что соответствующая система

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\dot {x}}_{1}=x_{2},\\&{\dot {x}}_{2}=-x_{1}+\varepsilon \left({\frac {x_{2}^{3}}{3}}-{x_{2}}\right).\end{aligned}}}$

Равновесие ${\displaystyle x_{1}=0,\ x_{2}=0.}$

Выберем в качестве функции Ляпунова

${\displaystyle V={\frac {1}{2}}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)}$

что явно положительно определено . Его производная

${\displaystyle {\dot {V}}=x_{1}{\dot {x}}_{1}+x_{2}{\dot {x}}_{2}=x_{1}x_{2}-x_{1}x_{2}+\varepsilon {\frac {x_{2}^{4}}{3}}-\varepsilon {x_{2}^{2}}=\varepsilon {\frac {x_{2}^{4}}{3}}-\varepsilon {x_{2}^{2}}.}$

Кажется, что если параметр положительный, стабильность асимптотическая для Но это неверно, поскольку не зависит от и будет 0 всюду на оси. Равновесие устойчиво по Ляпунову.${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle x_{2}^{2}<3.}$${\displaystyle {\dot {V}}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{1}}$

Лемма Барбалата и устойчивость нестационарных систем [ править ]

Предположим, что f является функцией только времени.

• Наличие не означает, что у вас есть предел в . Например, .${\displaystyle {\dot {f}}(t)\to 0}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle t\to \infty }$${\displaystyle f(t)=\sin(\ln(t)),\;t>0}$
• Имея приближается к пределу , не означает , что . Например, .${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle t\to \infty }$${\displaystyle {\dot {f}}(t)\to 0}$${\displaystyle f(t)=\sin \left(t^{2}\right)/t,\;t>0}$
• Имея ограниченную снизу и убывающую ( ), следует, что она сходится к пределу. Но не сказано, как это сделать .${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle {\dot {f}}\leq 0}$${\displaystyle {\dot {f}}\to 0}$${\displaystyle t\to \infty }$

Лемма Барбалата гласит:

Если имеет конечный предел при и если равномерно непрерывен (или ограничен), то при . ^[11]${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle t\to \infty }$${\displaystyle {\dot {f}}}$${\displaystyle {\ddot {f}}}$${\displaystyle {\dot {f}}(t)\to 0}$${\displaystyle t\to \infty }$

Альтернативный вариант выглядит следующим образом:

Пусть и . Если и , то как ^[12]${\displaystyle p\in [1,\infty )}$${\displaystyle q\in (1,\infty ]}$${\displaystyle f\in L^{p}(0,\infty )}$${\displaystyle {\dot {f}}\in L^{q}(0,\infty )}$${\displaystyle f(t)\to 0}$${\displaystyle t\to \infty .}$

В следующей форме лемма верна и в векторнозначном случае:

Позвольте быть равномерно непрерывной функцией со значениями в банаховом пространстве и предположим, что имеет конечный предел при . Тогда как . ^[13]${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{t}f(\tau )\mathrm {d} \tau }$${\displaystyle t\to \infty }$${\displaystyle f(t)\to 0}$${\displaystyle t\to \infty }$

Следующий пример взят со страницы 125 книги Слотина и Ли « Прикладное нелинейное управление» .

Рассмотрим неавтономную систему

${\displaystyle {\dot {e}}=-e+g\cdot w(t)}$

${\displaystyle {\dot {g}}=-e\cdot w(t).}$

Это не автономно, потому что вход является функцией времени. Предположим, что вход ограничен.${\displaystyle w}$${\displaystyle w(t)}$

Принимая дает${\displaystyle V=e^{2}+g^{2}}$${\displaystyle {\dot {V}}=-2e^{2}\leq 0.}$

Это говорит о том, что по первым двум условиям а значит и ограничены. Но это ничего не говорит о сходимости к нулю. Более того, теорема об инвариантном множестве не может быть применена, потому что динамика не автономна.${\displaystyle V(t)\leq V(0)}$${\displaystyle e}$${\displaystyle g}$${\displaystyle e}$

Используя лемму Барбалата:

${\displaystyle {\ddot {V}}=-4e(-e+g\cdot w)}$.

Это ограничено , потому что , и ограничены. Отсюда следует as и следовательно . Это доказывает, что ошибка сходится.${\displaystyle e}$${\displaystyle g}$${\displaystyle w}$${\displaystyle {\dot {V}}\to 0}$${\displaystyle t\to \infty }$${\displaystyle e\to 0}$

См. Также [ править ]

• Функция Ляпунова
• Теория возмущений
• Принцип инвариантности ЛаСалля
• Гипотеза Маркуса – Ямабе

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Бхатия, Нам Паршад; Сегё, Джорджио П. (2002). Теория устойчивости динамических систем . Springer. ISBN 978-3-540-42748-3.
• Червин, Роберт (1971). Ляпунов Устойчивость и управление с обратной связью двухпотоковых плазменных систем (PhD). Колумбийский университет.
• Гандольфо, Джанкарло (1996). Экономическая динамика (Третье изд.). Берлин: Springer. С. 407–428. ISBN 978-3-540-60988-9.
• Парки, ПК (1992). «Теория устойчивости А.М. Ляпунова - 100 лет спустя». Журнал IMA по математическому контролю и информации . 9 (4): 275–303. DOI : 10.1093 / imamci / 9.4.275 .
• Слотин, Жан-Жак Э .; Вэйпин Ли (1991). Прикладное нелинейное управление . Нью-Джерси: Прентис Холл.
• Тешл, Г. (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8328-0.
• Виггинс, С. (2003). Введение в прикладные нелинейные динамические системы и хаос (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer Verlag . ISBN 978-0-387-00177-7.

В эту статью включены материалы из асимптотически стабильного сайта PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .