Группа маленьких монстров

Основные понятия

Топологические группы и группы Ли

Соленоид
Круг

Общая линейная GL ( n )

Специальная линейная SL ( n )

Ортогональный O ( n )

Евклидова E ( n )

Специальный ортогональный SO ( n )

Унитарный U ( n )

Специальная унитарная СУ ( п )

Симплектический Sp ( n )

G 2
П 4
E 6
E 7
E 8

Лоренц
Пуанкаре
Конформный

Диффеоморфизм
Петля

Бесконечномерная группа Ли

O (∞)
SU (∞)
Sp (∞)

В области современной алгебры , известная как теория групп , в ребенке группы монстра B (или, проще говоря, ребенок монстром ) является спорадической простой группой из порядка

2 ⁴¹ · 3 ¹³ · 5 ⁶ · 7 ² · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 · 31 · 47

= 4154781481226426191177580544000000

= 4 154 781 481 226 426 191 177 580 544 000 000

≈ 4 × 10 ³³ .

B является одной из 26 спорадических групп и имеет второй по величине порядок из них, причем высший порядок принадлежит группе монстров . Двойная крышка младенца монстра является централизатором элемента порядка 2 в группе монстра. Группа внешних автоморфизмов тривиальна, а множитель Шура имеет порядок 2.

История [ править ]

Существование этой группы было предположено Берндом Фишером в неопубликованной работе начала 1970-х годов во время его исследования групп {3,4} -транспозиций: групп, порожденных классом транспозиций, таких, что произведение любых двух элементов имеет порядок не более 4 Он исследовал его свойства и вычислил его таблицу символов . Первое строительство детского монстра позже было реализовано как группа перестановок на 13 571 955 000 точек с помощью компьютера Джеффри Леона и Чарльза Симс , ^[1]^[2] , хотя Роберт Грисс позже нашел без компьютера конструкции , используя тот факт , что его двойная крышка заключена в чудовище. Название «малыш-монстр» предложил Джон Хортон Конвей.. ^[3]

Представления [ править ]

В характеристике 0 4371-мерное представление младенца-монстра не имеет нетривиальной структуры инвариантной алгебры, аналогичной алгебре Грисса , но Рыба (2007) показал, что она имеет такую структуру инвариантной алгебры, если она сокращена по модулю 2.

Наименьшее точное матричное представление Baby Monster имеет размер 4370 над конечным полем порядка 2.

Хён (1996) построил алгебру вершинных операторов, на которую действует маленький монстр.

Обобщенный чудовищный самогон [ править ]

Конвей и Нортон в своей статье 1979 года предположили, что чудовищный самогон не ограничивается монстром, но что аналогичные явления могут быть обнаружены и у других групп. Лариса Куин и другие впоследствии обнаружили, что можно построить расширения многих Hauptmoduln из простых комбинаций размерностей спорадических групп. Для Baby monster B или F ₂ соответствующий ряд Маккея – Томпсона - это то место, где можно установить постоянный член a (0) = 104 . ^[4] ${\ Displaystyle T_ {2A} (\ тау)}$

{\ Displaystyle {\ begin {align} j_ {2A} (\ tau) & = T_ {2A} (\ tau) +104 \\ & = \ left (\ left ({\ tfrac {\ eta (\ tau)} {\ eta (2 \ tau)}} \ right) ^ {12} + 2 ^ {6} \ left ({\ tfrac {\ eta (2 \ tau)} {\ eta (\ tau)}} \ right) ^ {12} \ right) ^ {2} \\ & = {\ frac {1} {q}} + 104 + 4372q + 96256q ^ {2} + 1240002q ^ {3} + 10698752q ^ {4} + \ cdots \ конец {выровнено}}}

и η ( τ ) - эта функция Дедекинда .

Максимальные подгруппы [ править ]

Уилсон (1999) нашел 30 классов сопряженности максимальных подгрупп группы B следующим образом:

2. ² E ₆ (2): 2 Это централизатор инволюции и подгруппа, фиксирующая точку наименьшего представления перестановки на 13 571 955 000 точек.
2 ^{1 + 22} .Co ₂
Fi ₂₃
2 ^{9 + 16.} С ₈ (2)
Чт
(2 ² × F ₄ (2)): 2
2 ^{2 + 10 + 20.} (M ₂₂ : 2 × S ₃ )
[2 ³⁰ ] .L ₅ (2)
S ₃ × Fi ₂₂ : 2
[2 ³⁵ ]. (S ₅ × L ₃ (2))
HN: 2
О ₈⁺ (3): S ₄
3 ^{1 + 8.} 2 ^{1 + 6} .U ₄ (2) .2
(3 ² : D ₈ × U ₄ (3) .2.2) .2
5: 4 × HS: 2
S ₄ × ² F ₄ (2)
[3 ¹¹ ]. (S ₄ × 2S ₄ )
С ₅ × М ₂₂ : 2
(S ₆ × L ₃ (4): 2) .2
5 ³ .L ₃ (5)
5 ^{1 + 4} .2 ^{1 + 4} .A ₅ .4
(S ₆ × S ₆ ) 4.
5 ² : 4С ₄ × Ю ₅
Л ₂ (49) .2 ₃
L ₂ (31)
П ₁₁
L ₃ (3)
L ₂ (17): 2
L ₂ (11): 2
47:23

Ссылки [ править ]

^ ( Горенштейн 1993 )
^ Леон, Джеффри С .; Симс, Чарльз К. (1977). «Существование и единственность простой группы, порожденной {3,4} -транспозициями» . Бык. Амер. Математика. Soc . 83 (5): 1039–1040. DOI : 10,1090 / s0002-9904-1977-14369-3 . CS1 maint: discouraged parameter (link)
^ Ронан, Марк (2006). Симметрия и чудовище . Издательство Оксфордского университета . стр. 178 -179. ISBN 0-19-280722-6.
^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A007267» . Он -лайн энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.

Горенштейн, Д. (1993), "Краткая история спорадических простых групп", в Corwin, L .; Гельфанд И.М.; Леповски, Джеймс (ред.), Математические семинары Гельфанда, 1990–1992 , Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, стр. 137–143, ISBN 978-0-8176-3689-0, Руководство по ремонту 1247286
Хёно, Джеральд (1996), Selbstduale Vertexoperatorsuperalgebren унд дас Babymonster , Боннер Mathematische Schriften [Бонн Математических Публикации], 286, Bonn: Universitдt Бонн Математического Institut, Arxiv : 0706,0236 , Bibcode : 2007arXiv0706.0236H , MR 1614941
Ryba Александр JE (2007), "Естественная инвариантно алгебра для Монстра группы Baby", Журнал теории групп , 10 (1): 55-69, DOI : 10,1515 / JGT.2007.006 , MR 2288459
Уилсон, Роберт А. (1999), "Максимальные подгруппы младенца Монстра я.", Журнал алгебры , 211 (1): 1-14, DOI : 10,1006 / jabr.1998.7601 , MR 1656568

Внешние ссылки [ править ]

MathWorld: группа маленьких монстров
Атлас представлений конечных групп: группа Baby Monster

[1] ( Горенштейн 1993 )

[2] Леон, Джеффри С .; Симс, Чарльз К. (1977). «Существование и единственность простой группы, порожденной {3,4} -транспозициями» . Бык. Амер. Математика. Soc . 83 (5): 1039–1040. DOI : 10,1090 / s0002-9904-1977-14369-3 . CS1 maint: discouraged parameter (link)

[3] Ронан, Марк (2006). Симметрия и чудовище . Издательство Оксфордского университета . стр. 178 -179. ISBN 0-19-280722-6.

[4] Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A007267» . Он -лайн энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.