Срок тестирования

В математике , то п - й срок испытания для дивергенции ^[1] представляет собой простой тест для расхождения в качестве бесконечного ряда :

• Если или если лимит не существует, то расходится.${\ Displaystyle \ lim _ {п \ к \ infty} а_ {п} \ neq 0}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

Многие авторы не называют этот тест или дают ему более короткое название. ^[2]

При проверке того, сходится ли ряд или расходится, этот тест часто проверяется в первую очередь из-за простоты его использования.

Использование [ править ]

В отличие от тестов более сильной сходимости , термин тест не может сам по себе доказывать сходимость ряда . В частности, обратное к проверке неверно; вместо этого все, что можно сказать:

• Если то может, а может и не сойтись. Другими словами, если тест будет безрезультатным.${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0,}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0,}$

Гармонический ряд является классическим примером расходящихся рядов, члены которых ограничивают до нуля. ^[3] Более общий класс p -серий ,

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}},}$

иллюстрирует возможные результаты теста:

• Если p ≤ 0, то термин «тест» идентифицирует серию как расходящуюся.
• Если 0 < p ≤ 1, то термин «тест» неубедителен, но ряд расходится по интегральному тесту на сходимость .
• Если 1 < p , то термин «тест» неубедителен, но ряд сходится, опять же с помощью интегрального теста на сходимость.

Доказательства [ править ]

Тест обычно доказывается в противозачаточной форме:

• Если сходится, то${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0.}$

Ограничить манипуляции [ править ]

Если s _n - частичные суммы ряда, то предположение, что ряд сходится, означает, что

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=L}$

для некоторого числа s . Тогда ^[4]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }(s_{n}-s_{n-1})=\lim _{n\to \infty }s_{n}-\lim _{n\to \infty }s_{n-1}=L-L=0.}$

Критерий Коши [ править ]

Предположение, что ряд сходится, означает, что он проходит проверку сходимости Коши : для каждого существует такое число N , что${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle |a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots +a_{n+p}|<\varepsilon }$

выполняется для всех n > N и p ≥ 1. Установка p = 1 восстанавливает определение утверждения ^[5]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0.}$

Сфера [ править ]

Самый простой вариант термина «проверка» применяется к бесконечным сериям действительных чисел . Приведенные выше два доказательства с использованием критерия Коши или линейности предела также работают в любом другом нормированном векторном пространстве ^[6] (или в любой (аддитивно записанной) абелевой группе).

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Брабенек, Роберт (2005). Ресурсы для изучения реального анализа . MAA. ISBN 0883857375.
• Хансен, Ван Лундсгаард (2006). Функциональный анализ: вход в гильбертово пространство . World Scientific. ISBN 9812565639.
• Качор, Веслава и Мария Новак (2003). Проблемы математического анализа . Американское математическое общество. ISBN 0821820508.
• Рудин, Вальтер (1976) [1953]. Принципы математического анализа (3е изд.). Макгроу-Хилл. ISBN 0-07-054235-X.
• Стюарт, Джеймс (1999). Исчисление: Ранние трансцендентальные (4 е изд.). Брукс / Коул. ISBN 0-534-36298-2.
• Чухуби, Эрдоган С. (2003). Функциональный анализ . Springer. ISBN 1402016166.